黑龍江省佳木斯市建三江一中2025屆數學高二上期末學業水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．已知，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.3．已知圓的圓心到直線的距離為，則圓與圓的位置關系是（）A.相交 B.內切C.外切 D.外離4．過點，的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或45．已知兩條不同直線和平面，下列判斷正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則6．設,,,則,,大小關系為A. B.C. D.7．函數的大致圖象為A. B.C. D.8．已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如圖所示，則該函數的圖象是（）A. B.C. D.9．設是雙曲線的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為A. B.C. D.10．已知是拋物線上的點，F是拋物線C的焦點，若，則（）A.1011 B.2020C.2021 D.202211．關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為A. B.C. D.12．設，若直線與直線平行，則的值為（）A. B.C.或 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如下圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q，作第3個正方形MNPQ，依此方法一直繼續下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖（2）陰影部分，設直角三角形AEH面積為，直角三角形EMQ面積為，后續各直角三角形面積依次為，…，，若數列的前n項和恒成立，則實數的取值范圍為______.14．復數的共軛復數是__________15．拋物線的焦點坐標是______.16．已知，分別是橢圓和雙曲線的離心率，，是它們的公共焦點，M是它們的一個公共點，且，則的最大值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線C的參數方程為，（為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的極坐標方程；（2）已知直線與曲線C相交于A，B兩點，求.18．（12分）國家助學貸款由國家指定的商業銀行面向在校全日制高等學校經濟困難學生發放.用于幫助他們支付在校期間的學習和日常生活費.從年秋季學期起，全日制普通本專科學生每人每年申請貸款額度由不超過元提高至不超過元，助學貸款償還本金的寬限期從年延長到年.假如學生甲在本科期間共申請到元的助學貸款，并承諾在畢業后年內還清，已知該學生畢業后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，此后工資不再浮動.（1）學生甲參加工作后第幾個月的月工資達到元；（2）如果學生甲從參加工作后的第一個月開始，每個月除了償還應有的利息外，助學貸款的本金按如下規則償還：前個月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，第個月償還剩余的本金.則他第個月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數據：；；）19．（12分）如圖1，已知正方形的邊長為，分別為的中點，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，點在線段上（含端點）運動，連接（1）若為的中點，直線與平面交于點，確定點位置，求線段的長；（2）若折成二面角大小為，是否存在點M，使得直線與平面所成的角為，若存在，確定出點的位置；若不存在，請說明理由20．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點M為棱AB的中點，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值21．（12分）已知拋物線C：x2＝2py的焦點為F，點N（t，1）在拋物線C上，且|NF|＝.（1）求拋物線C的方程；（2）過點M（0，1）的直線l交拋物線C于不同的兩點A，B，設O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.22．（10分）已知函數（a是常數）.（1）當時，求的單調區間與極值；（2）若，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】把雙曲線的標準方程中的1換成0，可得其漸近線的方程【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即，故選B【點睛】本題考查了雙曲線的標準方程與簡單的幾何性質等知識，屬于基礎題2、A【解析】根據給定條件構造函數，再探討其單調性并借助單調性判斷作答.【詳解】令函數，求導得，當時，，于是得在上單調遞減，而，則，即，所以，故選：A3、B【解析】求出兩圓的圓心與半徑，根據兩圓的位置關系的判定即可求解.【詳解】已知圓的圓心到直線的距離，即，解得或,因為,所以,圓的圓心的坐標為，半徑，將圓化為標準方程為，其圓心的坐標為，半徑，圓心距，兩圓內切，故選：B4、A【解析】解方程即得解.【詳解】由題得.故選：A【點睛】本題主要考查斜率的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.5、D【解析】根據線線、線面、面面的平行與垂直的位置關系即可判斷.【詳解】解：對于選項A：若，則與可能平行，可能相交，可能異面，故選項A錯誤；對于選項B：若，則，故選項B錯誤；對于選項C：當時不滿足，故選項C錯誤；綜上，可知選項D正確.