2025屆廣西賀州市中學數學高二上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.2．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.3．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，則l的方程為（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝04．設，隨機變量X的分布列如下表所示，隨機變量Y滿足，則當a在上增大時，關于的表述下列正確的是（）X013PabA增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大5．已知點，分別在雙曲線的左右兩支上，且關于原點對稱，的左焦點為，直線與的左支相交于另一點，若，且，則的離心率為（）A B.C. D.6．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.27．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.8．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則一定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形9．某企業甲車間有200人，乙車間有300人，現用分層抽樣的方法在這兩個車間中抽取25人進行技能考核，則從甲車間抽取的人數應為（）A.5 B.10C.8 D.910．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線與橢圓的另一個交點為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關系不確定12．命題“”的一個充要條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點（點B在第一象限），與準線交于點P.若，，則____________.14．在等比數列中，已知，則__________15．已知內角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為__________.16．機動車駕駛考試是為了獲得機動車駕駛證的考試，采用全國統一的考試科目內容及合格標準，包括科目一理論考試、科目二場地駕駛技能考試、科目三道路駕駛技能考試和科目四安全文明常識考試共四項考試，考生應依次參加四項考試，前一項考試合格后才能報名參加后一項考試，考試不合格則需另行交費預約再次補考．據公安部門通報，佛山市四項考試的合格率依次為，，，，且各項考試是否通過互不影響，則一位佛山公民通過駕考四項考試至多需要補考一次的概率為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，交直線于點，且，.求證：為定值，并計算出該定值.18．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標原點）（1）求拋物線的標準方程；（2）點、是拋物線上異于原點的兩點，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過定點19．（12分）已知拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，點關于坐標原點對稱，過點作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）設直線與軸交點分別為，求的值；（3）若，求.20．（12分）已知函數.（1）求函數f(x)的最小正周期；（2）當時，求函數f(x)的值域.21．（12分）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，點P是橢圓C上位于第二象限的任一點，直線l是的外角平分線，過左焦點作l的垂線，垂足為N，延長交直線于點M，（其中O為坐標原點），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）過右焦點的直線交橢圓C于A，B兩點，點T在線段AB上，且，點B關于原點的對稱點為R，求面積的取值范圍.22．（10分）設曲線在點（1，0）處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求證：；（3）當，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據不等式性質及對數函數的單調性判斷命題的真假，根據大角對大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據復合命題真假的判斷方法即可得出結論.【詳解】解：若，且，則，當時，，所以，當時，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.2、A【解析】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A3、D【解析】設切點為，則切線的斜率為，然后根據條件可得的值，然后可得答案.【詳解】設切點為，因為，所以切線的斜率為因為曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，所以，即所以l的方程為，即故選：D4、A【解析】先求得參數b，再去依次去求、、，即可判斷出的單調性.【詳解】由得則，由得a在上增大時,增大.故選：A5、D【解析】根據雙曲線的定義及，，應用勾股定理，可得關系，即可求解.【詳解】設雙曲線的右焦點為，連接,,,如圖：根據雙曲線的對稱性及可知，四邊形為矩形.設因為，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化簡可得，③把③代入①可得：，所以，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，雙曲線的簡單幾何性質，勾股定理，屬于難題.6、D【解析】根據拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題7、D【解析】將題設條件轉化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設,則在上單調遞減,所以,所以,即,故選:D.【點睛】本題主要考查二次不等式能成立問題,可以選擇分離參數轉化為最值問題,也可以進行分情況討論.8、B【解析】利用余弦定理化角為邊，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，則，所以，所以是等腰三角形.故選：B.9、B【解析】根據分層抽樣的定義即可求解.