專題22.3動點的函數圖象問題思想方法思想方法數形結合思想：所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合，常與以下內容有關：（1）實數與數軸上的點的對應關系；（2）函數與圖象的對應關系；（3所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。典例分析典例分析【典例1】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于點D，點E、F、G分別是邊CD、CA、AD的中點，連接EF、FG，動點M從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向點A方向運動（點M運動到AB的中點時停止）；過點M作直線MP∥BC與線段AC交于點P，以PM為斜邊作Rt△PMN，點N在AB上，設運動的時間為ts，Rt△PMN與矩形DEFG重疊部分的面積為S，則S與tA．B．C．D．【思路點撥】本題考查幾何動點問題的函數圖象，正確分段并分析是解題的關鍵．根據題意先分段，分為0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t≤2三段，分別列出三段的函數解析式便可解決，本題也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2兩段，用排除法解決．【解題過程】解：分析平移過程，①從開始出發至PM與點E重合，由題意可知0≤t≤0.5，如圖，則BM=2t，過點M作MT⊥BC于點T，∵∠B=60°，CD⊥AB，∴BC=2BD=4，CD=3BD=23∵∠ACB=90°，MP∥BC，∴∠ACB=∠MPA=90°，∴四邊形CTMP為矩形，∴PM=CT=BC?BT=4?t，∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，∴MN=PM∴DN=MN?MD=MN?BD+BM=3t∵E為CD中點，∴DE=CD∴S=DE?DN=3∴S與t的函數關系是正比例函數；②當0.5<t≤1，即從PM與E重合至點M與點D重合，如圖，由①可得QN=ED=3，DM=2?2t，DN=32∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，∴SD=3∴ES=ED?SD=23∴ER=ES∴S=S此函數圖象是開口向下的二次函數；③當1<t≤2，即從點M與點D重合至點M到達終點，如圖，由①可得DN=32t∵AD=3CD=6，∴NG=DG?DN=3?3∴QF=NG=3?3∴PQ=QF∴HQ=PQ∴S=HQ+MN∴S與t的函數關系是一次函數，綜上，只有選項A的圖象符合，故選：C．學霸必刷學霸必刷1．（2024·四川廣元·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm，動點M自點A出發沿AB方向以每秒1cm的速度向點B運動，同時動點N自點A出發沿折線AD－DC－CB以每秒2cm的速度運動，到達點B時運動同時停止．設△AMN的面積為y

A．

B．C．

D．

2．（22-23九年級上·安徽合肥·期中）如圖，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=22，P為BC邊上一動點，PQ∥AB交AC于點Q，連接BQ，設PB=x，S△BPQ=y，則能表示yA． B．C． D．3．（2024·河北石家莊·二模）如圖所示，△ABC和△DEF均為邊長為4的等邊三角形，點A從點D運動到點E的過程中，AB和DF相交于點G，AC和EF相交于點H，S△BGF+S△FCH為縱坐標y，點A移動的距離為橫坐標x，則y與A． B． C． D．4．（2023·遼寧鐵嶺·模擬預測）如圖，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，AC與BD交于點O，M是BC的中點．P、Q兩點沿著B→C→D方向分別從點B、點M同時出發，并都以1cm/s的速度運動，當點Q到達D點時，兩點同時停止運動．在P、Q兩點運動的過程中，與△OPQA．B．C．D．5．（2023·江蘇南通·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E為AB中點，動點P從點B開始沿BC方向運動到點C停止，動點Q從點C開始沿CD→DA方向運動，與點P同時出發，同時停止；這兩點的運動速度均為每秒1個單位；若設他們的運動時間為x（s），△EPQ的面積為y，則y與x之間的函數關系的圖像大致是（

）A．B．C．D．6．（2024·河南開封·一模）如圖1，在△ABC中，∠B=60°，點D從點B出發，沿BC運動，速度為1cm/s．點P在折線BAC上，且PD⊥BC于點D．點D運動2s時，點P與點A重合．△PBD的面積Scm2與運動時間ts的函數關系圖象如圖2所示，EA．23cm B．1+3cm C．7．（2024·安徽·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，CD⊥AD，∠BCD=90°,AB=BC=4，動點P，Q同時從A點出發，點Q以每秒2個單位長度沿折線A?B?C向終點C運動；點P以每秒1個單位長度沿線段AD向終點D運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動.設運動時間為x秒，△APQ的面積為y個平方單位，則y隨x變化的函數圖象大致為（

