晉城市重點中學2025屆高二數學第一學期期末質量跟蹤監視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.2．已知拋物線，過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線交于、兩點，點的坐標為，且為直角三角形，則以直線為準線的拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.3．如圖，平行六面體中，與的交點為，設，則選項中與向量相等的是（）A. B.C. D.4．“”是“方程表示雙曲線”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，6．已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標滿足，則的最小值為（）A B.C. D.47．雙曲線的焦點坐標為（）A. B.C. D.8．直線在y軸上的截距為（）A.-1 B.1C. D.9．已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.10．已知拋物線的焦點為，拋物線上的兩點，均在第一象限，且，，，則直線的斜率為（）A.1 B.C. D.11．等比數列的各項均為正數，且，則（）A.5 B.10C.4 D.12．已知等比數列的前項和為，首項為，公比為，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地區有3個疫苗接種定點醫院，現有10名志愿者將被派往這3個醫院協助新冠疫苗接種工作，每個醫院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.14．已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量是__________15．直線l過點P(1，3)，且它的一個方向向量為(2，1)，則直線l的一般式方程為__________.16．直線與直線垂直，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當時，求證：；（2）當平面平面時，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值18．（12分）已知橢圓的右焦點是橢圓上的一動點，且的最小值是1，當垂直長軸時，.(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線與橢圓相切，且交圓于兩點，求面積的最大值，并求此時直線方程.19．（12分）某工廠為了解甲、乙兩條生產線所生產產品的質量，分別從甲、乙兩條生產線生產的產品中各隨機抽取了1000件產品，并對所抽取產品的某一質量指數進行檢測，根據檢測結果按分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若該工廠認定產品的質量指數不低于6為優良級產品，產品的質量指數在內時為優等品.（1）用統計有關知識判斷甲、乙兩條生產線所生產產品的質量哪一條更好，并說明理由（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；（2）用分層抽樣的方法從該工廠樣品的優等品中抽取6件產品，在這6件產品中隨機抽取2件，求抽取到的2件產品都是甲生產線生產的概率.20．（12分）在①，②，③，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.設數列是公比大于0的等比數列，其前項和為，數列是等差數列，其前項和為.已知，，，_____________.（1）請寫出你選擇條件的序號____________；并求數列和的通項公式；（2）求和.21．（12分）若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點坐標分別為和，且該雙曲線經過點P(3，1)（1）求雙曲線的方程；（2）若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率22．（10分）已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點分別為、，橢圓上的點到左焦點最近的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）若經過點的直線與橢圓C交于M，N兩點，當的面積取得最大值時，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經檢驗滿足題意故選：C2、B【解析】設點位于第一象限，求得直線的方程，可得出點的坐標，由拋物線的對稱性可得出，進而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準線的拋物線的標準方程.【詳解】設點位于第一象限，直線的方程為，聯立，可得，所以，點.為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準線的拋物線的標準方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線標準方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.3、B【解析】利用空間向量加減法、數乘的幾何意義，結合幾何體有，進而可知與向量相等的表達式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B4、A【解析】方程表示雙曲線則，解得，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A5、C【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結論，即可寫出原命題p的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.6、B【解析】由數量積的坐標運算求得，令，化為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案【詳解】解：根據題意可得，、，所以，令，由約束條件作出可行域如下圖所示，由得，即，由，得，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最小值為，即，所以故選：B7、C【解析】把雙曲線方程化為標準形式，直接寫出焦點坐標.【詳解】，焦點在軸上，，故焦點坐標為.故選：C.8、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為.故選：A9、C【解析】由，得到，根據正弦、余弦定理定理化簡得到，化簡得到，再結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因為，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因為，所以，由，所以，因為是銳角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：C10、C【解析】作垂直準線于，垂直準線于，作于，結合拋物線定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準線于，垂直準線于，作于，因為，，，由拋物線的定義可知：，，，所以，直線斜率為：.故選：C.11、A【解析】利用等比數列的性質及對數的運算性質求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A12、D【解析】根據求解即可.【詳解】因為等比數列，，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問題，需要除以平均組數的全排列.【詳解】根據題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類：第一類是2，4，4，第二類是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：2205014、【解析】根據投影向量的知識求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標平面上的投影向量是.故答案為：15、【解析】根據直線方向向量求出直線斜率即可得直線方程.【詳解】因為直線l的一個方向向量為(2，1)，所以其斜率，所以l方程為：，即其一般式方程為：.故答案為：.16、##【解析】根據兩直線垂直得，即可求出答案.【詳解】由直線與直線垂直得，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據線面垂直的性質即可得證；（2）取的中點M，連接，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】解：取的中點E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問2詳解】解：取的中點M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，由，，有，取，可得，設平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為18、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值為1，得到，再由，結合，求得的值，即可求得橢圓的方程.（2）設切線的方程為，聯立方程組，根據直線與橢圓相切，求得，結合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的面積的表示，結合函數的單調性，即可求解.【詳解】（1）由題意，點橢圓上的一動點，且的最小值是1，得，因為當垂直長軸時，可得，所以，即，又由，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由題意知切線的斜率一定存在，否則不能形成，設切線的方程為，聯立，整理得，因為直線與橢圓相切，所以，化簡得，則，因為點到直線的距離，所以，即，故的面積為，因為，可得，即，函數在上單調遞增，所以，當時取等號，則，即面積的最大值為.當時，此時，所以直線的方程為.【點睛】對于直線與橢圓的位置關系的處理方法：1、判定與應用直線與橢圓的位置關系，一把轉化為研究直線方程與橢圓組成的方程組的解得個數，結合判別式求解；2、對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓的內部或在橢圓上，判定直線與橢圓的位置關系.19、（1）甲更好，詳細見解析（2）【解析】（1）根據頻率分布直方圖計算甲、乙兩條生產線所生產產品的質量指數的平均數，比較大小即可得答案；（2）由題意可知，甲、乙生產線的樣品中優等品件數，利用分層抽樣可得從甲生產線的樣品中抽取的優等品有件件，記為，從乙生產線的樣品中抽取的優等品有件，記為；列出抽取到的2件產品的所有基本事件，根據古典概型計算即可.【小問1詳解】解：甲生產線所生產產品的質量指數的平均數為：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生產線所生產產品的質量指數的平均數為：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因為，所以甲生產線生產產品質量的平均水平高于乙生產線生產產品質量的平均水平，故甲生產線所生產產品的質量更好.【小問2詳解】由題意可知，甲生產線的樣品中優等品有件，乙生產線的樣品中優等品有件，從甲生產線的樣品中抽取的優等品有件件，記為，從乙生產線的樣品中抽取的優等品有件，記為；從這6件產品中隨機抽取2件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），（c，d），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），（E，F），共15種；其中符合條件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種.故抽取到的2件產品都是甲生產線生產的概率為：20、（1）選①，，；選②，，；選③，，；（2），【解析】（1）選條件①根據等比數列列出方程求出公比得通項公式，再由等差數列列出方程求出首項與公差可得通項公式，選②③與①相同的方法求數列的通項公式;（2）根據等比數列、等差數列的求和公式解計算即可.【小問1詳解】選條件①：設等比數列的公比為q，，，解得或，，，.設等差數列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設等比數列的公比為q，，，解得或，，，.設等差數列的公差為，，，解得，，選條件③：設等比數列的公比為，，，解得或，，，.設等差數列的公差為，，，解得，【小問2詳解】由（1）知，，21、（1）（2）【解析】（1）根據題意列方程組求解（2）待定系數法設直線后，由條件求出坐標后代入雙曲線方程求解【小問1詳解