【詳解】從甲車間抽取的人數為人故選：B10、B【解析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點坐標，再根據點在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因為為等腰三角形，且，又，所以，所以，過點作軸，垂足為，則，由，，得，因為點在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.11、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關系.【詳解】因為平面，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因為，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C12、D【解析】結合不等式的基本性質，利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當時，滿足，推不出，故不充分；B.當時，滿足，推不出，故不充分；C.當時，推不出，故不必要；D.因為，故充要，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過點作，垂足為，過點作，垂足為，然后根據拋物線的定義和三角形相似的關系可求得結果【詳解】過點作，垂足為，過點作，垂足為，由拋物線的定義可知，，不妨設，因為，所以，因為∽，所以，即，所以，所以，因為與反向，所以.故答案為：14、32【解析】根據已知求出公比即可求出答案.【詳解】設等比數列的公比為，則，則，所以.故答案為：32.15、【解析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據與的關系，求得，即可求得c的最小值.【詳解】，即，又，當最大時，即，最小，且為由正弦定理得：，當時，c的最小值為故答案為：【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數變形或者三角恒等變換前置；（5）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.16、【解析】至多需要補考一次，分5種情況分別計算后再求和即可.【詳解】不需要補考就通過的概率為；僅補考科目一就通過的概率為；僅補考科目二就通過的概率為；僅補考科目三就通過的概率為；僅補考科目三就通過的概率為，一位佛山公民通過駕考四項考試至多需要補考一次的概率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）由題意得，從而寫出橢圓的方程即可；（2）易知直線斜率存在，令，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程，消去得到關于的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標公式即可求得值，從而解決問題.【小問1詳解】（1）由條件得，所以方程為【小問2詳解】易知直線斜率存在，令，，，由，因為，所以，即-1-x1因為，所以，即-4-x1由①，由②將，代入上式，得18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由點在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關于的等式，解出正數的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）設點、，利用斜率公式結合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯立，利用韋達定理求出的值，即可得出結論.【小問1詳解】解：拋物線的焦點為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設點、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設直線的方程為，聯立，可得，由韋達定理可得，可得，此時，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過定點.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運用拋物線的定義進行求解即可；（2）設出直線的方程，與拋物線的方程聯立，可求得點和的縱坐標，結合直線點斜式方程、兩點間距離公式進行求解即可；（3）利用弦長公式求得，由兩點間距離公式求得和，再解方程即可.【小問1詳解】拋物線的準線方程為：，因為點到拋物線焦點的距離為，所以有；小問2詳解】由題意知，，，設，則，，，，所以直線的方程為，聯立，消去得，，解得，設，，，，不妨取，，直線的斜率為，其方程為，令，則，同理可得，所以，而，所以；【小問3詳解】，其中，，，因為，所以，化簡得，解得（舍負），即，所以【點睛】關鍵點睛：運用拋物線的定義、弦長公式進行求解是解題的關鍵.20、（1）；（2）.【解析】（1）先通過降冪公式和輔助角公式將函數化簡，進而求出周期；（2）求出的范圍，進而結合三角函數的性質求得答案.【小問1詳解】，函數最小正周期為.【小問2詳解】當時，，，∴，即函數的值域為.21、（1）（2）【解析】（1）根據題意可得到的值，結合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進一步推得，于是設直線方程和橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，求得弦長，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結合二次函數的性質求其范圍.【小問1詳解】由題意可知：為的中點，為的中點，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由題意可知，，,①當過的直線與軸垂直時，，,②當過的直線不與軸垂直時，可設，，直線方程為,聯立,可得：.,,,由弦長公式可知，到距離為,故，令，則原式變為，令，原式變為當時，故，由①②可知.【點睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時的三角形的面積問題，考查學生的計算能力和數學素養，解答的關鍵是計算三角形面積時要理清運算的思路，準確計算.22、（1）（2）證明見解析（3）【解析】（1）求導，根據導數的幾何意義，令x=1處的切線的斜率等1，結合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的結論，構造函數，求求導數，判斷單調性，求出最小值即可證明；（3）根據條件構造函數，求出其導數，分類討論導數