A．

B．

C．

D．

8．（23-24九年級上·浙江溫州·期末）某興趣小組開展綜合實踐活動：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD=2，D為AC上一點，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發，在三角形邊上沿C→B→A勻速運動，到達點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF，設點P的運動時間為ts，正方形DPEF的面積為S，當點P由點C運動到點A時，經探究發現S是關于t的二次函數，并繪制成如圖2所示的圖象，若存在3個時刻t1，t2A．3 B．349 C．4 9．（22-23九年級上·浙江嘉興·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，點O為AC中點，點D為線段AB上的動點，連接OD，設BD＝A． B．C． D．10．（2024·廣東深圳·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，點D和點E分別是AB和AC的中點，點M和點N分別從點A和點E出發，沿著A→C→B方向運動，運動速度都是1個單位/秒，當點N到達點B時，兩點間時停止運動．設△DMN的面積為S，運動時間為t，則S與t之間的函數圖象大致為（

A．

B．

C．

D．

11．（2024·河南南陽·二模）如圖是一種軌道示意圖，其中A、B、C、D分別是菱形的四個頂點，∠A=60°．現有兩個機器人(看成點)分別從A，C兩點同時出發，沿著軌道以相同的速度勻速移動，其路線分別為A→B→C和C→D→A．若移動時間為t，兩個機器人之間距離為d．則d2與t之間的函數關系用圖象表示大致為（A．B．C．D．12．（2024·山東聊城·二模）如圖，等邊△ABC與矩形DEFG在同一直角坐標系中，現將等邊△ABC按箭頭所指的方向水平移動，平移距離為x，點C到達點F為止，等邊△ABC與矩形DEFG重合部分的面積記為S，則S關于x的函數圖象大致為（

）A．B．C．D．13．（2024·河南·模擬預測）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC邊上的中線，將△BCD沿射線BA方向勻速平移，平移后的三角形記為△B1C1D1，設△B1C1D1與△ABD重疊部分的面積為y，平移距離為x，當點A． B．C． D．14．（23-24九年級上·安徽滁州·期末）如圖，菱形ABCD的邊長為3cm，∠B=60°，動點P從點B出發以3cm/s的速度沿著邊BC?CD?DA運動，到達點A后停止運動；同時動點Q從點B出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點運動，到達點A后停止運動．設點P的運動時間為x(s)

A．

B．

C．

D．

15．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，D2,3，P?1,?1．點M在菱形的邊AD和DC上運動（不與點A，C重合），過點M作MN∥y軸，與菱形的另一邊交于點N，連接PM，PN，設點M的橫坐標為x，△PMN的面積為y，則下列圖象能正確反映y

A．

B．

C．

D．

16．（22-23九年級上·安徽蚌埠·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A2,0，點B0,23，點C?3,3，點P從點O出發沿O→A→B路線以每秒1個單位的速度運動，點Q從點O出發沿O→C→B路線以每秒3個單位的速度運動，當一個點到達終點時另一個點隨之停止運動，設y=PQ2，運動時間為tA． B．C． D．17．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，點B，C，D，E在一條直線上，點C，D重合，△ABC沿射線DE方向運動，當點B與點E重合時停止運動．設△ABC運動的路程為x，△ABC與Rt△DEF重疊部分的面積為S，則能反映S與x之間函數關系的圖象是（）

A．

B．

C．

D．

18．（2023·山東聊城·三模）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P，Q同時從點B出發，點P沿折線BE?ED?DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/秒，設P，Q同時出發t秒時，△BPQ的面積為ycm2．已知y與t的函數關系圖像如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結論不正確的是（

A．AB:AD=4:5 B．當t=2.5秒時，PQ=C．當t=294時，BQPQ=53 D．當△BPQ的面積為4cm19．（2023·遼寧·中考真題）如圖，∠MAN=60°，在射線AM，AN上分別截取AC=AB=6，連接BC，∠MAN的平分線交BC于點D，點E為線段AB上的動點，作EF⊥AM交AM于點F，作EG∥AM交射線AD于點G，過點G作GH⊥AM于點H，點E沿AB方向運動，當點E與點B重合時停止運動．設點E運動的路程為x，四邊形EFHG與△ABC重疊部分的面積為S，則能大致反映S與x之間函數關系的圖象是（