故選：D.6、C【解析】由,可得,,故選C.考點：指數函數性質7、D【解析】根據函數奇偶性排除A、C.當時排除B【詳解】解：由可得所以函數為偶函數，排除A、C.因為時，，排除B.故選：D.8、A【解析】利用導數與函數的單調性之間的關系及導數的幾何意義即得.【詳解】由函數f(x)的導函數y＝f′(x)的圖像自左至右是先減后增，可知函數y＝f(x)圖像的切線的斜率自左至右先減小后增大，且，在處的切線的斜率為0，故BCD錯誤，A正確.故選：A.9、C【解析】根據圖形的幾何特性轉化成雙曲線的之間的關系求解.【詳解】設另一焦點為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，屬于中檔題.10、C【解析】結合向量坐標運算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設，因為是拋物線上的點，F是拋物線C的焦點，所以，準線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C11、B【解析】設，解集為所以二次函數圖像開口向下，且與交點為，由韋達定理得所以的解集為，故選B.12、C【解析】根據直線的一般式判斷平行的條件進行計算.【詳解】時，容易驗證兩直線不平行，當時，根據兩直線平行的條件可知：，解得或.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】先求正方形邊長的規律，再求三角形面積的規律，從而就可以求和了，再解不等式即可求解.【詳解】由題意，由外到內依次各正方形的邊長分別為，則，，……，，于是數列是以4為首項，為公比的等比數列，則.由題意可得：，即……，于是.，故解得或.故答案為：或14、【解析】利用復數除法化簡，由共軛復數的概念寫出即可.【詳解】，∴.故答案為：15、【解析】將拋物線的方程化為標準形式，即可求解出焦點坐標.【詳解】因為拋物線方程，焦點坐標為，且，所以焦點坐標為，故答案為：.16、【解析】利用橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理找到的關系，然后利用三角換元求最值即可.【詳解】解析：設橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為，半焦距為c，設，，，因為，所以由余弦定理可得，①在橢圓中，，①化簡為，即，②在雙曲線中，，①化簡為，即，③聯立②③得，，即，記，，，則，當且僅當，即，時取等號故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）首先將圓的參數方程華為普通方程，再轉化為極坐標方程即可.（2）首先聯立得到，再求的長度即可.【詳解】（1）將曲線C的參數方程，（為參數）化為普通方程，得，極坐標方程為.（2）聯立方程組，消去得，設點A，B對應的極徑分別為，，則，，所以.18、（1）；（2）不能，理由見解析.【解析】（1）設甲參加工作后第個月的月工資達到元，根據已知條件可得出關于的不等式，結合參考數據可求得結果；（2）分析可知從第個月開始到第個月償還的本金是首項為為首項，以為公差的等差數列，計算出甲前個月償還的本金，再由甲第個月的工資可得出結論.【小問1詳解】解：設甲參加工作后第個月的月工資達到元，則，可得，，解得，所以，學生甲參加工作后第個月的月工資達到元.【小問2詳解】解：因為甲前個月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，所以，從第個月開始到第個月償還的本金是首項為為首項，以為公差的等差數列，所以，前個月償還的本金為，因為第個月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，所以，第個月的工資為元，因為，因此，甲第個月的工資不能足夠償還剩余的本金.19、（1）是的延長線與延長線的交點，且（2）存在，使得直線與平面所成的角為，且.【解析】（1）通過延長、以及全等三角形確定點的位置并求得線段的長.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法判斷符合題意的點是否存在.【小問1詳解】延長，連接并延長，交的延長線于，由于，所以，所以.所以是的延長線與延長線的交點，且.【小問2詳解】由于，所以平面，，由于平面，所以平面平面.建立如圖所示空間直角坐標系，，設，，設平面的法向量為，則，故可設，由于直線與平面所成的角為，所以，整理得，解得或（舍去）存在，使得直線與平面所成的角為，且.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點，分別以，，方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系，分別求得平面BCD的一個法向量和平面DCM的一個法向量，然后由求解【小問1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問2詳解】如圖，以A為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系，則，，，，，依題意，可得，設為平面BCD的一個法向量，則，不妨令，可得設為平面DCM的一個法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為21、（1）x2＝2y；（2）證明見解析【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設直線l的直線方程與拋物線方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系、斜率公式進行證明即可.【小問1詳解】∵點N（t，1）在拋物線C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴拋物線C的方程為x2＝2y；【小問2詳解】依題意，設直線l：y＝kx+1，A（x1，y1），B