2025屆寧夏石嘴山三中數學高二上期末達標檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代數學名著《算法統宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數來言，務要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第5個孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤2．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.3．《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影子長依次成等差數列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺4．設，，，…，，，則（）A. B.C. D.5．為了調查修水縣2019年高考數學成績，在高考后對我縣6000名考生進行了抽樣調查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術和體育類考生，從中抽到了120名考生的數學成績作為一個樣本，這項調查宜采用的抽樣方法是（）A.系統抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡單的隨機抽樣法6．在等差數列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.67．已知等差數列，若，，則（）A.1 B.C. D.38．若雙曲線的兩個焦點為，點是上的一點，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.9．若直線與互相垂直，則實數a的值為（）A.-3 B.C. D.310．設等比數列的前項和為，若，則（）A. B.C. D.11．已知集合，，若，則＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}12．圓與圓的位置關系為（）A.內切 B.外切C.相交 D.相離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體的棱長為2，E為線段中點，F為線段BC上動點，則（1）的最小值為______；（2）點F到直線DE距離的最小值為______.14．過圓上一點的圓的切線的一般式方程為________15．等差數列的前項和為，已知，則__.16．已知點P為橢圓上的任意一點，點，分別為該橢圓的左、右焦點，則的最大值為______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求的導數；（2）求函數的圖象在點處的切線方程.18．（12分）若數列的前n項和滿足，（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和19．（12分）已知函數（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數a的取值范圍20．（12分）已知等差數列中，（1）分別求數列的通項公式和前項和；（2）設，求21．（12分）已知橢圓的右焦點為，且經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的左頂點為，過點的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點，直線交直線于點，若直線上存在另一點，使.求證：三點共線.22．（10分）已知函數（1）求在點處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據等差數列的前n項和公式、等差數列的通項公式進行求解即可.【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數依次構成等差數列，設該等差數列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數為，則由題意得，，解得，故選：A2、A【解析】先得到三棱錐的每一個面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.3、D【解析】根據題意轉化為等差數列，求首項.【詳解】設冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據等差數列的性質可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D4、B【解析】根據已知條件求得的規律，從而確定正確選項.【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B5、B【解析】考生分為幾個不同的類型或層次，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進行抽樣調查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術和體育類考生，從中抽到了120名考生的數學成績作為一個樣本又文科考生、理科考生、藝術和體育類考生會存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關知識是解題的關鍵，屬于基礎題.6、A【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故選：A.7、C【解析】利用等差數列的通項公式進行求解.【詳解】設等差數列的公差為，因為，，所以，解得.故選：C.8、B【解析】由條件結合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結合可得當點不為雙曲線的頂點時，可得，即當點為雙曲線的頂點時，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B9、C【解析】根據給定條件利用兩條直線互相垂直的關系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數a的值為.故選：C10、C【解析】利用等比數列前項和的性質，，，，成等比數列求解.【詳解】解：因為數列為等比數列，則，，成等比數列，設，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.11、D【解析】根據題意，解不等式求出集合，由，得，進而求出，從而可求出集合，最后根據并集的運算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因為，則，所以，解得：，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集的定義和并集運算，屬于基礎題.12、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以兩圓相外切，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②..【解析】建立空間直角坐標系.空一：利用空間兩點間距離公式，結合平面兩點間距離公式進行求解即可；空二：根據空間向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有.空一：，代數式表示橫軸上一點到點和點的距離之和，如下圖所示：設關于橫軸的對稱點為，當線段與橫軸的交點為點時，有最小值，最小值為；空二：設，為垂足，則有，，，因為，所以，因此，化簡得：，當時，即時，此時，有最小值，即最小值為，故答案為：；【點睛】關鍵點睛：利用空間向量垂直的性質進行求解是解題的關鍵.14、【解析】求出過切線的半徑所在直線斜率，由垂直關系得切線斜率，然后得直線方程，現化為一般式【詳解】圓心為，，所以切線的斜率為，切線方程為，即故答案為：【點睛】本題考查求過圓上一點的圓的切線方程，利用切線性質求得斜率后易得直線方程15、【解析】根據等差數列的求和公式和等差數列的性質即可求出.【詳解】因為等差數列的前項和為，，則，故答案為：33.【點睛】本題考查了等差數列的求和公式和等差數列的性質，屬于基礎題.16、【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大時，由橢圓的性質知當P為橢圓上頂點時最大，此時，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案為：.【點睛】本題考查橢圓焦點三角形的問題，考查正弦定理的應用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函數的導數公式及求導法則直接計算作答.(2)求出，再利用導數的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數定義域為，所以函數.【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數的圖象在點處的切線方程是.18、（1）（2）【解析】（1）根據遞推關系結合等比數列的定義可求解；（2）根據（1）化簡，利用裂項相消法求出數列的前n項和.小問1詳解】當時，，所以，即，當時，，得，則所以數列是首項為﹣1，公比為3的等比數列所以【小問2詳解】由（1）得：所以，所以19、（1）（2）【解析】（1）先求導，由到數值求出斜率，最后根據點斜式求出方程即可；（2）采用分離常數法，轉化為求新函數的值域即可.【小問1詳解】時，，，則，，所以在點處的切線方程為，即【小問2詳解】對任意的，恒成立，即，對任意的，令，即，則，因為，，所以當時，，在區間上單調遞減，當時，，在區間上單調遞增，則，所以20、（1），（2）【解析】（1）利用可以求出公差，即可求出數列的通項公式；（2）通過（1）判斷符號，進而分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：設數列的公差為,，，，【小問2詳解】解：由（1）可知，，當時，，當時，，所以當時，，當時，所以.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據給定條件利用橢圓的定義求出軸長即可計算作答.(2)根據給定條件設出的方程，與橢圓C的方程聯立，求出直線PA的方程并求出點M的坐標，求出點N的坐標，再利用斜率推理作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的左焦點，由橢圓定義得：即，則，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由(1)知，，直線不垂直y軸，設直線方程為，，由消去x得：，則，，直線的斜率，直線的方程：，而直線，即，直線的斜率，而，即，直線的斜率，直線的方程：，則點，直線的斜率，直線的斜率，，而，即，所以三點共線.【點睛】