A．

B．C．

D．

20．（22-23九年級上·安徽滁州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的邊長為4，且點A與原點O重合，邊AD在x軸上，點B的橫坐標為?2，現將菱形ABCD沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右平移，設平移時間為t（秒），菱形ABCD位于y軸右側部分的面積為S，則S關于t的函數圖像大致為（

）A． B．C． D．專題22.3動點的函數圖象問題思想方法思想方法數形結合思想：所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合，常與以下內容有關：（1）實數與數軸上的點的對應關系；（2）函數與圖象的對應關系；（3所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。典例分析典例分析【典例1】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于點D，點E、F、G分別是邊CD、CA、AD的中點，連接EF、FG，動點M從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向點A方向運動（點M運動到AB的中點時停止）；過點M作直線MP∥BC與線段AC交于點P，以PM為斜邊作Rt△PMN，點N在AB上，設運動的時間為ts，Rt△PMN與矩形DEFG重疊部分的面積為S，則S與tA．B．C．D．【思路點撥】本題考查幾何動點問題的函數圖象，正確分段并分析是解題的關鍵．根據題意先分段，分為0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t≤2三段，分別列出三段的函數解析式便可解決，本題也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2兩段，用排除法解決．【解題過程】解：分析平移過程，①從開始出發至PM與點E重合，由題意可知0≤t≤0.5，如圖，則BM=2t，過點M作MT⊥BC于點T，∵∠B=60°，CD⊥AB，∴BC=2BD=4，CD=3BD=23∵∠ACB=90°，MP∥BC，∴∠ACB=∠MPA=90°，∴四邊形CTMP為矩形，∴PM=CT=BC?BT=4?t，∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，∴MN=PM∴DN=MN?MD=MN?BD+BM=3t∵E為CD中點，∴DE=CD∴S=DE?DN=3∴S與t的函數關系是正比例函數；②當0.5<t≤1，即從PM與E重合至點M與點D重合，如圖，由①可得QN=ED=3，DM=2?2t，DN=32∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，∴SD=3∴ES=ED?SD=23∴ER=ES∴S=S此函數圖象是開口向下的二次函數；③當1<t≤2，即從點M與點D重合至點M到達終點，如圖，由①可得DN=32t∵AD=3CD=6，∴NG=DG?DN=3?3∴QF=NG=3?3∴PQ=QF∴HQ=PQ∴S=HQ+MN∴S與t的函數關系是一次函數，綜上，只有選項A的圖象符合，故選：C．學霸必刷學霸必刷1．（2024·四川廣元·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm，動點M自點A出發沿AB方向以每秒1cm的速度向點B運動，同時動點N自點A出發沿折線AD－DC－CB以每秒2cm的速度運動，到達點B時運動同時停止．設△AMN的面積為y

A．

B．C．

D．

【思路點撥】本題考查動點問題的函數圖象問題；根據自變量不同的取值范圍得到相應的函數關系式是解決本題的關鍵．根據題意，分三段（0<x<1，1≤x<3，3≤x<4）分別求解y與x的解析式，從而求解．【解題過程】解：當0<x<1時，M、N分別在線段AB、AD上，

