PAGE2.2函數(shù)的表示法(一)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.駕馭函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖像法以及各自的優(yōu)缺點(diǎn)．2.在實(shí)際問題中，能夠選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉▉肀硎竞瘮?shù)．3.能利用函數(shù)圖像求函數(shù)的值域，并確定函數(shù)值的改變趨勢.加強(qiáng)邏輯推理提升數(shù)學(xué)運(yùn)算增加直觀想象授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第20頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)函數(shù)的表示法eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P28－31，思索并完成以下問題)某同學(xué)安排買x(x∈{1,2,3,4,5})支2B鉛筆，每支鉛筆的價(jià)格為0.5元，共需y元，于是y與x之間建立起了一個函數(shù)關(guān)系．(1)函數(shù)的定義域是什么？提示：{1,2,3,4,5}．(2)y與x有何關(guān)系？提示：y＝0.5x.(3)試用表格表示y與x之間的關(guān)系．提示：表格如下：支數(shù)(x)12345錢數(shù)(y)0.511.522.5學(xué)問梳理函數(shù)的表示方法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(解析法：用自變量的解析表達(dá)式表示兩個變量,之間的對應(yīng)關(guān)系,圖像法：用圖像表示兩個變量,之間的對應(yīng)關(guān)系,列舉法：列出表格來表示兩個變量,之間的對應(yīng)關(guān)系))思索：1.任何一個函數(shù)都能用解析法表示嗎？提示：不肯定．如一年內(nèi)每天的氣溫與日期間的關(guān)系，每日股票的價(jià)格同開盤時(shí)間的關(guān)系等等，都不能用解析法表示．2．你能說一下三種表示法各自的優(yōu)缺點(diǎn)嗎？提示：表示法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)解析法簡明、全面概括了變量間的關(guān)系；利用解析式可以求任一點(diǎn)處的函數(shù)值不夠形象、直觀而且并非全部的函數(shù)都有解析式列表法不需計(jì)算可以干脆看出自變量對應(yīng)的函數(shù)值僅能表示自變量取較少的有限的對應(yīng)關(guān)系圖像法能形象直觀地表示函數(shù)的改變狀況只能近似求出自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值，而且有時(shí)誤差較大3.如何推斷一個圖形是否可以作為函數(shù)的圖像？提示：任取一條垂直于x軸的直線l，在定義域上移動此直線，若直線l與圖形只有一個交點(diǎn)，則是函數(shù)的圖像，若有兩個或兩個以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù)的圖像．[自我檢測]1．下列各圖像中，不行能是函數(shù)y＝f(x)的圖像的有()A．1個B．2個C．3個 D．4個解析：推斷一個圖像是否是函數(shù)圖像，其關(guān)鍵是分析是否滿意定義域內(nèi)的隨意一個x，都有唯一確定的y與之對應(yīng)．故①②可能是函數(shù)圖像．③④肯定不是y＝f(x)的圖像．答案：B2．下列用圖表給出的函數(shù)關(guān)系中，當(dāng)x＝6時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值y＝()x0＜x≤11＜x≤55＜x≤10x＞10y1234A.2B．3C．4解析：5＜x≤10時(shí)，y＝3，∴x＝6時(shí)，y＝3.答案：B3．已知f(x)是正比例函數(shù)且過點(diǎn)(1,1)，則f(x)＝________.解析：設(shè)f(x)＝kx(k≠0)，由題意可知f(1)＝k＝1，∴f(x)＝x.答案：x授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第21頁探究一函數(shù)的三種表示方法[例1]下列式子或表格：①y＝2x，其中x∈{0,1,2,3}，y∈{0,2,4}；②x2＋y2＝2；③y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)；④x12345y9089888595其中表示y是x的函數(shù)的是________．[思路點(diǎn)撥]解答本題的關(guān)鍵是分析所給式子或表格是否滿意函數(shù)的定義．[解析]①不表示y是x的函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x＝3時(shí)，y沒有值與其對應(yīng)；②不表示y是x的函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，y＝±1，即y有兩個值與x的值對應(yīng)；③不表示y是x的函數(shù)，因?yàn)樵磉_(dá)式中x∈?；④能表示y是x的函數(shù)，因?yàn)樵摫砀窦葷M意函數(shù)概念中的確定性也滿意唯一性．[答案]④方法技巧函數(shù)表示法的留意事項(xiàng)：(1)列表法、圖像法、解析法均是函數(shù)的表示方法，無論用哪種方式表示函數(shù)，都必需滿意函數(shù)的概念．(2)推斷所給圖像、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿意函數(shù)的定義．跟蹤探究1.某商場新進(jìn)了10臺彩電，每臺售價(jià)3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來．解析：(1)列表法：x(臺)12345678910y(元)30006000900012000150001800021000240002700030000(2)圖像法：如圖所示：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．探究二求函數(shù)的解析式[例2]求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿意3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f((3)已知f(x)滿意2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)．[思路點(diǎn)撥](1)用換元法．(2)用待定系數(shù)法．(3)用消元法．[解析](1)令x＋1＝t，則x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.(3)2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x①把①中的x換成eq\f(1,x)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x)②①×2－②得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq\f(1,x).易錯分析本題(3)在求解過程中常因不理解“2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x”而找不到解題思路．