專題復習(一)數學思想方法

種類1整體思想

整體思想是一種解題思想，它主要滲透在解題步驟中間．常有的有：

1．求代數式的值時，不是求出代數式中每個字母的值，而是求代數式中整體某一個部分的值．

2．求零散圖形的面積時，利用它們的結構特點或全等變換進行整體求出．

這種思想可以應用到各各種類的題之中．

24a2(2017·北京)如果a＋2a－1＝0，那么代數式(a－a)·a－2的值是(C)A．－3B．－1C．1D．3【思路點撥】先化簡所求代數式，然后把方程變形成a2＋2a＝1，利用整體代入的方法求代數式的值．

4xy4xy1．(2018·孝感)已知x＋y＝43，x－y＝3，則式子(x－y＋x－y)(x＋y－x＋y)的值是(D)A．48

2．(2018·南充

7A．－2

3．(2018·云南

．123．16．12BCD)已知1－1＝3，則代數式2x＋3xy－2y的值是()xyx－xy－yD1193B．－2C.2D.4121)已知x＋x＝6，則x＋x2＝(C)A．38B．36C．34D．324．(2018·玉林)已知ab＝a＋b＋1，則(a－1)(b－1)＝2．5．(2018·菏澤)若a＋b＝2，ab＝－3，則代數式a3b＋2a2b2＋ab3的值為－12．6．(2018·濱州)若關于x，y的二元一次方程組3x－my＝5，的解是x＝1，a，b的二元一次方程組2x＋ny＝6則關于y＝2，33（a＋b）－m（a－b）＝5，a＝2的解是．2（a＋b）＋n（a－b）＝61b＝－27．(20182的兩根為x2＋1＝0的兩·內江)已知關于x的方程ax＋bx＋1＝0＝1，x＝2，則方程a(x＋1)＋b(x＋1)12根之和為1．

種類2分類思想

分類議論思想常有的六各種類：

1．方程：若含有字母系數的方程有實數根，要考慮二次項系數是否等于0，進行分類議論．

2．等腰三角形：如果等腰三角形給出兩條邊求第三條邊或給出一角求別的兩角時，要考慮所給的邊是腰仍是底邊，所給出的角是頂角仍是底角進行分類解決．

3．直角三角形：在直角三角形中給出兩邊的長度，確定第三邊時，若沒有指明直角邊和斜邊，要注意分情況進行議論(分類議論)，然后利用勾股定理即可求解．

4．相似三角形：若題目中出現兩個三角形相似，則需要議論各邊的對應關系；若出現位似，則考慮兩個圖形在位似中心的同旁或兩旁兩種情況議論．

5．一次函數：已知一次函數與坐標軸圍成的三角形的面積，求k的值，常分直線交坐標軸于正半軸和負半軸

兩種情況議論；確定反比率函數與一次函數交點個數，常分第一、三象限或第二、四象限兩種情況議論．6．圓：圓的一條弦(直徑除外)對兩條弧，常分優弧和劣弧兩種情況議論；求圓中兩條平行弦的距離，常分兩弦在圓心的同旁和兩旁兩種情況議論．

(2017·孝感)已知半徑為2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，則∠COD的度數為30°或150°．

【思路點撥】先根據等邊三角形的性質與判斷、勾股定理的逆定理分別求出∠AOC和∠AOD的度數，再根據

點D地址的不確定性進行分類議論，求出∠COD的度數．

31．(2018·樂山)已知實數a，b知足a＋b＝2，ab＝4，則a－b＝(C)55A．1B．－2C．±1D．±22．(2018·安順)一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2－7x＋10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是(A)A．12B．9C．13D．12或93．(2018·濰坊)如圖，菱形ABCD的邊長是4厘米，∠B＝60°，動點P以1厘米/秒的速度自A點出發沿AB方向運動至B點停止，動點Q以2厘米/秒的速度自B點出發沿折線BCD運動至D點停止．若點P，Q同時出發運動了t秒，記△BPQ的面積為S平方厘米，下面圖象中能表示S與t之間的函數關系的是(D)

ABCD4．(2018·安順)若x2＋2(m－3)x＋16是關于x的完全平方式，則m＝－1或7．5．(2018·齊齊哈爾)若關于x的方程1＋m＝m2＋3無解，則m的值為－1或5或－1．x－4x＋4x－1635126．(2017·隨州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點D在邊AB上，且AD＝2，點E在邊AC上，當AE＝3或5時，以A，D，E為極點的三角形與△ABC相似．7．(2017·蘭州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，?ABCO的極點A，B的坐標分別是A(3，0)，B(0，2)，動點3P在直線y＝2x上運動，以點P為圓心，PB長為半徑的⊙P隨點P運動，當⊙P與?ABCO的邊相切時，P點的坐標為29－35(0，0)或(3，1)或(3－5，2)．

種類3化歸思想

化歸的思想是指在解決問題的過程中，對問題進行轉變，將“未知”轉變為“已知”，將“陌生”轉變為“熟悉”，將“復雜”轉變為“簡單”的解題方法．2化歸思想常有的六各種類：