此時AM=xcm，AN=2xy=S當1≤x<3時，M、N分別在線段AB、CD上，

此時AM=xcm，△AMN底邊AM上的高為AD=2y=S當3≤x<4時，M、N分別在線段AB、BC上，

此時AM=xcm，△AMN底邊AM上的高為BN=(8?2x)y=S結合選項，只有A選項符合題意，故選：C．2．（22-23九年級上·安徽合肥·期中）如圖，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=22，P為BC邊上一動點，PQ∥AB交AC于點Q，連接BQ，設PB=x，S△BPQ=y，則能表示yA． B．C． D．【思路點撥】過點Q作QE⊥BC交BC延長線于點E，根據S△BPQ【解題過程】解：如圖，過點Q作QE⊥BC交BC延長線于點E，∵AC=BC=2∴∠A=∠ABC∵PQ∥∴∠CQP=∠A,∠CPQ=∠ABC∴∠CQP=∠CPQ∴CQ=CP=22∵∠ACB=135°∴∠ECQ=45°在Rt△CEQ中，∠ECQ=45°∴QE=2∴y=1∴當x=2時，y故選：C.3．（2024·河北石家莊·二模）如圖所示，△ABC和△DEF均為邊長為4的等邊三角形，點A從點D運動到點E的過程中，AB和DF相交于點G，AC和EF相交于點H，S△BGF+S△FCH為縱坐標y，點A移動的距離為橫坐標x，則y與A． B． C． D．【思路點撥】如圖，過G作GK⊥BC于K，過H作HT⊥BC于T，證明四邊形ACFD為平行四邊形，可得AD=CF=x，BF=4?x，求解CT=FT=12x，TH=【解題過程】解：如圖，過G作GK⊥BC于K，過H作HT⊥BC于T，由題意可得：AD∥CF，∴四邊形ACFD為平行四邊形，∴AD=CF=x，∴BF=4?x，∵△ABC和△DEF均為邊長為4的等邊三角形，AD∥∴∠D=∠DFB=60°，而∠B=60°，∴△BGF為等邊三角形，同理：△CFH為等邊三角形，∵HT⊥BC，∴CT=FT=12x同理可得：GK=3∴y==3故選B4．（2023·遼寧鐵嶺·模擬預測）如圖，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，AC與BD交于點O，M是BC的中點．P、Q兩點沿著B→C→D方向分別從點B、點M同時出發，并都以1cm/s的速度運動，當點Q到達D點時，兩點同時停止運動．在P、Q兩點運動的過程中，與△OPQA．B．C．D．【思路點撥】本題考查了動點問題函數圖象．根據矩形的性質求出點O到BC的距離等于4，到CD的距離等于6，求出點Q到達點C的時間為6s，點P到達點C的時間為12s，點Q到達點D的時間為14s，然后分①0≤t≤6時，點P、Q都在BC上，表示出PQ，然后根據三角形的面積公式列式計算即可；②6<t≤12時，點P在BC上，點Q在CD上，表示出CP、CQ，然后根據SΔOPQ=SΔ【解題過程】解：∵矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，AC與BD交于點∴點O到BC的距離=12AB=4，到CD∵點M是BC的中點，∴CM=1∴點Q到達點C的時間為6÷1=6s點P到達點C的時間為12÷1=12s點Q到達點D的時間為(6+8)÷1=14s①0≤t≤6時，點P、Q都在BC上，PQ=6，△OPQ的面積=1②6<t≤12時，點P在BC上，點Q在CD上，CP=12?t，CQ=t?6，SΔ=1=1=1③12<t≤14時，PQ=6，△OPQ的面積=1縱觀各選項，只有B選項圖形符合．故選：B．5．（2023·江蘇南通·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E為AB中點，動點P從點B開始沿BC方向運動到點C停止，動點Q從點C開始沿CD→DA方向運動，與點P同時出發，同時停止；這兩點的運動速度均為每秒1個單位；若設他們的運動時間為x（s），△EPQ的面積為y，則y與x之間的函數關系的圖像大致是（

