學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共6頁福建省龍巖市上杭四中學2025屆數學九年級第一學期開學教學質量檢測模擬試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）函數y中，自變量x的取值范圍是()A．x＝－5 B．x≠－5 C．x＝0 D．x≠02、（4分）在等腰三角形ABC中，AB=4,BC=2，則ΔABC的周長為（）A．10 B．8 C．8或10 D．6或83、（4分）如圖，線段AB兩端點的坐標分別為A（-1，0），B（1，1），把線段AB平移到CD位置，若線段CD兩端點的坐標分別為C（1，a），D（b，4），則a+b的值為（）A．7 B．6 C．5 D．44、（4分）若分式有意義，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5、（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E是BC邊上一點，將ΔABE沿AE折疊，使點B落在點B'處，連接CB'，則CB'的最小值是（）A．13-2 B．13+2 C．6、（4分）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=75°，∠AED的度數是()A．120° B．115° C．105° D．100°7、（4分）一次函數y＝—2x＋3的圖象與兩坐標軸的交點是（）A．(3，1)(1，)； B．(1，3)(，1)； C．(3，0)(0，)； D．(0，3)(，0)8、（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，則cosA的值是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）如圖，在平行四邊形中，點在上，，點是的中點，若點以1厘米/秒的速度從點出發，沿向點運動；點同時以2厘米/秒的速度從點出發，沿向點運動，點運動到停止運動，點也同時停止運動，當點運動時間是_____秒時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形．10、（4分）若分式的值與1互為相反數，則x的值是__________．11、（4分）如圖，香港特別行政區區徽由五個相同的花瓣組成，它是以一個花瓣為基本圖案通過連續四次旋轉所組成，這四次旋轉中，旋轉角度最小是______°.12、（4分）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，對角線AC=1．若過點A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為_________.13、（4分）若方程x2+kx+9＝0有兩個相等的實數根，則k＝_____．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB上一點，且AF＝BE，AE與DF交于點G．（1）求證：AE＝DF．（2）如圖2，在DG上取一點M，使AG＝MG，連接CM，取CM的中點P．寫出線段PD與DG之間的數量關系，并說明理由．（3）如圖3，連接CG．若CG＝BC，則AF：FB的值為．15、（8分）如圖，一次函數y＝kx+b（k≠0）經過點B（0，1），且與反比例函數y＝（m≠0）的圖象在第一象限有公共點A（1，2）．（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）根據圖象寫出當x取何值時，一次函數的值小于反比例函數的值？16、（8分）如圖1，點C、D是線段AB同側兩點，且AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，連接BC，AD交于點E．（1）求證：AE＝BE；（2）如圖2，△ABF與△ABD關于直線AB對稱，連接EF．①判斷四邊形ACBF的形狀，并說明理由；②若∠DAB＝30°，AE＝5，DE＝3，求線段EF的長．17、（10分）如圖，正方形ABCD的邊長為8，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．（1）請判斷△PFA與△ABE是否相似，并說明理由；（2）當點P在射線AD上運動時，設PA＝x，是否存在實數x，使以P，F，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由．18、（10分）把下列各式分解因式：（1）x(x-y)2-2(y-x)2（2）(x2+4)2-16x2B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）函數有意義，則自變量x的取值范圍是___．20、（4分）在函數中，自變量的取值范圍是________．21、（4分）如圖：在△ABC中，AB=13，BC=12，點D，E分別是AB，BC的中點，連接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周長是_____．22、（4分）“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數學《九章算術》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由圖獲得，則井深為_____尺．23、（4分）把(a-2)根號外的因式移到根號內,其結果為____.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）如圖，點E是正方形ABCD的BC延長線上一點，連接ED，過點B作交ED的延長線于點F，連接CF．（1）若，，求BF的長；（2）求證：.25、（10分）中國古代有著輝煌的數學成就，《周牌算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》等是我國古代數學的重要文獻.（1）小聰想從這4部數學名著中隨機選擇1部閱讀，求他選中《九章算術》的概率；（2）小聰擬從這4部數學名著中選擇2部作為假課外拓展學習內容，用列表或樹狀圖求選中的名著恰好是《九章算術》和《周牌算經》的概率.26、（12分）閱讀材料：在實數范圍內，當且時，我們由非負數的性質知道，所以，即:，當且僅當=時，等號成立，這就是數學上有名的“均值不等式”，若與的積為定值.則有最小值:請問：若，則當取何值時，代數式取最小值？最小值是多少？

