上海市師范大學附屬中學2025屆高一數學第一學期期末考試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．非零向量，，若點關于所在直線的對稱點為，則向量為A. B.C. D.2．，，這三個數之間的大小順序是（）A. B.C. D.3．在平行四邊形中，，則（）A. B.C.2 D.44．若m，n表示兩條不同直線，α表示平面，則下列命題中真命題是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分條件B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的充要條件6．設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面，且，則下列說法正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．如圖：在正方體中，設直線與平面所成角為，二面角的大小為，則為A. B.C. D.8．已知冪函數的圖象過點(2,)，則的值為（）A B.C. D.9．已知函數y=xa，y=xb，y=cx的圖象如圖所示，則A.c<b<a B.a<b<cC.c<a<b D.a<c<b10．若和都是定義在上的奇函數，則（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合，，則=______12．在平行四邊形中，為上的中點，若與對角線相交于，且，則__________13．已知是第四象限角，，則______14．已知函數在區間上是增函數，則下列結論正確是__________（將所有符合題意的序號填在橫線上）①函數在區間上是增函數；②滿足條件的正整數的最大值為3；③.15．已知冪函數在區間上單調遞減，則___________.16．函數的圖象的對稱中心的坐標為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數是偶函數（1）求實數的值；（2）若函數的最小值為，求實數的值；（3）當為何值時，討論關于的方程的根的個數18．已知函數⑴判斷并證明函數的奇偶性；⑵若，求實數的值.19．已知是定義在上的奇函數.（1）求實數和的值；（2）根據單調性的定義證明：在定義域上為增函數.20．直線過點，且傾斜角為.（1）求直線的方程；（2）求直線與坐標軸所圍成的三角形面積.21．設是定義在上的偶函數，的圖象與的圖象關于直線對稱，且當時，（）求的解析式（）若在上為增函數，求的取值范圍（）是否存在正整數，使的圖象的最高點落在直線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】如圖由題意點B關于所在直線的對稱點為B1，所以∠BOA=∠B1OA，所以又由平行四邊形法則知:,且向量的方向與向量的方向相同，由數量積的概念向量在向量方向上的投影是OM=，設與向量方向相同的單位向量為：，所以向量=2=2=，所以=.故選A.點睛：本題利用平行四邊形法則表示和向量，因為對稱，所以借助數量積定義中的投影及單位向量即可表示出和向量,解題時要善于借助圖像特征體現向量的工具作用.2、C【解析】利用指數函數和對數函數的性質比較即可【詳解】解：因為在上為減函數，且，所以，因為在上為增函數，且，所以，因為在上為增函數，且，所以，綜上，，故選：C3、B【解析】由條件根據兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得，，然后轉化求解即可【詳解】可得，，兩式平方相加可得故選：4、A【解析】對于A，因為垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故A正確；對于B，如果一條直線平行于一個平面，那么平行于已知直線的直線與該平面的位置關系有平行或在平面內，故B錯；對于C，因同平行于一個平面的兩條直線異面、相交或平行，故C錯；對于D，與一個平面的平行直線垂直的直線與已知平面是平行、相交或在面內，故D錯，選A.5、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】因為是集合A的子集，故“”是“”的必要條件，故選項A為假命題；當時，則，所以“”是“”的必要條件，故選項B為真命題；因為是上的減函數，所以當時，，故選項C為假命題；取，，但，故選項D為假命題.故選：B.6、A【解析】本道題目分別結合平面與平面平行判定與性質，平面與平面平行垂直判定與性質，即可得出答案．【詳解】A選項,結合一條直線與一平面垂直,則過該直線的平面垂直于這個平面,故正確;B選項,平面垂直,則位于兩平面的直線不一定垂直,故B錯誤;C選項,可能平行于與相交線,故錯誤;D選項,m與n可能異面，故錯誤【點睛】本道題目考查了平面與平面平行判定與性質，平面與平面平行垂直判定與性質，發揮空間想象能力，找出選項的漏洞，即可．