）A．B．C．D．【思路點撥】先求出點P在BC上運動是時間為6秒，點Q在CD上運動是時間為4秒，再根據中點的定義可得AE=BE=12AB，然后分①點Q在CD上時，表示出BP、CP、CQ，再根據△EPQ的面積為y=S梯形BCQE?【解題過程】解：∵點P、Q的速度均為每秒1個單位，∴點P在BC上運動的時間為6÷1=6（秒），點Q在CD上運動的時間為4÷1=4（秒），∵E為AB中點，∴AE=BE=1①如圖1，點Q在CD上時，0≤x≤4，則BP=x,CP=6?x,CQ=x，∴△EPQ的面積為y=S===②如圖2，點Q在AD上時，4<x≤6，則BP=x,AQ=6+4?x=10?x，∴△EPQ的面積為y=S=1綜上所述，y=1函數圖象為對稱軸為直線x=1的拋物線的一部分加一條線段，只有A選項符合．故選：C．6．（2024·河南開封·一模）如圖1，在△ABC中，∠B=60°，點D從點B出發，沿BC運動，速度為1cm/s．點P在折線BAC上，且PD⊥BC于點D．點D運動2s時，點P與點A重合．△PBD的面積Scm2與運動時間ts的函數關系圖象如圖2所示，EA．23cm B．1+3cm C．【思路點撥】本題考查動點函數圖象，二次函數圖象性質，三角形面積．本題屬二次函數與幾何綜合題目．先根據點D運動2s時，點P與點A重合．從而求得PD=PB2?BD2=23cm，再由函數圖象求得BC=2+23×1=2+23cm，從而求得DC=BC?BD=2+23?2=23cm，得出PD=DC，然后根據由題圖2點【解題過程】解：由題意知，點D運動2s時，點P，D此時，在Rt△PBD中，BD=2cm，∠B=60∴PB=2BD=4cm∴PD=P由函數圖象得BC=2+2∴DC=BC?BD=2+23∴PD=DC．由題圖2點E的位置可知，點P在AC上時，S△PBD當2≤t≤2+23時，點P在AC此時BD=t×1=tcm，PD=DC=∴S△PBD∵S△PBD又∵?1∴當t=1+3時，S此時PD=CD=2+23故選：B．7．（2024·安徽·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，CD⊥AD，∠BCD=90°,AB=BC=4，動點P，Q同時從A點出發，點Q以每秒2個單位長度沿折線A?B?C向終點C運動；點P以每秒1個單位長度沿線段AD向終點D運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動.設運動時間為x秒，△APQ的面積為y個平方單位，則y隨x變化的函數圖象大致為（

A．

B．

C．

D．

【思路點撥】分當0≤x<2時，點Q在AB上和當2≤x≤4時，點Q在BC上，根據三角形的面積公式即可得到結論．【解題過程】解：過Q作QN⊥AD于N，當0≤x<2時，點Q在AB上，

∵∠A=60°，∴∠∴AN=12∴QN=A∴y=1當2≤x≤4時，點Q在BC上，過點B作BM⊥AD于點M，

∵BM⊥AD，∠∴∠∴AM=12∴BM=A∵CD⊥AD，QN⊥AD，∴QN∥CD,∴∠∵BM⊥AD,CD⊥AD，∴四邊形BMNQ是矩形，∴QN=BM=23y=1綜上所述，當0≤x<2時的函數圖象是開口向上的拋物線的一部分，當2≤x≤4時，函數圖象是直線的一部分，故選：D．8．（23-24九年級上·浙江溫州·期末）某興趣小組開展綜合實踐活動：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD=2，D為AC上一點，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發，在三角形邊上沿C→B→A勻速運動，到達點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF，設點P的運動時間為ts，正方形DPEF的面積為S，當點P由點C運動到點A時，經探究發現S是關于t的二次函數，并繪制成如圖2所示的圖象，若存在3個時刻t1，t2A．3 B．349 C．4 【思路點撥】由題意可得：CD=2，CP=t，當點P在BC上運動時S=t2+2，由圖可得，當點P與點B重合時，S=6，求出t=2，即BC=2，當P在BA上時，由圖可得拋物線過點2，6，頂點為4，2，求出拋物線解析式為S=t?22+2，從兩個函數表達式看，兩個函數a相同，都為1，則從圖象上看t1，t2【解題過程】解：由題意可得：CD=2，CP=t當點P在BC上運動時，S=DP由圖可得，當點P與點B重合時，S=6，∴t∴t=2或t=?2（不符合題意，舍去），∴BC=2，當P在BA上時，由圖可得拋物線過點2，6，頂點為則拋物線的表達式為S=at?4將2，6代入得：∴a=1，∴拋物線的表達式為：S=t?4從兩個函數表達式看，兩個函數a相同，都為1，若存在3個時刻t1，t2，t3t1<t∴t1+∵t由①③③解得t1∴S=t故選：C．9．（22-23九年級上·浙江嘉興·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，點O為AC中點，點D為線段AB上的動點，連接OD，設BD＝A． B．C． D．【思路點撥】如圖:過O作OE⊥AB,垂足為E，先根據直角三角形的性質求得AB=12,AC=63，再根據中點的定義求得OA=12AC=33【解題過程】解：如圖:過O作OE⊥AB,垂足為E∵∠C=90°∴∠A=30°∵BC=6∴AB=2BC=12∴AC=∵點O為AC中點∴OA=∵∠A=30°∴OE=∴AE=∴DE=∴OD2當x=0時，y=當x=152當x=12時，y=則函數圖像為．故選C．10．（2024·廣東深圳·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，點D和點E分別是AB和AC的中點，點M和點N分別從點A和點E出發，沿著A→C→B方向運動，運動速度都是1個單位/秒，當點N到達點B時，兩點間時停止運動．設△DMN的面積為S，運動時間為t，則S與t之間的函數圖象大致為（