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、B【解析】

根據分式的意義的條件：分母不等于0，可以求出x的范圍．【詳解】解：根據題意得：x+1≠0，

解得：x≠-1．

故選B．函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．2、A【解析】

等腰△ABC的兩邊長分別為4和2，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【詳解】①當腰是AB，則周長為4+4+2=10；②當腰是BC，則三邊為4，2，2，此時不能構成三角形，舍去.故選A.此題考查等腰三角形的性質，三角形三邊關系，解題關鍵在于分情況討論3、B【解析】

根據平移的性質分別求出a、b的值，計算即可．【詳解】解：點A的橫坐標為-1，點C的橫坐標為1，則線段AB先向右平移2個單位，∵點B的橫坐標為1，∴點D的橫坐標為3，即b=3，同理，a=3，∴a+b=3+3=6，故選：B．本題考查的是坐標與圖形變化-平移，掌握平移變換與坐標變化之間的規律是解題的關鍵．4、B【解析】

分式有意義時，分母x-1≠0，由此求得x的取值范圍．【詳解】依題意得：x-1≠0，解得x≠1．故選B．本題考查了分式有意義的條件．分式有意義的條件是分母不等于零．5、A【解析】

由矩形的性質得出∠B=90°，BC=AD=3，由折疊的性質得：AB'=AB=1，當A、B'、C三點共線時，CB'的值最小，由勾股定理得出AC=AB2+BC2=【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，BC=AD=3，

由折疊的性質得：AB'=AB=1，

當A、B'、C三點共線時，CB'的值最小，

此時AC=AB2+BC2=22+3本題考查了翻折變換的性質、矩形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握翻折變換的性質和勾股定理是解題的關鍵．6、A【解析】

如解圖所示,根據多邊形的外角和即可求出∠5，然后根據平角的定義即可求出結論．【詳解】解：∵∠1=∠2=∠3=∠4=75°，∴∠5=360°﹣75°×4=360°﹣300°=60°，∴∠AED=180°﹣∠5=180°﹣60°=120°．故選：A．此題考查的是多邊形的外角和平角的定義，掌握多邊形的外角和都等于360°是解決此題的關鍵．7、D【解析】y＝—2x＋3與橫軸的交點為(，0)，與縱軸的交點為(0，3)，故選D8、D【解析】

根據余弦的定義計算即可．【詳解】解：如圖，

在Rt△ABC中，，

故選：D．本題考查的是銳角三角函數的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦是解題的關鍵．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、3或【解析】

由四邊形ABCD是平行四邊形得出：AD∥BC，AD=BC，∠ADB=∠CBD，證得FB=FD，求出AD的長，得出CE的長，設當點P運動t秒時，點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，根據題意列出方程并解方程即可得出結果．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠FBD=∠CBD，∴∠FBD=∠FDB，∴FB=FD=11cm，∵AF=5cm，∴AD=16cm，∵點E是BC的中點，∴CE=BC=AD=8cm，要使點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則PF=EQ即可，設當點P運動t秒時，點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：①當點Q在EC上時，根據PF=EQ可得:5-t=8-2t，解得：t=3；②當Q在BE上時，根據PF=QE可得：5-t=2t-8，解得：t=．所以，t的值為：t=3或t=．故答案為：3或．本題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、一元一次方程的應用等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵．10、-1【解析】

根據相反數的性質列出分式方程求解即可．【詳解】∵分式的值與1互為相反數∴解得經檢驗，當時，，所以是方程的根故答案為：．本題考查了分式方程的運算問題，掌握分式方程的解法、相反數的性質是解題的關鍵．11、72【解析】試題解析：觀察圖形可知，中心角是由五個相同的角組成，∴旋轉角度是∴這四次旋轉中,旋轉角度最小是故答案為72.12、【解析】

