專題3.1導數的概念及運算、定積分【考情分析】1.了解導數概念的實際背景；2.通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義；3.能依據導數的定義求函數y＝c(c為常數)，y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)的導數；4.能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡潔函數的導數，能求簡潔復合函數(僅限于形如y＝f(ax＋b)的復合函數)的導數；5.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，幾何意義；6.了解微積分基本定理的含義。【重點學問梳理】學問點1．導數的概念(1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數：函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時改變率lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′（x）＝x0，即f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)。【特殊提示】函數y＝f(x)的導數f′(x)反映了函數f(x)的瞬時改變趨勢，其正負號反映了改變的方向，其大小|f′(x)|反映了改變的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”。(2)導數的幾何意義：函數f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數)．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)。【特殊提示】曲線y＝fx在點Px0，y0處的切線是指P為切點，斜率為k＝f′x0的切線，是唯一的一條切線。(3)函數f(x)的導函數：稱函數f′(x)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)為f(x)的導函數。(4)f′(x)是一個函數，f′(x0)是函數f′(x)在x0處的函數值(常數)，[f′(x0)]′＝0。學問點2．基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)學問點3.導數的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0).學問點4．復合函數的導數復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積。學問點5.定積分的概念與幾何意義(1)定積分的定義假如函數f(x)在區間[a，b]上連續，用分點將區間[a，b]等分成n個小區間，在每個小區間上任取一點ξi(i＝1，2，…，n)，作和式eq\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))f(ξi)Δx＝eq\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))eq\f(b－a,n)f(ξi)，當n→∞時，上述和式無限接近于某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區間[a，b]上的定積分，記作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝在eq\i\in(a,b,)f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區間[a，b]叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.(2)定積分的幾何意義f(x)eq\i\in(a,b,)f(x)dx的幾何意義f(x)≥0表示由直線x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積f(x)＜0表示由直線x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數f(x)在[a，b]上有正有負表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積學問點6.定積分的性質(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k為常數).(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx.(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b).學問點7.微積分基本定理一般地，假如f(x)是在區間[a，b]上的連續函數，且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a).這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)記為F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))＝F(b)－F(a).【特殊提示】函數f(x)在閉區間[－a，a]上連續，則有(1)若f(x)為偶函數，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.(2)若f(x)為奇函數，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.【典型題分析】高頻考點一導數的運算【例1】(2024·天津卷)已知函數f(x)＝exlnx，f′(x)為f(x)的導函數，則f′(1)的值為________.【解析】由題意得f′(x)＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)，則f′(1)＝e.【答案】e【方法技巧】(1)求函數的導數要精確地把函數分解為基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導數．(2)在求導過程中，要細致分析函數解析式的結構特征，緊扣法則，記準公式，避開運算錯誤．【變式探究】（2024·廣東省佛山市一中模擬）已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝.－4[∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.]高頻考點二求切線方程例2.（2024·新課標Ⅰ）函數的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.【舉一反三】【2024·全國Ⅰ卷】曲線在點處的切線方程為____________．【解析】所以切線的斜率，則曲線在點處的切線方程為，即．【答案】【方法技巧】(1)已知切點A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點處的導數值：k＝f′(x0)．(2)若求過點P(x0，y0)的切線方程，可設切點為(x1，y1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1))求解即可．(3)處理與切線有關的參數問題，通常依據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程并解出參數：①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．高頻考點三求參數的值例3.【2024·全國Ⅲ卷】已知曲線在點（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則（）A． B．a=e，b=1C． D．，【答案】D【解析】∵y′＝aex＋lnx＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.∴切點為(1,1)，將(1,1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，∴b＝－1，故選D.【變式探究】（2024·吉林省通化市第一中學模擬）已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m＜0)，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m＝.【答案】－2【解析】∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直線l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，m＜0，∴m＝－2.高頻考點四導數與函數圖象例4.（2024·山西忻州一中模擬）已知函數y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數的圖象是()【答案】B【解析】由y＝f′(x)的圖象是先上升后下降可知，函數y＝f(x)圖象的切線的斜領先增大后減小，故選B.【變式探究】（2024·浙江省衢州第一中學模擬）已知y＝f(x)是可導函數，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數，則g′(3)＝.【答案】0【解析】由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－eq\f(1,3)，∴f′(3)＝－eq\f(1,3).∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由題圖可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.高頻考點五定積分的計算例5.（2024·江蘇省儀征中學模擬）計算eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx的值為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2)＋ln2C.eq\f(5,2)＋ln2 D．3＋ln2【答案】B【解析】eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋lnx))|eq\o\al(2,1)＝2＋ln2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)＋ln2.故選B.]【方法技巧】(1)把被積函數變形為冪函數、正弦函數、余弦函數、指數函數與常數的積的和或差．(2)把定積分變形為求被積函數為上述函數的定積分．(3)分別用求導公式的逆運算找到一個相應的原函數．(4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值，然后求其代數和．【變式探究】（2024·安徽省阜陽市第一中學模擬）eq\i\in(0,π,)(sinx－cosx)dx＝________．【答案】2【解析】eq\i\in(0,π,)(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)|eq\o\al(π,0)＝1＋1＝2高頻考點六定積分的幾何意義例6.（2024·福建省晉江市第一中學模擬）若eq\i\in(－2,m,)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)，則m＝________．【答案】－1【解析】依據定積分的幾何意義eq\i\in(－2,m,)eq\r(－x2－2x)dx表示圓(x＋1)2＋y2＝1和直線x＝－2，x＝m和y＝0圍成的圖形的面積，又eq\i\in(－2,m,)eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π,4)為四分之一圓的面積，結合圖形知m＝－1.【變式探究】（2024·山東省淄博市第八中學模擬）曲線y＝－x＋2，y＝eq\r(x)與x軸所圍成的面積為_______