第06講第六章數列章節驗收測評卷（19題新題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24高二下·河南安陽·期中）已知數列的前5項依次為，按照此規律，可知（

）A．8 B．12 C．16 D．322．（23-24高二下·甘肅慶陽·期中）已知等比數列的公比為4，則的值為（

）A．4 B． C． D．163．（2024高二·全國·專題練習）已知函數，且等比數列滿足，則（

）A．2024 B．1012 C．2 D．4．（24-25高二上·全國·隨堂練習）“珠算之父”程大位是我國明代著名的數學家，他的應用巨著《算法統宗》中有一首“竹筒容米”問題：“家有九節竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節六升六，上梢四節四升四，唯有中間兩節竹，要將米數次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容積依次相差同一數量）用你所學的數學知識求得中間兩節竹的容積為（

）A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升5．（23-24高二下·內蒙古呼和浩特·階段練習）數列an滿足，，，則（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）已知等差數列，，其前項和為，若，則（

）A．0 B． C．2025 D．7．（2025·廣東·一模）斐波那契數列因數學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數列”.這一數列如下定義：設為斐波那契數列，13．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習）已知數列均為等差數列，且其前n項和分別為和.若，則.14．（23-24高一下·上海·期中）將正整數分解成兩個正整數的積，即，當兩數差的絕對值最小時，我們稱其為最優分解.如，其中即為20的最優分解，當是的最優分解時，定義，則數列的前2023項和為.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（24-25高三上·山東日照·開學考試）已知數列滿足，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.16．（24-25高二上·全國·課后作業）已知數列滿足，且.(1)求數列的通項公式；(2)對于，將數列中落在區間內的項的個數記為，求數列的通項公式.17．（23-24高二下·四川德陽·期末）數列an的前n項和為，且.(1)求證：數列an(2)令，數列bn的前n項和為.求證：.18．（2024高二·全國·專題練習）已知數列的前n項和．若，且數列滿足．(1)求證：數列是等差數列；(2)求證：數列的前n項和；(3)若對一切恒成立，求實數的取值范圍．19．（24-25高三上·安徽蚌埠·開學考試）如果數列的任意相鄰三項，，滿足，則稱該數列為“凸數列”．(1)已知是正項等比數列，是等差數列，且，，．記．①求數列的前項和；②判斷數列是不是“凸數列”，并證明你的結論；(2)設項正數數列是“凸數列”，求證：，，第06講第六章數列章節驗收測評卷（19題新題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24高二下·河南安陽·期中）已知數列的前5項依次為，按照此規律，可知（

）A．8 B．12 C．16 D．32【答案】A【知識點】觀察法求數列通項【分析】利用觀察法求出數列的通項公式即可得解.【詳解】數列的前5項依次為，則，所以.故選：A2．（23-24高二下·甘肅慶陽·期中）已知等比數列的公比為4，則的值為（

）A．4 B． C． D．16【答案】A【知識點】等比數列通項公式的基本量計算【分析】利用等比數列項的性質化簡計算即得.【詳解】因等比數列的公比為4，故.故選：A.3．（2024高二·全國·專題練習）已知函數，且等比數列滿足，則（

）A．2024 B．1012 C．2 D．【答案】A【知識點】等比數列下標和性質及應用【分析】根據題意易知，再利用等比數列性質計算即可得出結果.【詳解】易知，又，所以，因為為等比數列，所以，所以.故選：A4．（24-25高二上·全國·隨堂練習）“珠算之父”程大位是我國明代著名的數學家，他的應用巨著《算法統宗》中有一首“竹筒容米”問題：“家有九節竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節六升六，上梢四節四升四，唯有中間兩節竹，要將米數次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容積依次相差同一數量）用你所學的數學知識求得中間兩節竹的容積為（

）A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升【答案】A【知識點】等差數列的簡單應用、等差數列通項公式的基本量計算【分析】根據題意建立數列模型，由等差數列定義可求得首項和公差，即可求出結果.【詳解】設從下至上各節的容積分別為，由題意知為等差數列，公差為，因為，即，解得所以．故選：A5．（23-24高二下·內蒙古呼和浩特·階段練習）數列an滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由遞推關系式求通項公式、寫出等比數列的通項公式、由遞推關系證明等比數列【分析】根據遞推公式，構造等比數列得出數列的通項公式.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故選：A.6．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）已知等差數列，，其前項和為，若，則（

）A．0 B． C．2025 D．【答案】A【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和、等差數列前n項和的基本量計算【分析】借助等差數列求和公式結合題意計算可得的公差，即可得.【詳解】設數列的公差為，則，故，，故，則.故選：A.7．（2025·廣東·一模）斐波那契數列因數學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數列”.這一數列如下定義：設為斐波那契數列，，其通項公式為，設是的正整數解，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【知識點】由遞推數列研究數列的有關性質、遞推數列的實際應用【分析】利用給定條件結合對數的性質構造，兩側同時平方求最值即可.【詳解】由題知是的正整數解，故，取指數得，同除得，，故，即，根據是遞增數列可以得到也是遞增數列，于是原不等式轉化為.而可以得到滿足要求的的最大值為5，故A正確.故選：A8．（23-24高二上·上海嘉定·階段練習）已知無窮等比數列的公比為，前項和為，且，下列條件中，使得恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】數列的極限、無窮等比數列各項的和、求等比數列前n項和、數列不等式恒成立問題【分析】首先判斷，根據an為無窮遞縮等比數列可得，再就分類討論后可得的取值范圍，即可判斷.【詳解】若，則，不滿足，且顯然不合題設，所以且；所以，因為，則，又對任意的，，即，即，若，則，即對任意的恒成立，當或時，當時，所以對任意的，不恒成立，故A，C錯誤；當，則，即對任意的恒成立，當時，若，則，故D不恒成立，所以，滿足.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（23-24高二下·安徽·階段練習）設是各項為正數的等比數列，是其公比，是其前項的積，且，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．與均為的最大值【答案】ACD【知識點】等比數列通項公式的基本量計算【分析】根據題意，由等比數列的性質依次分析選項，即可得答案．【詳解】根據題意，是各項為正數的等比數列，是其公比，是其前項的積，由可得，故C正確；由可得，則，故A正確；是各項為正數的等比數列，，則有，對于B，，則有，故B錯誤，對于D，，則與均為的最大值，D正確.故選：ACD10．（23-24高二下·內蒙古·期末）已知等差數列的前項和為，等比數列的前項積為，則（