設BE=x,則CE=5-x，在Rt△ABE和Rt△ACE中,由勾股定理表示出AE的平方，列出方程求解并進一步得到AE的長.【詳解】設BE=x,則CE=5-x，在Rt△ABE和Rt△ACE中,由勾股定理可得：所以解得，所以AE=.考點：1.菱形的性質；2.勾股定理.13、±1【解析】試題分析：∵方程x2+kx+9=0有兩個相等的實數根，∴△=0，即k2﹣4?1?9=0，解得k=±1．故答案為±1．考點：根的判別式．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、(1)?見解析；(2)?DG＝DP，理由見解析；(3)?1∶1.【解析】

（1）用SAS證△ABE≌△DAF即可；（2）DG＝DP，連接GP并延長至點Q，使PQ＝PG，連接CQ，DQ，先用SAS證△PMG≌△PCQ，得CQ＝MG＝AG，進一步證明∠DAG＝∠DCQ，再用SAS證明△DAG≌△DCQ，得∠ADF＝∠CDQ，于是有∠FDQ＝90°，進而可得△DPG為等腰直角三角形，由此即得結論；（3）延長AE、DC交于點H，由條件CG＝BC可證CD=CG=CH，進一步用SAS證△ABE≌△HCE，得BE=CE，因為AF＝BE，所以AF：BF=BE：CE=1：1.【詳解】解：（1）證明：正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABE＝∠DAF＝90°，BE＝AF，∴△ABE≌△DAF（SAS）∴AE＝DF；（2）DG＝DP，理由如下：如圖，連接GP并延長至點Q，使PQ＝PG，連接CQ，DQ，∵PM=PC，∠MPG=∠CPQ，∴△PMG≌△PCQ（SAS），∴CQ＝MG＝AG，∠PGM=∠PQC，∴CQ∥DF，∴∠DCQ＝∠FDC＝∠AFG，∵∠AFG＋∠BAE＝90°，∠DAG＋∠BAE＝90°，∴∠AFG=∠DAG.∴∠DAG＝∠DCQ.又∵DA=DC，∴△DAG≌△DCQ（SAS）.∴∠ADF＝∠CDQ.?∵∠ADC＝90°，∴∠FDQ＝90°.?∴△GDQ為等腰直角三角形∵P為GQ的中點∴△DPG為等腰直角三角形.∴DG＝DP.（3）1∶1.證明：延長AE、DC交于點H，∵CG=BC，BC=CD，∴CG=CD，∴∠1=∠2.∵∠1+∠H=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠H.∴CG=CH.∴CD=CG=CH.∵AB=CD，∴AB=CH.∵∠BAE=∠H，∠AEB=∠HEC，∴△ABE≌△HCE（SAS）.∴BE=CE.∵AF=BE，∴AF：BF=BE：CE=1：1.本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質，其中第（1）小題是基礎，第（2）（3）兩小題探求結論的關鍵是添輔助線構造全等三角形，從解題過程看，熟練掌握正方形的性質和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.15、（1）y＝x+1；y＝；（2）當x＜﹣2或0＜x＜1時，一次函數的值小于反比例函數的值．【解析】

（1）把點A、B坐標代入y＝kx+b，把點A的坐標代入y＝，根據待定系數法即可求得一次函數與反比例函數的解析式；（2）聯立方程，求得得一次函數與反比例函數的圖象交點坐標，然后利用函數圖象的位置關系求解．【詳解】（1）∵一次函數y＝kx+b（k≠0）經過點A（1，2），點B（0，1），∴，解得k＝1，b＝1∴一次函數解析式為y＝x+1；∵點A（1，2）在反比例函數y＝的圖象上，∴m＝1×2＝2，∴反比例函數解析式為y＝；（2）∵方程組的解為或，∴一次函數與反比例函數的圖象交點坐標為（1，2）、（﹣2，﹣1），∴當x＜﹣2或0＜x＜1時，一次函數的值小于反比例函數的值．本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足兩函數解析式．也考查了待定系數法求函數解析式以及觀察函數圖象的能力．16、(1)證明見解析；（2）①四邊形ACBF為平行四邊形，理由見解析；②EF=1.【解析】

