第22課弧長及扇形面積3.9課后培優練課后培優練級練培優第一階——基礎過關練一、單選題1．用一個圓心角為，半徑為6的扇形做一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面圓的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】易得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑，從而可以計算面積．【解析】解：扇形的弧長=，∴圓錐的底面半徑為4π÷2π=2．∴面積為：4π，故選：D．【點睛】考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．2．如圖，圓錐的高，底面圓的半徑，則圓錐的全面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計算圓的底面周長、利用勾股定理解得圓錐母線的長，最后由全面積=底面圓的面積+圓錐側面面積即可解題．【解析】∵底面圓的半徑為，∴底面圓的周長，又∵圓錐的高為，∴圓錐的母線長為，∴側面面積，底面積為，∴全面積為：，故選：C．【點睛】本題考查圓錐的母線、側面積、全面積、勾股定理等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．3．已知一個圓錐的底面半徑與母線長的比為1∶5，圓錐的全面積為，則（

）A．該圓錐側面展開圖的圓心角為36° B．該圓錐的底面半徑為C．該圓錐的高為 D．該圓錐的側面積為【答案】C【分析】設底面半徑為r，則母線長為5r，根據全面積為198π得到方程求出r，據此計算相關量，再逐步判斷．【解析】解：∵圓錐的底面半徑與母線長的比為1∶5，設底面半徑為r，則母線長為5r，∴底面周長為2πr，底面積為πr2，∴側面積為2πr×5r=5πr2，∵全面積為，∴πr2+5πr2=198π，解得：r=，即底面半徑為，∴圓錐的高為：=，∵底面周長即側面展開圖的扇形弧長為：，∴側面展開圖的圓心角為：n=72°，側面積為=5πr2=165π，∴只有C正確，故選C．【點睛】本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵．4．如圖，正六邊形的邊長為，以頂點為圓心，的長為半徑畫弧，則由圖中陰影圖形圍成的圓錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圓錐的底面周長等于側面展開圖的弧長求出底面半徑的長，然后利用勾股定理求出圓錐的高．【解析】解：陰影部分圓心角度數為，設圖中陰影圖形圍成的圓錐的底面半徑為r，則有，解得r=，圓錐的高為，故答案為：B．【點睛】本題考查圓錐的側面展開圖，解決問題的關鍵是確定圓錐和側面展開圖的對應關系．5．如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（

）A．米2 B．米2C．米2 D．米2【答案】A【分析】由底面圓的半徑＝5米，根據勾股定理求出母線長，利用圓錐的側面面積公式，以及利用矩形的面積公式求得圓柱的側面面積，最后求和．【解析】解：∵底面半徑=5米，圓錐高為2米，圓柱高為3米，∴圓錐的母線長=米，∴圓錐的側面積=，圓柱的側面積=底面圓周長×圓柱高，即，故需要的毛氈：米，故選：A．【點睛】此題主要考查勾股定理，圓周長公式，圓錐側面積，圓柱側面積等，分別得出圓錐與圓柱側面積是解題關鍵．6．如圖，在中，，，．將繞直角頂點逆時針旋轉得，則點轉過的路徑長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先在中利用的余弦計算出，再根據旋轉的性質得，然后根據弧長公式計算點轉過的路徑長．【解析】解：在中，，，，，繞直角頂點逆時針旋轉得△，，弧的長．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉的性質，弧長公式等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵．7．如圖，公園內有一個半徑為18米的圓形草坪，從地走到地有觀賞路（劣弧）和便民路（線段）.已知、是圓上的點，為圓心，，小強從走到，走便民路比走觀賞路少走（

）米.A． B．C． D．【答案】D【分析】作OC⊥AB于C，如圖，根據垂徑定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出∠A，從而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧長公式計算出的長，最后求它們的差即可．【解析】解：作OC⊥AB于C，如圖，則AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°∠AOB）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=9，AC=，∴AB=2AC=，又∵=，∴走便民路比走觀賞路少走米，故選D．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．8．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，若⊙O的半徑為，∠CDF=15°，則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接AD，連接OE，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，根據等腰三角形的性質得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【解析】解：連接AD，連接OE，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC=∠DFA=90°，∴∠DAC=∠CDF=15°，∵AB=AC，D是BC中點，∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，∵OA=OE，∴∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，∵AO=4，∴OH=AO=2，∴AH=OH=6，∴AE=2AH=12，∴S陰影=S扇形AOES△AOE=．故選：A．【點睛】本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當的輔助線，數形結合是解答此題的關鍵．9．如圖，邊長為的正方形內接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正方形的性質以及切線的性質，求得的長，勾股定理求得的長，進而根據即可求解．【解析】如圖，連接,，邊長為的正方形內接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點和點，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點睛】本題考查了圓的切線的性質，正方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．10．如圖，在中，，，是的平分線，經過，兩點的圓的圓心恰好落在上，分別與、相交于點、．若圓半徑為2．則陰影部分面積（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OD，OF．首先證明OD∥AC，推出S陰＝S扇形OFA，再證明△AOF是等邊三角形即可解決問題．【解析】解：連接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OFA，∴S陰＝S扇形OFA，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等邊三角形，∴∠AOF＝60°，∴S陰＝S扇形OFA＝.故選：C．【點睛】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是添加常用輔助線，用轉化的思想思考問題．二、填空題11．已知圓錐的母線長是9cm，它的側面展開圖的圓心角是120°，則圓錐的高為_____cm．【答案】6【分析】設圓錐底面半徑為，那么圓錐底面圓周長為，所以側面展開圖的弧長為，然后利用扇形的面積公式即可得到關于的方程，解方程即可求得圓錐底面圓的半徑，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．【解析】解：設圓錐底面半徑為，那么圓錐底面圓周長為，所以側面展開圖的弧長為，，解得：，圓錐的高為，故答案為：．【點睛】本題主要考查圓錐側面展開圖的知識和圓錐側面面積的計算，解題的關鍵是正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．12．如圖，在半徑為3的⊙O中，A、B、C都是圓上的點，∠ABC=60°，則的長為__________．【答案】2π【分析】連接OA，OC，根據圓周角定理可得∠AOC=2∠ABC的度數，再根據弧長計算公式進行計算即可得出答案．【解析】解：連接OA，OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．∴的長=故答案為：2π．【點睛】本題主要考查了弧長的計算及圓周角定理，熟練掌握弧長的計算方法及圓周角定理進行計算是解決本題的關鍵．13．中，，以直線為軸旋轉一周所得圓錐的底面圓的周長是_________，這個圓錐的側面積是__________，圓錐的側面展開圖的圓心角是_________．【答案】

