1/5專題4.4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三其他模擬）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，，為實(shí)數(shù)，且不等式對任意恒成立，則當(dāng)取最大值時，實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．（2021·湖南高三其他模擬）已知函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2021·四川遂寧市·高三三模（理））已知函數(shù)，，又當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2021·全國高三其他模擬）已知f（x）是定義在區(qū)間[﹣2，2]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）＝，若關(guān)于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣）C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪{﹣}5．（2021·寧夏銀川市·高三其他模擬（理））平行于軸的直線與函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)，則線段長度的最小值為（）A． B． C． D．6．（2021·正陽縣高級中學(xué)高三其他模擬（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．【多選題】（2021·河北衡水中學(xué)高三其他模擬）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則B．曲線與直線相切C．若為增函數(shù)，則的取值范圍為D．在上最多有個零點(diǎn)8．（2021·黑龍江大慶市·高三一模（理））用總長m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器底面一條邊比另一條邊長1m，則該容器容積的最大值為________m3（不計損耗）．9．（2021·湖南高三其他模擬）中國最早的化妝水是年在香港開設(shè)的廣生行生產(chǎn)的花露水，其具有保濕、滋潤、健康皮膚的功效.已知該化妝水容器由一個半球和一個圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，化妝水儲存在圓柱中），容器軸截面如圖所示，上部分是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為.則當(dāng)圓柱的底面半徑___________時，該容器的容積最大，最大值為___________.10．（2021·全國高三其他模擬）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高三其他模擬）若不等式恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．2.（2021·北京高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，則有兩個零點(diǎn)；②，使得有一個零點(diǎn)；③，使得有三個零點(diǎn)；④，使得有三個零點(diǎn)．以上正確結(jié)論得序號是_______．3．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（文））設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù).（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；（2）在（1）的條件下，證明：當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，求的零點(diǎn)個數(shù).5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2021·河北高三其他模擬）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，討論零點(diǎn)的個數(shù).7．（2021·重慶市育才中學(xué)高三二模）已知函數(shù)，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）若，求證：.8.（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在極大值，證明：.9．（2021·重慶高三二模）已知函數(shù)在處取得極值．（1）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．10．（2021·江蘇南通市·高三一模）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，且，求證：.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖像與軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.2.（2021·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．3．（2021·全國高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.4.（2020·山東海南省高考真題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．5．（2020·浙江省高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（ⅰ）；（ⅱ）．6.（2019·全國高考真題（理））已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.專題4.4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三其他模擬）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，，為實(shí)數(shù)，且不等式對任意恒成立，則當(dāng)取最大值時，實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式對任意恒成立，化為不等式對任意恒成立，必然有．令，化為：．令，．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值即可得出結(jié)論．【詳解】解：不等式對任意恒成立，則不等式對任意恒成立，則．令，則，化為：．令，．不等式對任意恒成立，即不等式對任意恒成立，令，則，可得：時，函數(shù)取得極大值即最大值，，滿足題意．可以驗(yàn)證其他值不成立．故選：C．2．（2021·湖南高三其他模擬）已知函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)零點(diǎn)即方程的解，（），取對數(shù)得，此方程有兩個解，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的變化趨勢，然后由零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論．【詳解】顯然，有兩個零點(diǎn)，即方程，在上有兩個解，兩邊取對數(shù)得到，令，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，則，解得.所以正數(shù)的取值范圍是.故選：C．3．（2021·四川遂寧市·高三三模（理））已知函數(shù)，，又當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)求出，進(jìn)而參變分離解決恒成立的問題即可.【詳解】因?yàn)椋裕矗援?dāng)時，恒成立，即，即，當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，有，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，所以，故選：A.4．（2021·全國高三其他模擬）已知f（x）是定義在區(qū)間[﹣2，2]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）＝，若關(guān)于x的方程2f2（x）+（2a﹣1）f（x）﹣a＝0有且只有2個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣，﹣] B．[﹣，﹣）C．（﹣，0） D．（﹣，0）∪{﹣}【答案】D【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，得出；結(jié)合題意得出在有且僅有1個解，計算的值即可.【詳解】當(dāng)時，則令，解得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，故在定義域上恒成立，由有且只有2個實(shí)數(shù)根，得方程有2個解，又，所以，則在有且僅有1個解，因?yàn)椋瑒t或，所以或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D5．（2021·寧夏銀川市·高三其他模擬（理））平行于軸的直線與函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)，則線段長度的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性并求函數(shù)最值即可.【詳解】根據(jù)題意，畫出的圖象如下所示：令，，故可得，解得；，解得.故可得，，故，，故可得，恒成立，故是單調(diào)遞增函數(shù)，且，關(guān)于在成立，在成立，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故.