（1）利用SAS證△ABC≌△BAD可得．（2）①根據題意知：AC=BD=BF，并由內錯角相等可得AC∥BF，所以由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得結論；②如圖2，作輔助線，證明△ADF是等邊三角形，得AD=AE+DE=3+5=8，根據等腰三角形三線合一得AM=DM=4，最后利用勾股定理可得FM和EF的長．【詳解】（1）證明：在△ABC和△BAD中，∵，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴∠CBA=∠DAB，∴AE=BE；（2）解：①四邊形ACBF為平行四邊形；理由是：由對稱得：△DAB≌△FAB，∴∠ABD=∠ABF=∠CAB，BD=BF，∴AC∥BF，∵AC=BD=BF，∴四邊形ACBF為平行四邊形；②如圖2，過F作FM⊥AD于，連接DF，∵△DAB≌△FAB，∴∠FAB=∠DAB=30°，AD=AF，∴△ADF是等邊三角形，∴AD=AE+DE=3+5=8，∵FM⊥AD，∴AM=DM=4，∵DE=3，∴ME=1，Rt△AFM中，由勾股定理得：FM===4，∴EF==1．本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定的性質、等邊三角形的性質和判定，勾股定理，本題中最后一問，有難度，恰當地作輔助線是解題的關鍵．17、（1）見解析；（2）存在，x的值為2或5.【解析】

（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根據題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進而列出關系式．【詳解】(1)證明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB.如圖，連接PE,DE,∴PE∥AB.∴四邊形ABEP為矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如圖，延長AD至點P，作PF⊥AE于點F,連接PE,若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴點F為AE的中點.∵AE=，∴EF=AE=.∵，∴PE=5，即x=5.∴滿足條件的x的值為2或5.此題考查正方形的性質，相似三角形的判定，解題關鍵在于作輔助線.18、(1)(x-y)2(x-1);(1)(x+1)2(x-1)2.【解析】

（1）直接提取公因式（x-y）1，進而分解因式得出答案；（1）直接利用平方差公式分解因式，進而結合完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）x（x-y）1-1（y-x）1

=（x-y）1（x-1）；（1）（x1+4）1-16x1=（x1+4-4x）（x1+4+4x）=（x-1）1（x+1）1．此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、且【解析】

求函數自變量的取值范圍，就是求函數解析式有意義的條件，根據二次根式被開方數必須是非負數和分式分母不為0的條件進行求解即可．【詳解】要使在實數范圍內有意義，必須所以x≥1且，故答案為：x≥1且．本題考查了函數自變量的取值范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．20、x≠1【解析】

根據分式有意義的條件，即可求解．【詳解】∵在函數中，x-1≠0，∴x≠1．故答案是：x≠1．本題主要考查函數的自變量的取值范圍，掌握分式的分母不等于零，是解題的關鍵．21、1【解析】

根據三角形中位線定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根據勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根據線段垂直平分線的性質得到DC=BD，根據三角形的周長公式計算即可．【詳解】∵D，E分別是AB，BC的中點，∴AC=2DE=5，AC∥DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC∥DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中點，∴直線DE是線段BC的垂直平分線，∴DC=BD，∴△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=1，故答案為1．本題考查的是三角形中位線定理、線段垂直平分線的判定和性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．22、57.5【解析】

根據題意有△ABF∽△ADE，再根據相似三角形的性質可求出AD的長，進而得到答案.【詳解】如圖，AE與BC交于點F，由BC//ED得△ABF∽△ADE，∴AB:AD=BF:DE，即5:AD=0.4:5，解得：AD=62.5（尺），則BD=AD－AB=62.5－5=57.5（尺）故答案為57.5.本題主要考查相似三角形的性質：兩個三角形相似對應角相等，對應邊的比相等.23、-【解析】根據二次