A． B．C． D．8．（22-23高三上·河北衡水·階段練習）定義在上的函數滿足，當時，，函數，若，不等式成立，則實數的取值范圍A． B．C． D．二、多選題9．（23-24高三上·河南商丘·階段練習）已知函數，，則（

）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．，， D．，，10．（22-23高二下·廣東汕頭·期中）已知函數，，若，，則的取值可能是（

）A． B． C． D．三、填空題11．（23-24高三上·山東德州·階段練習）若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數a的取值范圍是．12．（2023高三·全國·專題練習）已知函數當時，若對于區間上的任意兩個不相等的實數，都有成立，則實數的取值范圍.四、解答題13．（22-23高三上·山東泰安·期末）已知函數，.(1)當時，求函數的曲線上點處的切線方程；(2)當時，求的單調區間；(3)若有兩個極值點其中，求的最小值.14．（22-23·陜西·模擬預測）已知，函數.（1）若曲線與曲線在它們的交點處的切線互相垂直,求的值；（2）設,若對任意的,且,都有，求的取值范圍．15．（22-23·遼寧·一模）已知函數（為自然對數的底數）.（1）求函數的單調區間；（2）設函數，存在實數，，使得成立，求實數的取值范圍.16．（2023高三·全國·專題練習）已知函數，其中參數．(1)求函數的單調區間；(2)設函數，存在實數，使得不等式成立，求a的取值范圍．C綜合素養1．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習）對于函數、、，如果存在實數使得，那么稱為、的生成函數.（1）下面給出兩組函數，是否分別為、的生成函數？并說明理由；第一組：，，；第二組：，，；（2）設，，取，生成函數圖象的最低點坐標為.若對于任意正實數，且，試問是否存在最大的常數，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由.第07講利用導數研究雙變量問題(分層精練）B能力提升C綜合素養（新定義解答題）B能力提升1．（22-23高三上·山東·階段練習）已知函數，對任意，存在，使，則的最小值為（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【分析】令，將都用表示，從而可將構造出關于的函數，再利用導數求出函數的最小值即可.【詳解】解：由題意，令，則，，所以，，，令，所以，令，得，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，有最小值，即的最小值為.故選：D．2．（22-23高三上·山東煙臺·期中）若對任意正實數x，y都有，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將不等式變式為，設后轉化為恒成立，只需求函數的最大值即可.【詳解】因為，所以，設，則，，令恒成立，故單調遞減，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；.故所以，得到.故選:A.3．（22-23高三上·江蘇蘇州·階段練習）已知函數，若，則可取（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】探討函數在上單調性，由已知可得，再構造函數并求出其最小值即可判斷作答.【詳解】依題意，由得，令，函數在上單調遞增，由得，則，由得：，又，于是得，，令，求導得，當時，，當時，，即函數在，上單調遞減，在上單調遞增，當時，，且，，，且，，故即，顯然選項A符合要求，選項B，C，D都不符合要求.故選：A4．（22-23高三下·安徽安慶·階段練習）已知，都是正整數，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意得，構造函數求解即可.【詳解】因為，所以，令，所以，故在上單調遞增，由已知得，故，因為，都是正整數，即.故選：A.5．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）若實數滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意將原不等式化簡為，令，可知原不等式等價于，再令，則原不等式等價于；再利用導數求出函數單調性，進而可得，由此可知只有當時，即時才滿足，據此即可求出的值，進而求出結果.【詳解】∵∴，即

∴，設，則有，即，∴，令，則，∴當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；∴，即，要使成立等價于成立，只有當時，即時才滿足，∴∴，∴.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是對原不等式的變形，將其變形成，再進行換元、構造輔助函數，借助函數的最值和唯一性求解.6．（22-23高三·全國·專題練習）已知函數，若，且，則的最小值為A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意得到，由，得到，所以，構造函數，利用導數求出的最小值即可.【詳解】由題可知當時，函數單調遞增，，當時，，設，則必有，所以，所以，所以，設，則，則時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以，所以的最小值為.故選：C【點睛】本題主要考查利用導數解決雙變量問題，將一個變量由另一個變量表示，構造新的函數即可求解，注意變量的范圍，考查學生分析轉化能力，屬于中檔題.7．（22-23湖南長沙·二模）已知函數滿足對于任意，存在，使得成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數在定義域單調遞增，原不等式成立可轉化為，通過研究函數的最值建立不等式求解即可得a的取值范圍.【詳解】由函數在定義域單調遞增，對于任意，存在，使得成立，即任意，存在，使得成立，即滿足，令，對稱軸方程為，在可得令，求導可得，，可得，在，，單調遞增，所以在，，即，解得，故選C.【點睛】本題為函數與導數的綜合應用題，考查函數的單調性、導數的應用等知識點，解題的關鍵是將含有量詞的不等式轉化為求函數最值問題，再借助導數和函數的性質求解最值建立不等式即可，屬于中等題.8．（22-23高三上·河北衡水·階段練習）定義在上的函數滿足，當時，，函數，若，不等式成立，則實數的取值范圍A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由題意，當時，，當時，，所以當時，，又，因此當時，，當時，，即當時，，最小值為－8，，令，得或，由易得是極小值點，是極大值點，，，由題意，．故選C．考點：不等式恒成立，函數的值域．【名題點睛】本題考查不等式恒成立問題，解題的關鍵是命題中量詞的理解與命題的轉化，若，不等式成立，即在上，函數的最小值大于或等于的最大值．函數是三次函數，可由導數的性質求得最大值，而函數是分段函數，由分段函數的定義可在每一個區間（分為有三個區間）上的值域，然后求出并集，得值域．二、多選題9．（23-24高三上·河南商丘·階段練習）已知函數，，則（