A．

B．

C．

D．

【思路點撥】本題主要考查動點問題，依托三角形面積考查二次函數的圖象和分類討論思想，取BC的中點F,連接DF根據題意得到DF和DE，分三種情況討論三角形的面積：（1）當0<t≤6時，得MN=AE=6，結合三角形面積公式求解即可；（2）當6<t≤12時，得AM，MC，CN和BN，結合S=SΔABC?SΔADM?SΔBDN?S【解題過程】解：如圖，取BC的中點F，連接DF，

∴DF∥AC，DF=∵點D、E是中點，∴DE=12BC=4∵∠C=90°，∴四邊形DECF為矩形，當0<t≤6時，點M在AE上，點N在EC上，MN=AE=6，∴S=1如圖，當6<t≤12時，點M在EC上，點N在BC上，

∵AM=t，∴MC=12?t，CN=t?6，BN=14?t，∴S===1如圖，當12<t≤14時，點M、N都在BC上，

∴S=1綜上判斷選項A的圖象符合題意．故選：C．11．（2024·河南南陽·二模）如圖是一種軌道示意圖，其中A、B、C、D分別是菱形的四個頂點，∠A=60°．現有兩個機器人(看成點)分別從A，C兩點同時出發，沿著軌道以相同的速度勻速移動，其路線分別為A→B→C和C→D→A．若移動時間為t，兩個機器人之間距離為d．則d2與t之間的函數關系用圖象表示大致為（A．B．C．D．【思路點撥】設菱形的邊長為2，根據菱形的性質求出關于兩個機器人之間的距離d2【解題過程】解：①設AD=2，如圖所示，∵移動時間為t，∠A=60°，∴CK=1，FT=KB=3∴AE=t，CF=2?t，∴FK=2?t?1=1+t，∴ET=2?t?1+t∴在Rt△EFT中，E②設AD=2，如圖所示，∵移動時間為t，∠A=60°，∴BM=t?2，CM=2?t?2=4?t，CP=1，∴MQ=CM?CQ=4?t∴在Rt△LMQ中，M∴函數圖像為兩個二次函數圖象；③當從A出發的機器人在B點，從C出發的機器人在D點，此時距離是BD；從A出發的機器人在A點，從C出發的機器人在C點，此時距離是AC；∵設AD=2，∠A=60°，∴BD=2，AE=3∴AC=2AE=23∴BD<AC，∴函數圖象的起點和終點高于中間點；綜上所述：A項符合題意；故選A．12．（2024·山東聊城·二模）如圖，等邊△ABC與矩形DEFG在同一直角坐標系中，現將等邊△ABC按箭頭所指的方向水平移動，平移距離為x，點C到達點F為止，等邊△ABC與矩形DEFG重合部分的面積記為S，則S關于x的函數圖象大致為（