7、B【解析】連結BC1，交B1C于O，連結A1O，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直線A1B與平面A1DCB1所成角θ1，∵BO=A1B，∴θ1=30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，∵BB1=BC，且BB1⊥BC，∴θ2=45°故答案選：B8、A【解析】令冪函數且過(2,)，即有，進而可求的值【詳解】令，由圖象過(2,)∴，可得故∴故選：A【點睛】本題考查了冪函數，由冪函數的形式及其所過的定點求解析式，進而求出對應函數值，屬于簡單題9、A【解析】由指數函數、冪函數的圖象和性質，結合圖象可得a>1，b=12，【詳解】由圖象可知：a>1，y=xb的圖象經過點4,2當x=1時，y=c∴c<b<a，故選：A【點睛】本題考查了函數圖象的識別，關鍵掌握指數函數，對數函數和冪函數的圖象和性質，屬于基礎題.10、A【解析】根據題意可知是周期為的周期函數，以及，，由此即可求出結果.【詳解】因為和都是定義在上的奇函數，所以，，所以，所以，所以是周期為周期函數，所以因為是定義在上的奇函數，所以，又是定義在上的奇函數，所以，所以，即，所以.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、{-1,1,2}；【解析】=={-1,1,2}12、3【解析】由題意如圖：根據平行線分線段成比例定理，可知，又因為，所以根據三角形相似判定方法可以知道∵為的中點∴相似比為∴∴故答案為313、【解析】利用同角三角函數的基本關系求出的值，在利用誘導公式可求得結果.【詳解】因為是第四象限角，，則，所以，.故答案為：.14、①②③【解析】!由題函數在區間上是增函數，則由可得為奇函數，則①函數在區間(,0)上是增函數，正確；由可得，即有滿足條件的正整數的最大值為3，故②正確；由于由題意可得對稱軸，即有.，故③正確故答案為①②③【點睛】本題考查正弦函數的圖象和性質，重點是對稱性和單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題15、【解析】根據冪函數定義求出值，再根據單調性確定結果【詳解】由題意，解得或，又函數在區間上單調遞減，則，∴故答案為：16、【解析】利用正切函數的對稱中心求解即可.【詳解】令＝()，得()，∴對稱中心的坐標為故答案：()三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）當時，方程有一個根；當時，方程沒有根；當或或時，方程有兩個根；當時，方程有三個根；當時，方程有四個根【解析】（1）利用偶函數滿足，求出的值；（2）對函數變形后利用二次函數的最值求的值；（3）定義法得到的單調性，方程通過換元后得到的根的情況，通過分類討論最終求出結果.【小問1詳解】由題意得：，即，所以，其中，∴，解得：【小問2詳解】，∴，故函數的最小值為，令，故的最小值為，等價于，解得：或，無解綜上：【小問3詳解】由，令，，有由，有，，可得，可知函數為增函數，故當時，函數單調遞增，由函數為偶函數，可知函數的增區間為，減區間為，令，有，方程（記為方程①）可化為，整理為：（記為方程②），，當時，有，此時方程②無解，可得方程①無解；當時，時，方程②的解為，可得方程①僅有一個解為；時，方程②的解為，可得方程①有兩個解；當時，可得或，1°當方程②有零根時，，此時方程②還有一根為，可得此時方程①有三個解；2°當方程②有兩負根時，可得，不可能；3°當方程②有兩正根時，可得：，又由，可得，此時方程①有四個根；4°當方程②有一正根一負根時，，可得：或，又由，可得或，此時方程①有兩個根，由上知：當時，方程①有一個根；當時，方程①沒有根；當或或時，方程①有兩個根；當時，方程①有三個根；當時，方程①有四個根【點睛】對于復合函數根的個數問題，要用換元法來求解，通常方法會用到根的判別式，導函數，基本不等式等.18、（1）（2）【解析】（1）求出函數的定義域，利用函數的奇偶性的定義判斷即可；（2）是奇函數,則結合，求解代入求解即可.【詳解】(1)解：是奇函數.證明：要等價于即故的定義域為設任意則又因為所以是奇函數.(2)由(1)知，是奇函數,則聯立得即解得19、（1）；（2）見詳解2.【解析】（1）由可得，再求值.（2）設，作差與零比較.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數，所以，，，【小問2詳解】設，則，，，，所以，，故在定義域上為增函數.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據傾斜角得到斜率，再由點斜式，即可得出結果；（2）分別求出直線與坐標軸的交點坐標，進而可求出三角形面積.【詳解】（1）∵傾斜角為，∴斜率，∴直線的方程為：，即；（2）由（1）得，令，則，即與軸交點為；令，則，以及與軸交點為；所以直線與坐標軸所圍成的三角形面積為.21、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】分析：（）當時，，；當時，，從而可得結果；（）由題設知，對恒成立，即對恒成立，于是，，從而；（）因為為偶函數，故只需研究函數在的最大值，利用導數研究函數的單調性，討論兩種情況，即可篩選出符合題意的正整數.詳解：（）當時，，；當時，，∴，（）由題設知，對恒成立，即對恒成立，于是，，從而（）因為為偶函數，故只需研究函數在的最