2025屆上海市師范大學附屬中學高一數學第一學期期末監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．在長方體中，，則異面直線與所成角的大小是A. B.C. D.3．定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.4．已知函數，則A. B.0C.1 D.5．已知函數的零點在區間上，則（）A. B.C. D.6．“密位制”是用于航海方面的一種度量角的方法，我國采用的“密位制”是密位制，即將一個圓周角分為等份，每一個等份是一個密位，那么密位對應弧度為（）A. B.C. D.7．“是第一象限角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知，則的最大值為（）A. B.C.0 D.29．函數是奇函數，則的值為（）A.1 B.C.0 D.10．已知平面向量，，若，則實數的值為（）A.0 B.-3C.1 D.-1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若冪函數是偶函數，則___________.12．設函數的圖象關于y軸對稱,且其定義域為,則函數在上的值域為________.13．圓的半徑是,弧度數為3的圓心角所對扇形的面積等于___________14．函數的最小正周期為，且.當時，則函數的對稱中心__________;若，則值為__________.15．已知f(x)是定義在R上的奇函數且以6為周期，若f(2)=0，則f(x)在區間(0,10)內至少有________零點.16．已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時，，則f(-8)的值是____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．近來，國內多個城市紛紛加碼布局“夜經濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業、帶動創業，進而提升區域經濟發展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調查發現：該工藝品在過去的一個月內(以天計)，每件的銷售價格(單位：元)與時間(單位：天)的函數關系近似滿足(為常數，且)，日銷售量(單位：件)與時間(單位：天)的部分數據如下表所示：已知第天的日銷售收入為元（1）求的值；（2）給出以下四個函數模型：①；②；③；④請你根據上表中數據，從中選擇你認為最合適的一種函數模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數的解析式；（3）設該工藝品的日銷售收入為(單位：元)，求的最小值18．已知分別是定義在上的奇函數和偶函數，且（1）求的解析式；（2）若時，對一切，使得恒成立，求實數的取值范圍.19．已知定義域為的函數是奇函數.(1)求實數的值；(2)判斷并用定義證明該函數在定義域上的單調性；(3)若方程在內有解，求實數的取值范圍20．函數的最小值為.（1）求；（2）若，求a及此時的最大值.21．已知函數在上最大值為3，最小值為（1）求的解析式；（2）若，使得，求實數m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】如圖，連接交于點，連接，則結合已知條件可證得為直線與平面所成角，然后根據已知數據在求解即可【詳解】解：如圖，連接交于點，連接，因為長方體中，，所以四邊形為正方形，所以，，所以，因為平面，所以，因為，所以平面，所以為直線與平面所成角，因為，，所以，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為，故選：D【點睛】此題考查線面角的求法，考查空間想象能力和計算能力，屬于基礎題2、C【解析】連接為異面直線與所成角，幾何體是長方體，是，，異面直線與所成角的大小是,故選C.3、D【解析】當時，為單調增函數，且，則的解集為，再結合為奇函數，可得答案【詳解】當時，，所以在上單調遞增，因為，所以當時，等價于，即，因為是定義在上的奇函數，所以時，在上單調遞增，且，所以等價于，即，所以不等式的解集為故選：D4、C【解析】根據自變量所在的范圍先求出，然后再求出【詳解】由題意得，∴故選C【點睛】根據分段函數的解析式求函數值時，首先要分清自變量所屬的范圍，然后再代入解析式后可得結果，屬于基礎題5、C【解析】根據解析式，判斷的單調性，結合零點存在定理，即可求得零點所在區間，結合題意，即可求得.【詳解】函數的定義域為，且在上單調遞增，故其至多一個零點；又，，故的零點在區間，故.故選：6、B【解析】根據弧度制公式即可求得結果【詳解】密位對應弧度為故選：B7、B【解析】根據充分、必要條件的定義，結合角的概念，即可得答案.【詳解】若是第一象限角，則，無法得到一定屬于，充分性不成立，若，則一定第一象限角，必要性成立，所以“是第一象限角”是“”的必要不充分條件.故選：B8、C【解析】把所求代數式變形，轉化成，再對其中部分以基本不等式求最值即可解決.【詳解】時，（當且僅當時等號成立）則，即的最大值為0.故選：C9、D【解析】根據奇函數的定義可得，代入表達式利用對數的運算即可求解.