）A．B．C．D．【思路點撥】本題主要考查了動點問題的函數圖象，二次函數的圖象，等腰三角形的性質等知識，如圖，作AQ⊥BC于點Q，可知AQ=3．分當0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3【解題過程】解：如圖①，設AC與DE交于點H，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,過點A作AQ⊥BC于點Q，則BQ=CQ=∴AQ=A∵四邊形DEFG是矩形，∴∠DEF=90°,DE=AQ=當0<x≤1時，在Rt△HCE中，∠ACE=60°,EC=x,∴∠CHE=30°,∴HC=2x，∴HE=∴S=1所以，S關于x的函數圖象是頂點為原點，開口向上且在0<x≤1內的一段；當1<x≤2時，如圖，設AB與DE交于點P，∵EC=x,BC=2,∴BE=BC?EC=2?x,同理可得，PE=3∴S=S所以，圖象為1<x≤2時開口向下的一段拋物線索；當2<x≤3時，如圖，S=1此時的函數圖象是在2<x≤3范圍內的一條線段，即S=3故選：C13．（2024·河南·模擬預測）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC邊上的中線，將△BCD沿射線BA方向勻速平移，平移后的三角形記為△B1C1D1，設△B1C1D1與△ABD重疊部分的面積為y，平移距離為x，當點A． B．C． D．【思路點撥】本題考查了二次函數與幾何圖形的綜合，涉及等腰直角三角形，平移的性質，二次函數的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用這些性質，學會分類討論．過點D作DM⊥AB于M，由△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，可設AB=BC=2，可得AD=CD=BD=2，DM=AM=BM=1，然后分情況討論：當0<x≤1時，當1<x≤2時，分別求出關于S、x【解題過程】解：過點D作DM⊥AB于M，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴AB=BC，設AB=BC=2，∴AD=CD=BD=2，DM=AM=BM=1當0<x≤1時，設B1D1交AC于點G，B1C∴AB由平移知B1G∥BD，∴△AB∴S△A又∵S△ABD=∴S=S當x=?1當1<x≤2時，B1D1交AC于點G，B1C∵B1∴∠B又∵∠D∴△B∵∠AB∴AB∴B1∴S=S即當1<x≤2時，函數圖像為開口向上的拋物線，故排除C選項故選：D．14．（23-24九年級上·安徽滁州·期末）如圖，菱形ABCD的邊長為3cm，∠B=60°，動點P從點B出發以3cm/s的速度沿著邊BC?CD?DA運動，到達點A后停止運動；同時動點Q從點B出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點運動，到達點A后停止運動．設點P的運動時間為x(s)

A．

B．

C．

D．

【思路點撥】根據題意可知分情況討論，分別列出當點P在BC上時，點P在CD上時，點P在AD上時表達式，再畫圖得到函數解析式，即可得到本題答案．【解題過程】解：設點P的運動時間為x(s)，△BPQ的面積為①當0≤x≤1時，點P在BC上時，過點P作PE⊥BA，

，∵根據題知：∠B=60°，∴BE=32x∴y=1②當1<x≤2時，點P在CD上時，過點P作PH⊥BA，

，∵根據題知：∠B=60°，∴PH=3∴y=1③當2<x≤3時，點P在AD上時，過點P作PF⊥BA交DA延長線于F，

，∵根據題知：∠B=60°，即∵BC+CD+AD=3+3+3=9cm，BC+CD+DP=3x∴AP=(9?3x)cm∴PF=9?3x∴y=1∴結合三種情況，圖像如下所示：

，故選：D．15．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，D2,3，P?1,?1．點M在菱形的邊AD和DC上運動（不與點A，C重合），過點M作MN∥y軸，與菱形的另一邊交于點N，連接PM，PN，設點M的橫坐標為x，△PMN的面積為y，則下列圖象能正確反映y