即的最小值為.故選：D6．（2021·正陽縣高級中學(xué)高三其他模擬（理））已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】參變分離可得，研究函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)以及，可得函數(shù)的極大值為，當(dāng)，，所以，根據(jù)的最大值的范圍即可得解.【詳解】由，得，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，極小值為，且時，，所以，由，得，由恒成立，得，故選：D．7．【多選題】（2021·河北衡水中學(xué)高三其他模擬）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則B．曲線與直線相切C．若為增函數(shù)，則的取值范圍為D．在上最多有個零點(diǎn)【答案】ACD【解析】由定義法確定函數(shù)的奇偶性，再求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與切線斜率，以及零點(diǎn)情況.【詳解】因?yàn)閷τ谌我猓加校詾槠婧瘮?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確.又，令，得(*)，因?yàn)椋苑匠?*)無實(shí)數(shù)解，即曲線的所有切線的斜率都不可能為，故B錯誤.若為增函數(shù)，則大于等于0，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故C正確.令，得或().設(shè)，則，令，則.當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，從而，單調(diào)遞增.又因?yàn)閷τ谌我猓加校詾榕己瘮?shù)，其圖象關(guān)于軸對稱.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則直線與最多有2個交點(diǎn)，所以在上最多有3個零點(diǎn)，故D正確.故選ACD.8．（2021·黑龍江大慶市·高三一模（理））用總長m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器底面一條邊比另一條邊長1m，則該容器容積的最大值為________m3（不計損耗）．【答案】.【解析】設(shè)長方體的底面邊長為，高為，由題可得，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可求出最值.【詳解】設(shè)長方體的底面邊長為，高為，則由題可得，，則可得，則，則該容器容積，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即該容器容積的最大值為.故答案為：.9．（2021·湖南高三其他模擬）中國最早的化妝水是年在香港開設(shè)的廣生行生產(chǎn)的花露水，其具有保濕、滋潤、健康皮膚的功效.已知該化妝水容器由一個半球和一個圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，化妝水儲存在圓柱中），容器軸截面如圖所示，上部分是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為.則當(dāng)圓柱的底面半徑___________時，該容器的容積最大，最大值為___________.【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，根據(jù)已知條件可得出，根據(jù)柱體的體積公式可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值及其對應(yīng)的的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為.則由題意可得，所以.由，得.故容器的容積，容易忽略上半球是容器的蓋子，化妝水儲存在圓柱中.，令，解得（舍）或.顯然當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，取得最大值，此時，.故答案為：；.10．（2021·全國高三其他模擬）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】或【解析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象特征，即可得到答案；【詳解】，令，則，令，則在恒成立，在單調(diào)遞減，且，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，如圖所示，可得當(dāng)或時，直線與有且僅有一個交點(diǎn)，故答案為：或練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高三其他模擬）若不等式恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及最值可得，故，再構(gòu)造，求得函數(shù)的最小值即可.【詳解】由恒成立，得，設(shè)，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，不成立；當(dāng)時，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，，，設(shè)，，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，故選：C.2.（2021·北京高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，則有兩個零點(diǎn)；②，使得有一個零點(diǎn)；③，使得有三個零點(diǎn)；④，使得有三個零點(diǎn)．以上正確結(jié)論得序號是_______．【答案】①②④【解析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點(diǎn)，②正確；對于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時，，解得，所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個交點(diǎn)，直線與曲線有一個交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點(diǎn)，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.3．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（文））設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計算可得；（2）依題意即證，即，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性與最值，即可得到，從而得證；【詳解】解：（1）因?yàn)椋裕獾茫?）由（1）可得即證．令，，于是在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以（取等號）．又令，則，于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以（時取等號）．所以，即．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù).（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；（2）在（1）的條件下，證明：當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，求的零點(diǎn)個數(shù).【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）有一個零點(diǎn).【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可（2）利用導(dǎo)數(shù)，得到在上單調(diào)遞增，由，即可證明在上恒成立（3）由（2）可知當(dāng)且時，，即在上沒有零點(diǎn)，再根據(jù)，，得到，對進(jìn)行討論，即可求解【詳解】解：（1）因?yàn)榈膱D象在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，因?yàn)椋裕獾?（2）由（1）得當(dāng)時，，當(dāng)時，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?（3）由（2）可知當(dāng)且時，，即在上沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，，令，，則單調(diào)遞增，且，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，記為，且時，，時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕栽谏洗嬖谖ㄒ涣泓c(diǎn)，且在上恒小于零，故時，；時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以在上至多有一個零點(diǎn)，取，則有，所以由零點(diǎn)存在定理可知在上只有一個零點(diǎn)，又f(0)不為0，所以在上只有一個零點(diǎn).5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）或.【解析】（1）求得，對進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)的極值以及零點(diǎn)個數(shù)，求得的取值范圍.【詳解】（1），當(dāng)時，由或，所以在，單調(diào)遞增，由，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時，由或，所以在，單調(diào)遞增，由，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增.