【詳解】函數是奇函數，則，即，從而可得，解得.當時，，即定義域為，所以時，是奇函數故選：D【點睛】本題考查了函數奇偶性的應用，需掌握函數奇偶性的定義，同時本題也考查了對數的運算，屬于基礎題.10、C【解析】根據，由求解.【詳解】因為向量，，且，所以，解得，故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據冪函數的定義得，解得或，再結合偶函數性質得.【詳解】解：因為函數是冪函數，所以，解得或，當時，，為奇函數，不滿足，舍；當時，，為偶函數，滿足條件.所以.故答案為：12、【解析】∵函數的圖象關于y軸對稱，且其定義域為∴，即，且為偶函數∴，即∴∴函數在上單調遞增∴，∴函數在上的值域為故答案為點睛：此題主要考查函數二次函數圖象對稱的性質以及二次函數的值域的求法，求解的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，本題理解對稱性很關鍵13、【解析】根據扇形的面積公式，計算即可.【詳解】由扇形面積公式知，.【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，屬于容易題.14、①.②.【解析】根據最小正周期以及關于的方程求解出的值，根據對稱中心的公式求解出在上的對稱中心；先求解出的值，然后根據角的配湊結合兩角差的正弦公式求解出的值.【詳解】因為最小正周期為，所以，又因為，所以，所以或，又因為，所以，所以，所以，令，所以，又因為，所以，所以對稱中心為；因為，，所以，若，則，不符合，所以，所以，所以，故答案為：；.15、6【解析】直接利用f(x)的奇偶性和周期性求解.【詳解】因為f(x)是定義在R上奇函數且以6為周期，所以f(x)=-f即f-x所以f(x)的圖象關于3,0對稱，且f3則f9又f(0)=0,f(6)=0，又f(2)=0，所以f(8)=0,f(-2)=0,f(4)=0，所以f(x)在區間(0,10)內至少有6個零點.故答案為：6個零點16、【解析】先求，再根據奇函數求【詳解】，因為為奇函數，所以故答案為：【點睛】本題考查根據奇函數性質求函數值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據第10天的日銷售收入，得到，即可求解；（2）由數據知先增后減，選擇②，由對稱性求得實數的值，再利用進而列出方程組，求得的值，從而求得函數的解析式；（3）根據（2）求得的解析式，然后利用基本不等式和函數的單調性分別求得各段的最小值，比較得到結論.【詳解】（1）因為第10天的日銷售收入為505元，所以，即，解得.（2）由表格中的數據知，當時間變換時，先增后減，函數模型：①；③；④都是單調函數，所以選擇模型②：，由，可得，解得，由，解得，所以日銷售量與時間的變化的關系式為.（3）由（2）知，所以，即，當時，由基本不等式，可得，當且僅當時，即時等號成立，當時，為減函數，所以函數的最小值為，綜上可得，當時，函數取得最小值【點睛】求解所給函數模型解決實際問題的關注點：1、認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數；2、根據已知利用待定系數法，列出方程，確定函數模型中的待定系數；3、結合函數的基本形式，利用函數模型求解實際問題，18、（1）;（2）綜上或【解析】（1）利用奇偶性構建方程組，解之即可；（2）恒成立等價于在恒成立（其中），令，討論二次項系數，利用三個“二次”的關系布列不等式組即可.試題解析：（1）①，，分別是定義在上的奇函數和偶函數，②，由①②可知（2）當時，，令，即，恒成立，在恒成立.令（ⅰ）當時，（舍）；（ⅱ）法一：當時，或或解得.法二：由于，所以或解得.（ⅲ）當時，，解得綜上或點睛：研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，然后研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.19、（1）1；（2）見解析；（3）[-1，3）.【解析】(1)根據解得，再利用奇偶性的定義驗證，即可求得實數的值；(2)先對分離常數后，判斷出為遞減函數，再利用單調性的定義作差證明即可；(3)先用函數的奇函數性質，再用減函數性質變形，然后分離參數可得，在內有解，令，只要.【詳解】（1）依題意得，，故，此時，對任意均有，所以是奇函數，所以.（2）在上減函數，證明如下：任取，則所以該函數在定義域上是減函數（3）由函數為奇函數知，，又函數單調遞減函數，從而，即方程在內有解，令，只要，，且，∴∴當時，原方程在內有解【點睛】本題主要考查函數的奇偶性與單調性以及函數值域的應用，屬于難題.已知函數的奇偶性求參數，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數由恒成立求解，（2）偶函數由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數一般由求解，偶函數一般由求解，用特殊法求解參數后，一定要注意驗證奇偶性.20、（1）（2），的最大值5【解析】（1）通過配方得，再通過對范圍的討論，利用二次函數的單調性即可求得；（2）由于，對分與進行討論，即