A．

B．

C．

D．

【思路點撥】先根據菱形的性質求出各點坐標，分M的橫坐標x在0～1，1～2，2～3之間三個階段，用含x的代數式表示出△PMN的底和高，進而求出分段函數的解析式，根據解析式判斷圖象即可．【解題過程】解：∵菱形ABCD的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，∴AB=AD=2，OA=3∴OB=A∴OC=OB+BC=1+2=3，∴A0,3，B1,0設直線AB的解析式為y=kx+b，將A0,3，k+b=0b=解得k=?3∴直線AB的解析式為y=?3∵MN∥∴N的橫坐標為x，（1）當M的橫坐標x在0～1之間時，點N在線段AB上，△PMN中MN上的高為1+x，∴Nx,?∴MN=3∴S△PMN∴該段圖象為開口向上的拋物線；（2）當M的橫坐標x在1～2之間時，點N在線段BC上，△PMN中MN=3，MN上的高為1+x∴S△PMN∴該段圖象為直線；（3）當M的橫坐標x在2～3之間時，點N在線段BC上，△PMN中MN上的高為1+x，由D2,3，C3,0可得直線CD∴Mx,?3x+3∴MN=?3∴S△PMN∴該段圖象為開口向下的拋物線；觀察四個選項可知，只有選項A滿足條件，故選A．16．（22-23九年級上·安徽蚌埠·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A2,0，點B0,23，點C?3,3，點P從點O出發沿O→A→B路線以每秒1個單位的速度運動，點Q從點O出發沿O→C→B路線以每秒3個單位的速度運動，當一個點到達終點時另一個點隨之停止運動，設y=PQ2，運動時間為tA． B．C． D．【思路點撥】先分析各個線段的長，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB=23，AB=4，∠BAO=60°，過點C作CM⊥y軸于點M，易得△OBC是等邊三角形，OC=BC=OB=23，點P在OA上運動用時2s，在AB上運動用時4s，點Q在OC上運動用時2s，在OC上運動用時2s，則點P和點Q共用時4s，可排除D選項；再算出點P在OA上時，y的函數表達式，結合選項可得結論．【解題過程】解：如圖，∵點A（2，0），點B（0，23），∴OA=2，OB=23，∴AB=4，∠BAO=60°，過點C作CM⊥y軸于點M，則OM=BM=3，CM=3，∴OC=BC=23，∴△OBC是等邊三角形，∠BOC=60°，∴點P在OA上運動用時2s，在AB上運動用時4s，點Q在OC上運動用時2s，在OC上運動用時2s，即點P和點Q共運動4s后停止；由此可排除D選項．當點P在線段OA上運動時，點Q在線段OC上運動，過點Q作QN⊥x軸于點N，由點P，點Q的運動可知，OP=t，OQ=3t，∴QN=∴PN=∴y=P即當0＜t＜2時，函數圖象為拋物線，結合選項可排除A，C．故選：B．17．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，點B，C，D，E在一條直線上，點C，D重合，△ABC沿射線DE方向運動，當點B與點E重合時停止運動．設△ABC運動的路程為x，△ABC與Rt△DEF重疊部分的面積為S，則能反映S與x之間函數關系的圖象是（）

A．

B．

C．

D．

【思路點撥】分三種情形∶①當0＜x≤2時，重疊部分為△CDG，②當2＜x≤4時，重疊部分為四邊形AGDC，③當4＜x≤8時，重疊部分為△BEG，分別計算即可．【解題過程】解：過點A作AM⊥BC，交BC于點M，

在等邊△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等邊△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝12BC＝2，AM＝3BM＝23∴S△ABC＝12BC?AM＝43①當0＜x≤2時，設AC與DF交于點G，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為△CDG，

由題意可得CD＝x，DG＝3x∴S＝12CD?DG＝32x②當2＜x≤4時，設AB與DF交于點G，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為四邊形AGDC，

由題意可得：CD＝x，則BD＝4﹣x，DG＝3（4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝43﹣12×（4﹣x）×3（4﹣x∴S＝﹣32x2+43x﹣43＝﹣32（x﹣4）2+4③當4＜x≤8時，設AB與EF交于點G，過點G作GM⊥BC，交BC于點M，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為△BEG，

由題意可得CD＝x，則CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣12在Rt△BGM中，GM＝3（4﹣12x∴S＝12BE?GM＝12（8﹣x）×3（4﹣1∴S＝34（x﹣8）2綜上，選項A的圖像符合題意，故選：C．18．（2023·山東聊城·三模）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P，Q同時從點B出發，點P沿折線BE?ED?DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/秒，設P，Q同時出發t秒時，△BPQ的面積為ycm2．已知y與t的函數關系圖像如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結論不正確的是（

A．AB:AD=4:5 B．當t=2.5秒時，PQ=C．當t=294時，BQPQ=53 D．當△BPQ的面積為4cm【思路點撥】先由圖2中的函數圖像得到當t=5時，點Q到達點C，即BC=5cm，然后由5<t<7時，y=10可知△BPQ的面積是定值10cm2、BE=5cm,ED=2cm,當t=7時點P到達點D，y=25t2得到y=2.5cm2，過點P作PH⊥BC于點H，根據y=12BQ·PH=12×2.5cmH11,0,N7,10，確定直線HN的解析式，分別計算可得到10當t=294>284=7時，故點Q在DC上，把【解題過程】解：設拋物線的解析式為y=at當t=5時，y=10，∴10=25a，解得a=2∴y=2由圖2中的函數圖像得當t=5時，點Q到達點C，即BC=BE=5cm∵5＜t＜∴△BPQ的面積是定值10cm2且當t=7時點P到達點D，∴AE=5?2=3cm,AB=∴AB:AD=4:5，故