1．在解方程和方程組中的應用：經過消元將二元一次方程組轉變為一元一次方程；經過降次把一元二次方程轉變為一元一次方程；經過去分母把分式方程轉變為整式方程．

2．多邊形化為三角形：解決平行四邊形、正多邊形的問題經過增添輔助線轉變為全等三角形、等腰三角形、

直角三角形去解決．

3．立體圖形轉變為平面圖形：立體圖形的展開與折疊、立體圖形的三視圖體現了立體圖形與平面圖形之間的

相互轉變．

4．一般三角形轉變為直角三角形：經過作已知三角形的高，將問題轉變為直角三角形問題．

5．化不規則圖形為規則圖形：根據圖形的特點進行平移、旋轉、割補等方法將不規則圖形的面積轉變為規則圖形(如三角形、矩形、扇形等)面積的和或差進行求解．

6．轉變和化歸在圓中的應用：圓中圓心角與圓周角、等弧與等弦、等弧與等弧所對的圓周角都是可以相互轉變的．

如圖，在扇形︵︵OAB中，C是OA的中點，CD⊥OA，CD與AB交于點D，以O為圓心，OC的長為半徑作CE交OB4于點E.若OA＝4，∠AOB＝120°，則圖中陰影部分的面積為3．(結果保留π)3π＋2

【思路點撥】連接OD，根據點C為OA的中點可得∠CDO＝30°，既而可得∠DOC＝60°，求出扇形AOD的面積，最后用S陰影＝S－S－(S－S)即可求出陰影部分的面積．扇形AOB扇形COE扇形AOD△COD1．(2017·山西)如圖是某商品標志的圖案，AC與BD是⊙O的兩條直徑，首尾順次連接點A，B，C，D，獲得四邊形ABCD.若AC＝10，∠BAC＝36°，則圖中陰影部分的面積為( )cmB2222A．5πcmB．10πcmC．15πcmD．20πcm

2．(2018·東營)如下列圖，圓柱的高AB＝3，底面直徑BC＝3，現在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是( )CA．31＋πB．32C.34＋π2D．31＋π22

3．(2018·寧波)在矩形ABCD內，將兩張邊長分別為a和b(a＞b)的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置(圖1，

圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊)，矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分

的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2.當AD－AB＝2時，S2－S1的值為(B)

3

圖1圖2

A．2aB．2bC．2a－2bD．－2b

4．(2017·福建)兩個完全相同的正五邊形都有一邊在直線l上，且有一個公共極點O，其擺放方式如下列圖，則∠AOB

等于108度．

種類4數形結合思想

數形結合思想常有的四各種類：

1．實數與數軸：實數與數軸上的點擁有一一對應關系，因此借助數軸察看數的特點，直觀了然．

2．在解方程(組)或不等式(組)中的應用：利用函數圖象解決方程問題時，常把方程根的問題看作兩個函數圖

象的交點問題來解決；利用數軸或函數圖象解有關不等式(組)的問題更直觀、形象，易于找出不等式(組)解的公共部分或判斷不等式組有無公共解．

3．在函數中的應用：借助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法，函數圖象的幾何特點與數量特點緊密結合，體現了數形結合的特點與方法．

4．在幾何中的應用：關于幾何問題，我們常經過圖形找出邊、角的數量關系，經過邊、角的數量關系，得出

圖形的性質等．

k(2017·十堰)如圖，直線y＝3x－6分別交x軸，y軸于A，B，M是反比率函數y＝x(x>0)的圖象上位于

直線上方的一點，MC∥x軸交AB于點C，MD⊥MC交AB于點D，AC·BD＝43，則k的值為(A)

．－3．－4．－5．－6ABCD【思路點撥】分別過點C，D作CE⊥x軸于點E，DF⊥y軸于點F.由已知條件可求出點A，點B的坐標，再由tan∠OBA＝OAx，y的代數式表示出BD，即可求出∠OBA的度數．設M(x，y)，在Rt△BDF和Rt△CEA中，分別用含OBCA的長，再由AC·BD＝43，可求出xy的值，則k值即可求出．

1．(2018·棗莊)實數a，b，c，d在數軸上的地址如下列圖，下列關系式不正確的選項是(B)

A．|a|＞|b|B．|ac|＝acC．b＜dD．c＋d＞0

2．(2018·貴陽)已知二次函數y＝－x2＋x＋6及一次函數y＝－x＋m，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折

到x軸下方，圖象的其余部分不變，獲得一個新函數(如下列圖)，請你在圖中畫出這個新圖象，當直線y＝－x＋m4與新圖象有4個交點時，m的取值范圍是(D)

2525A．－4＜m＜3B．－4＜m＜2C．－2＜m＜3D．－6＜m＜－23．(2018·河南)如圖1，點F從菱形ABCD的極點A出發，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖2是點2a的值為(C)F運動時，△FBC的面積y(cm)隨時間x(s)變化的關系圖象，則

圖1圖2.5．2.5．25ABC2D4．(2018·白銀)如圖，一次函數y＝－x－2與y＝2x＋m的圖象相交于點P(n，－4)，則關于x的不等式組2x＋m＜－x－2，的解集為－2＜x＜2．x－2＜0

種類5方程、函數思想

方程與函數思想是一種重要的數學思想：

在某些圖形的折疊問題中，求線段長時，平時利用勾股定理建立方程模型來解決問題；

在運動中求最大值或最小值時，平時可以考慮將問題轉變為函數的最值議論問題，利用二次函數的極點坐標或函數取值范圍解決．

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm.點P在邊AC上，從點A向點C移動，點Q在邊

CB上，從點C向點B移動．若點P，Q均以1cm/s的速度同時出發，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是(C)

5

A．20cmB．18cmC．25cmD．32cm【思路點撥】根據P，Q兩點的運動方向和運動速度用含t的式子表示出PC，CQ的長度，進而用勾股定理表20≤t≤2的范圍內求出2PQ的最小值即可求出．示出PQ，根據二次函數的性質在PQ的最小值，則1．(2017·衢州)如圖，