延長探究(1)把例2的(1)換成f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)；(2)把例2的(3)換成2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x解析：(1)令eq\r(x)＋1＝t，則eq\r(x)＝t－1(t≥1)，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)用－x代2f(x)＋f(－x)＝3x中的x2f(－x)＋f(x)＝－3x，∴f(x)＝3x方法技巧求函數(shù)解析式事實(shí)上就是找尋函數(shù)三要素中的對應(yīng)關(guān)系，也就是在已知自變量和函數(shù)值的條件下求對應(yīng)關(guān)系．解答此類問題時(shí)，可依據(jù)已知條件選擇不同的方法求解．求函數(shù)解析式的常用方法：(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再依據(jù)條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式．(2)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，其解法為用g(x)替換f(x)解析式中的全部自變量x.(3)換元法(有時(shí)可用“配湊法”)：已知函數(shù)f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，從而求出f(x)(或?qū)(g(x))的解析式轉(zhuǎn)化為含g(x)的表達(dá)式，然后干脆整體代換g(x))．(4)方程組法：這種方法針對于特別題型，猶如時(shí)出現(xiàn)f(x)和feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)時(shí)，需把f(x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)分別看作一個整體，通過解方程組消去不須要的feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)，解出f(x)的解析式，這種方法也稱為消元法．跟蹤探究2.(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)；(3)已知f(x)是二次函數(shù)，且滿意f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；(4)已知函數(shù)f(x)對于隨意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x解析：(1)令x＋1＝t，則x＝t－1，將x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2－2，∴f(x)＝x2－2.(3)設(shè)所求的二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1，則f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x對隨意x∈R成立，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，由恒等式的性質(zhì)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))∴所求二次函數(shù)為f(x)＝x2－x＋1.(4)因?yàn)閷τ陔S意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，將x替換為－x得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，聯(lián)立方程組消去f(－x)，可得f(x)＝－3x－eq\f(2,3).探究三函數(shù)的圖像[例3]作出下列函數(shù)的圖像并求其值域：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．[思路點(diǎn)撥]看函數(shù)的類型→看函數(shù)的定義域→描點(diǎn)、連線、成圖．[解析](1)因?yàn)閤∈Z，所以函數(shù)圖像為始終線上的孤立點(diǎn)(如圖(1))，由圖像知，y∈Z.(2)因?yàn)閤∈[0,3)，故函數(shù)圖像是一段拋物線(如圖(2))，由圖像知，y∈[－5,3)．方法技巧函數(shù)的圖像能直觀地反映出函數(shù)的一些性質(zhì)，因此，解答函數(shù)問題時(shí)經(jīng)常借助于圖像．(1)作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線．作圖像時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，最終列表畫出圖像．(2)函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點(diǎn)，畫圖時(shí)要留意關(guān)鍵點(diǎn)，如圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等，還要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心圓圈．跟蹤探究3.作出下列函數(shù)的圖像：(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)．解析：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5.圖像過(0,1)，(1,3)，(2,5)點(diǎn)．圖像如圖所示：(2)當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝eq\f(1,2)；當(dāng)x＝6時(shí)，y＝eq\f(1,3).圖像如圖所示：授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第22頁[課后小結(jié)]1．如何求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式的關(guān)鍵是理解對應(yīng)關(guān)系f的本質(zhì)與特點(diǎn)(對應(yīng)關(guān)系就是對自變量進(jìn)行對應(yīng)處理的操作方法，與用什么字母表示無關(guān))，應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ粢庥械暮瘮?shù)要注明定義域，主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、解方程組法(消元法)．2．如何作函數(shù)的圖像一般地，作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線，作圖像時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式、再依據(jù)所列表中的點(diǎn)描出圖像，畫圖時(shí)要留意一些關(guān)鍵點(diǎn)，如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、端點(diǎn)的虛實(shí)問題等．3．如何用函數(shù)圖像常借助函數(shù)圖像探討定義域、值域、函數(shù)改變趨勢及兩個函數(shù)圖像交點(diǎn)問題．[素養(yǎng)培優(yōu)]忽視變量的實(shí)際意義而致誤易錯案例：如圖所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，點(diǎn)P在AD上移動，CQ⊥BP，Q為垂足．設(shè)BP＝x，CQ＝y(tǒng)，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并畫出函數(shù)的圖