第12講：拓展五：利用洛必達法則解決導數問題一、型及型未定式1、定義：如果當（或）時，兩個函數與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.2、定理1（型）：（1）設當時，及；（2）在點的某個去心鄰域內（點的去心HYPERLINK鄰域內）都有，都存在，且；（3）；則：.3、定理2（型）：若函數和滿足下列條件：(1)及；

(2)，和在與上可導，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函數和滿足下列條件：(1)及；

(2)在點的去心HYPERLINK鄰域內，與可導且；

(3)，那么=.5、將上面公式中的,,,洛必達法則也成立.6、若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止:A． B． C．1 D．23．（23-24高二下·重慶江北·階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．2練透核心考點1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．3．（23-24高二下·重慶萬州·階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．類型二：洛必達法則在導數中的應用典型例題1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數學工具——洛必達法則，法則中有結論：若函數，的導函數分別為，，且，則.②設，k是大于1的正整數，若函數滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數為區間上的k階無窮遞降函數.結合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區間上的2階無窮遞降函數；(2)計算：；(3)證明：，.2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，如果當，且時，，求的取值范圍．練透核心考點1．（2024·浙江·模擬預測）已知函數，(1)當時，求函數的值域；(2)若函數恒成立，求的取值范圍.2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數.(1)當時，求過原點且與的圖象相切的直線方程；(2)若有兩個不同的零點，不等式恒成立，求實數的取值范圍.第12講：拓展五：利用洛必達法則解決導數問題一、型及型未定式1、定義：如果當（或）時，兩個函數與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.2、定理1（型）：（1）設當時，及；（2）在點的某個去心鄰域內（點的去心HYPERLINK鄰域內）都有，都存在，且；（3）；則：.3、定理2（型）：若函數和滿足下列條件：(1)及；

(2)，和在與上可導，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函數和滿足下列條件：(1)及；

(2)在點的去心HYPERLINK鄰域內，與可導且；

(3)，那么=.5、將上面公式中的,,,洛必達法則也成立.6、若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止:,如滿足條件，可繼續使用洛必達法則.二、型、、、型1、型的轉化：或；2、型的轉化：3、、型的轉化：冪指函數類高頻考點類型類型一：洛必達法則的簡單計算典型例題1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我們把分子?分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子?分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據題意利用洛必達法則求解即可【詳解】由題意得，故選：B2．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子?分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，如，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用洛必達法則直接求解即可.【詳解】.故選：B.3．（23-24高二下·重慶江北·階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用洛必達法則直接求解即可【詳解】，故選：D練透核心考點1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．【答案】【分析】由洛必達法則，分別對分子和分母求導，代入即可求得該極限值.【詳解】由題意可得：．故答案為：.2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有．【答案】2【分析】根據題中所給方法也就是洛必達法則，直接計算可求得答案.【詳解】由題意可得：,故答案為：2.3．（23-24高二下·重慶萬州·階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．【答案】/0.5【分析】依據洛必達法則去計算即可解決.【詳解】故答案為：類型二：洛必達法則在導數中的應用典型例題1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數學工具——洛必達法則，法則中有結論：若函數，的導函數分別為，，且，則.②設，k是大于1的正整數，若函數滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數為區間上的k階無窮遞降函數.結合以上兩個信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區間上的2階無窮遞降函數；(2)計算：；(3)證明：，.【答案】(1)不是區間上的2階無窮遞降函數；(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據函數為區間上的k階無窮遞降函數的定義即可判斷；（2）通過構造，再結合即可得到結果；（3）通過換元令令，則原不等式等價于，再通過構造函數，根據題干中函數為區間上的k階無窮遞降函數的定義證出，即可證明結論.【詳解】（1）設，由于，所以不成立，故不是區間上的2階無窮遞降函數.（2）設，則，設，則，所以，得.（3）令，則原不等式等價于，即證，記，則，所以，即有對任意，均有，所以，因為，所以，所以，證畢!【點睛】方法點睛：利用函數方法證明不等式成立問題時，應準確構造相應的函數，注意題干條件中相關限制條件的轉化.2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，如果當，且時，，求的取值范圍．【答案】【分析】將題意轉化為，令，利用洛必達法則求出，即可得出答案.【詳解】根據題目的條件，當且時，得，等價于．設，，因為，設，則，所以在上單調遞增，因為，所以當時，，即在上單調遞減，當在上單調遞增．當趨近時，趨近，當趨近時，趨近，所以符合洛必達法則的條件，即，所以當時，所以的取值范圍是．練透核心考點1．（2024·浙江·模擬預測）已知函數，(1)當時，求函數的值域；(2)若函數恒成立，求的取值范圍.使得當時，故在上單調遞減，則，④當時，令，則，所以在上單調遞增，即在上單調遞增，，即在上遞增，則成立.綜上所述，若函數恒成立，則.方法二當時，成立，當時，成立，當時，恒成立，令，則，又，令，，當時，，，在上單調遞增.，，故，，又，，故.【點睛】方法點睛：對于恒成立問題，法一：由求解；法二：轉化為由求解.2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數.(1)當時，求過原點且與的圖象相切的直線方程；(2)若有兩個不同的零點，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用導數的幾何意義計算即可；（2）函數有兩個零點等價于有兩個不同根，構造函數判定其單調性與零點得方程有兩個不等實根，利用換元法得，構造，法一、將恒成立問題轉化為，利用對勾函數的單調性，分類討論計算即可；法二、利用導數求的單調性結合洛必達法則最小值即可.【詳解】（1）易知的定義域為，設切點坐標，則切線方程為：，把點帶入切線得：，所以，的切線方程為：；（2），又有兩個不同零點，則有兩個不同零點，構造函數，

則為增函數，且，即方程有兩個不等實根，令，則，

則，

設，法一、原不等式恒成立等價于恒成立