）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．，， D．，，【答案】AC【分析】利用導數判斷的單調性，可判斷AB；構造函數，根據導數判斷的單調性，利用單調性可判斷CD.【詳解】，即，當時，，故在上單調遞增，故A正確，B錯誤；令，則，因為在上單調遞增，又，所以所以，所以在上單調遞增，所以，，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC.10．（22-23高二下·廣東汕頭·期中）已知函數，，若，，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由已知條件可推得，即有，結合目標式化簡可得，令，利用導函數研究其單調性并確定區間最小值，即為的最小值，根據最小值進行選擇即可.【詳解】由題意，，得，∴，即，又，得∵在上單調遞增，∴綜上知：，∴，令，，則∴，得；，得；故在上單調遞減，在上單調遞增.∴，A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項符合題意；C：顯然符合題意；D：因為，所以本選項不符合題意，故選：BC【點睛】關鍵點睛：根據條件的函數關系確定參數的等量關系，結合目標式化簡并構造函數，應用導數研究函數的單調性，進而確定區間最小值.三、填空題11．（23-24高三上·山東德州·階段練習）若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】根據給定條件，構造函數，利用導數求出函數在區間上的取值集合，再借助集合的包含關系列式求解作答.【詳解】由，得，令，，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，當時，取最大值，最大值為0；又，，如下圖，令，顯然函數在上單調遞減，函數的值域為，由對任意的，總存在唯一的，使得成立，得，因此，解得.所以實數的取值范圍是.故答案為：.12．（2023高三·全國·專題練習）已知函數當時，若對于區間上的任意兩個不相等的實數，都有成立，則實數的取值范圍.【答案】【分析】求出的單調性，將絕對值去掉后得，構造新函數，這樣就知道了函數的單調性，分離參量求導，得實數的取值范圍【詳解】不妨設.因為，所以，所以在上單調遞增，即.又因為在上也單調遞增，所以.所以不等式即為，即，設，即，則，因此在上單調遞減.于是在上恒成立，即在上恒成立.令，則，即在上單調遞增，因此在上的最小值為，所以，故實數的取值范圍是.故答案為：四、解答題13．（22-23高三上·山東泰安·期末）已知函數，.(1)當時，求函數的曲線上點處的切線方程；(2)當時，求的單調區間；(3)若有兩個極值點其中，求的最小值.【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據導數的幾何意義得到，，得到結果；（2）對函數求導分情況討論導函數的正負，從而得到單調區間；（3）構造函數研究函數的單調性，得到函數的變化趨勢，進而得到函數最值．【詳解】（1）當時，所以，，又，過切點的切線方程為，即：.（2）由題意得：，,令,①當,即，則恒成立，即恒成立，在上單調遞增.②當時，即，令,即，解得：或令，解得：綜上，當時，的單調增區間為，當時，單調增區間為，單調減區間為.（3）由（2）知，，，由題意知，是方程的兩根,，，，令當時，,所以，在上單調遞減，即的最小值為.14．（22-23·陜西·模擬預測）已知，函數.（1）若曲線與曲線在它們的交點處的切線互相垂直,求的值；（2）設,若對任意的,且,都有，求的取值范圍．【答案】（１）,或；（２）．【詳解】試題分析：（１）由得可得的值，由在上得，則在上可得等式，求得的值；（２）本題可轉化為在上是增函數，求轉化為一元二次不等式恒成立問題，可得的取值范圍．試題解析：（1）,依題意有,且,可得,解得,或.（2）.不妨設,等價于.設,則對任意的,且,都有,等價于在上是增函數.,可得,依題意有,對任意,有恒成立.由,可得.考點：導數的幾何意義；構造函數．15．（22-23·遼寧·一模）已知函數（為自然對數的底數）.（1）求函數的單調區間；（2）設函數，存在實數，，使得成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）0；（2）或．【詳解】試題分析：（1）求導得，根據導數的符號即可求出的單調區間（2）如果存在，使得成立，那么由題設得，求導得由于含有參數，故分情況討論，分別求出的最大值和最小值如何分類呢？由得，又由于故以0、1為界分類當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增以上兩種情況都很容易求得的范圍當時，在上單調遞減，【分析】（1）求導，對分類討論求解單調區間；（2）不等式成立，轉化為，然后求解函數的最大與最小值列出不等式求解．【詳解】（1），（1）當時，，，的減區間是．（2）當時，，的減區間是．（3）當時，，，的增區間是，，的減區間是．綜上，當時，減區間是；當時，增區間是，減區間是.（2），，因為存在實數，使得不等式成立，，，，,，，單減，，，單增．．，，，．C綜合素養1．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習）對于函數、、，如果存在實數使得，那么稱為、的生成函數.（1）下面給出兩組函數，是否分別為、的生成函數？并說明理由；第一組：，，；第二組：，，；（2）設，，取，生成函數圖象的最低點坐標為.若對于任意正實數，且，試問是否存在最大的常數，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）第一組：是，理由見解析；第二組：不是，理由見解析；（2）存在，289.【解析】（1）根據新函數定義：存在實數使得，判定第一組和第二組是否為生成函數即可；（2）根據新函數定義求出函數解析式，結合條件和，得到函數的解析式，轉化成求在上的最值問題.【詳解】解：（1）第一組：是、的生成函數，因為存在使，第二組