（2），，由（1）知當(dāng)時，在處，有極大值，且，此時函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，且，此時函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，在處，有極小值，在處，有極大值，則當(dāng)，或時函數(shù)有一個零點(diǎn)，有或.綜上：或.6．（2021·河北高三其他模擬）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，討論零點(diǎn)的個數(shù).【答案】（1）證明過程見解答；（2）當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，當(dāng)時，有一個零點(diǎn)．【解析】（1）將代入，對求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，判斷其最值，即可得證；（2）令，則即為，顯然，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)作出的大致圖象，進(jìn)而圖象判斷方程解的情況，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)情況．【詳解】（1）證明：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單增，當(dāng)時，，單減，（1），即得證；（2）令，則即為，當(dāng)，即時，該方程不成立，故不是的零點(diǎn)；接下來討論時的情況，當(dāng)時，方程可化為，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，單增，當(dāng)時，，單減，且當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的大致圖象如下：由圖象可知，當(dāng)，即時，只有一個解，則有一個零點(diǎn)，當(dāng)，即時，有兩個解，則有兩個零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，當(dāng)時，有一個零點(diǎn)．7．（2021·重慶市育才中學(xué)高三二模）已知函數(shù)，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）若，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）作差，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值為，只需；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出，解出；（2）利用把原不等式轉(zhuǎn)化為證明，即證：，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可證明.【詳解】（1）設(shè)，，當(dāng)時，，單增，當(dāng)，不滿足恒成立當(dāng)，在單減，在單增，所以的最小值為，即，即設(shè)，，所以在單減，在單增，即，故的解只有，綜上（2）先證當(dāng)時，恒成立.令，求導(dǎo)，所以在上單調(diào)遞增，，所以所以要證，即證，即證，即證：，設(shè)，求導(dǎo)，所以在上單調(diào)遞減，所以，即原不等式成立.所以當(dāng)時，如成立.8.（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在極大值，證明：.【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；（2）證明見解析．【解析】（1）將代入函數(shù)，并求導(dǎo)即可分析單調(diào)性；（2）求導(dǎo)函數(shù)，討論當(dāng)，與時分析單調(diào)性，并判斷是否有極大值，再求解極大值，即可證明．【詳解】（1）的定義域是當(dāng)時，，，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；（2），令，則，由的定義域是，易得，當(dāng)時，由（1）知，在處取得極大值，所以.當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，所以，故沒有極值.當(dāng)時，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，，又，，且，所以存在唯一，使得，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，取得極大值，所以，所以.令，則，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.綜上，若函數(shù)存在極大值，則．9．（2021·重慶高三二模）已知函數(shù)在處取得極值．（1）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由條件求出，然后由可得，然后用導(dǎo)數(shù)求出右邊對應(yīng)函數(shù)的最小值即可；（2），令，然后可得存在使得，即，即，然后可得，然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）∵，，∴，由已知，即，即對恒成立，令，則，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，即．（2），則．當(dāng)時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增．∵，，∴存在使得，即，即．∴當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．令，，則，∴在上單調(diào)遞增，則，，∴．∴．10．（2021·江蘇南通市·高三一模）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，解不等式即可求解；（2）根據(jù)極值點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，可得且，要證，只要證，利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）由題意得().令，則.①當(dāng)，即時，在上恒成立，即的增區(qū)間為；②當(dāng)，即時，或，即的增區(qū)間為和.綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為和.（2）因?yàn)?)，有兩個極值點(diǎn)，，所以，是方程的兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，可求出從而，，解得.由得.因?yàn)椋郧?令，且，則，所以當(dāng)時，，從而單調(diào)遞增；當(dāng)時，，從而單調(diào)遞減，于是().要證，只要證，只要證明.因?yàn)椋灾灰C.令則.因?yàn)椋裕丛谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，所以，即.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖像與軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋郑驗(yàn)椋剩?dāng)時，；當(dāng)時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因?yàn)榍业膱D與軸沒有公共點(diǎn)，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.2.（2021·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】1；證明見詳解【解析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時，，單減，假設(shè)能取到，則，故；當(dāng)時，，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立3．（2021·全國高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，原不等式等價于，前者可構(gòu)建新函數(shù)，利用極值點(diǎn)偏移可證，后者可設(shè)，從而把轉(zhuǎn)化為在上的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)可證明該結(jié)論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋郑?dāng)時，，當(dāng)時，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)椋剩矗剩O(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因?yàn)闀r，，時，，故.先證：，若，必成立.若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，則，因?yàn)椋剩剩裕试跒樵龊瘮?shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.設(shè)，則，結(jié)合，可得：，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證：，令，則，先證明一個不等式：.設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當(dāng)時，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立.綜上所述，.4.（2020·山東海南省高考真題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1），，.，