）A．可能為等差數列 B．不可能為等比數列C．是等差數列 D．是等比數列【答案】AC【知識點】判斷等差數列、由定義判定等比數列【分析】對于AB，舉例判斷，對于C，根據等差數列的定義結合題意分析判斷，對于D，根據等比數列的定義結合題意分析判斷，【詳解】對于A，當為常數列時，因為為等差數列，所以為等差數列，所以A正確．對于B，當為常數列，且時，因為是等比數列，所以為等比數列，所以B錯誤．對于C，設的公差為，則，得，因為，所以數列是等差數列，所以C正確．對于D，設的公比為，則，當時，不是常數，所以不是等比數列，所以D錯誤．故選：AC11．（24-25高三上·江西贛州·開學考試）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件：，，下列結論正確的是（

）A．B．C．是數列中的最大值D．數列無最大值【答案】ABC【知識點】等比數列通項公式的基本量計算、等比數列下標和性質及應用、等比數列的單調性【分析】根據條件判斷，分和兩情況討論得成立與否得出，即可判斷A；對于B，利用A的結論和等比數列項的性質即可判定；對于C，D，由前面推得的即可判斷.【詳解】對于A，由可得，（*），由可得.當時，因，則，即（*）不成立；當時，，（*）成立，故，即A正確；對于B，因，故B正確；對于C,D，由上分析，且，則是數列中的最大值，故C正確，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2024高二·全國·專題練習）已知數列的前項和，的值為.【答案】99【知識點】裂項相消法求和【分析】由裂項求和法求和，列方程即可求解.【詳解】∵，∴．由，解得．故答案為：9913．（24-25高二上·福建龍巖·階段練習）已知數列均為等差數列，且其前n項和分別為和.若，則.【答案】【知識點】利用等差數列的性質計算、兩個等差數列的前n項和之比問題【分析】根據等差數列的性質和等差數列的前n項和公式化簡，結合條件求出答案即可．【詳解】因為為等差數列，且，所以，故答案為：．14．（23-24高一下·上海·期中）將正整數分解成兩個正整數的積，即，當兩數差的絕對值最小時，我們稱其為最優分解.如，其中即為20的最優分解，當是的最優分解時，定義，則數列的前2023項和為.【答案】/【知識點】裂項相消法求和【分析】分為奇數和偶數，按照最優分解定義，求數列的通項，再求和.【詳解】當時，，則，當時，，則，故數列的前2023項和為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是對新概念的理解，并對分奇數和偶數兩種情況進行討論，從而得到數列的通項公式.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（24-25高三上·山東日照·開學考試）已知數列滿足，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【知識點】裂項相消法求和、累乘法求數列通項【分析】（1）采用累乘法直接求解即可；（2）由（1）可得，采用裂項相消法可求得結果.【詳解】（1）由題意知：當時，，；當時，滿足；綜上所述：.（2）由（1）知：，.16．（24-25高二上·全國·課后作業）已知數列滿足，且.(1)求數列的通項公式；(2)對于，將數列中落在區間內的項的個數記為，求數列的通項公式.【答案】(1)(2)【知識點】利用定義求等差數列通項公式、等差數列通項公式的基本量計算【分析】（1）根據等差數列的定義，結合等差數列的通項公式進行求解即可；（2）通過解不等式進行求解即可.【詳解】（1）當時，為等差數列，設公差為..（2）由（1）得，，，，，…，，.17．（23-24高二下·四川德陽·期末）數列an的前n項和為，且.(1)求證：數列an(2)令，數列bn的前n項和為.求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析（3）先證明數列為遞減數列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；【詳解】（1）由題意知，當時，，所以．當時，，所以，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以．因為，所以，所以，令，可得，所以數列是以1為首項，3為公差的等差數列．（2）由（1）知，所以，所以，兩式相減，可得，所以，所以．（3）若對一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．因為，所以，所以數列的最大項為和，且．所以，即，解得或，即實數的取值范圍是．19．（24-25高三上·安徽蚌埠·開學考試）如果數列的任意相鄰三項，，滿足，則稱該數列為“凸數列”．(1)已知是正項等比數列，是等差數列，且，，．記．①求數列的前項和；②判斷數列是不是“凸數列”，并證明你的結論；(2)設項正數數列是“凸數列”，求證：，，【答案】(1)①；②是“凸數列”，證明見解析；(2)證明見解析.【知識點】錯位相減法求和、由基本不等式證明不等關系、數列新定義、數列不等式恒成立問題【分析】（1）