【分析】由題意可得底面圓的半徑為4，從而周長可求；圓錐展開圖為扇形，由題意可得扇形的半徑為5，弧長為底面圓的周長，由側面積公式可求圓錐的側面積；由可求圓錐的側面展開圖的圓心角．【解析】解：∵中，，圓錐是以直線為軸旋轉一周所得，∴圓錐的底面半徑為，∴圓錐的底面圓的周長是，圓錐的側面積是，設圓錐的側面展開圖的圓心角是，則，即解得，∴圓錐的側面展開圖的圓心角是．故答案為：；；．【點睛】本題考查了勾股定理的應用、圓錐底面圓的周長公式、圓錐的側面積公式、圓錐的側面展開圖的弧長公式，解題的關鍵是準確找出公式中各個字母所表示的數．14．如圖，在扇形中，半徑與的夾角為，點與點的距離為，若扇形恰好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面半徑為______.【答案】【分析】利用弧長=圓錐的周長這一等量關系可求解.【解析】解：連接，過作于，∵，，∴，，∴，∵，∴故答案是：【點睛】本題運用了弧長公式和圓的周長公式，建立準確的等量關系是解題的關鍵.15．如圖，作的任意一條直經，分別以為圓心，以的長為半徑作弧，與相交于點和，順次連接，得到六邊形，則的面積與陰影區域的面積的比值為______；【答案】【分析】可將圖中陰影部分的面積轉化為兩個等邊三角形的面積之和，設⊙O的半徑與等邊三角形的邊長為，分別表示出圓的面積和兩個等邊三角形的面積，即可求解【解析】連接，，，，由題可得：為邊長相等的等邊三角形可將圖中陰影部分的面積轉化為和的面積之和，如圖所示：設⊙O的半徑與等邊三角形的邊長為，⊙O的面積為等邊與等邊的邊長為⊙O的面積與陰影部分的面積比為故答案為：．【點睛】本題考查了圖形的面積轉換，等邊三角形面積以及圓面積的求法，將不規則圖形的面積轉換成規則圖形的面積是解題關鍵．16．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點D，再將沿AB翻折交BC于點E．若，AB＝4，則的長度為_____．【答案】【分析】由同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等可得，因此．結合AB是的直徑，可得所對的圓心角的度數．再利用弧長公式計算的長即可．【解析】∵、、、所在的圓是等圓又∵、、所對的圓周角都是∴==

又∵=∴===

又∵+++=∴=∴又∵AB是的直徑∴所對的圓心角為

∴的長=故答案為【點睛】本題主要考查了圓周角定理，弧長的計算，翻折變換．求所對的圓心角的度數是解題的關鍵．17．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是___．【答案】【分析】如圖，連接OP，OC，取OC的中點K，連接MK．由三角形的中位線定理可得KM，推出當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑是以K為圓心，為半徑的半圓，由此即可得出結論．【解析】如圖，連接OP，OC，取OC的中點K，連接MK．∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB2，∴OPAB=1．∵CM=MP，CK=OK，∴MKOP，∴當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑是以K為圓心，為半徑的半圓，∴點M運動的路徑長?2?π?．故答案為．【點睛】本題考查了軌跡，等腰直角三角形的性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找點的運動軌跡．18．如圖，在邊長為的菱形中，，點分別是上的動點，且與交于點.當點從點運動到點時，則點的運動路徑長為_____．【答案】【分析】根據題意證得，推出∠BPE=60，∠BPD=120，得到C、B、P、D四點共圓，知點的運動路徑長為的長，利用弧長公式即可求解．【解析】連接BD，∵菱形中，，∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，∴△ABD和△CBD都為等邊三角形，∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，∵DF=AE，∴，∴∠DBF=∠ADE，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF=∠BDP+∠ADE=∠BDF=60，∴∠BPD=180∠BPE=120，∵∠C=60，∴∠C+∠BPD=180，∴C、B、P、D四點共圓，即⊙O是的外接圓，∴當點從點運動到點時，則點的運動路徑長為的長，∴∠BOD=2∠BCD=120，作OG⊥BD于G，根據垂徑定理得：BG=GD=BD=，∠BOG=∠BOD=60，∵，即，∴，從而點的路徑長為．【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，圓內接四邊形的性質，弧長公式等知識，解題的關鍵是學會準確尋找點的運動軌跡．三、解答題19．如圖，點A，B，C在直徑為2的⊙O上，∠BAC＝45°．(1)求弧BC的長度；(2)求圖中陰影部分的面積．（結果中保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OB，OC．根據∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根據⊙O的直徑為2，可得OB＝OC＝1，即利用弧長公式即可求解答案；（2）根據∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根據OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面積和扇形OBC的面積，再根據S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．（1）如圖，連接OB，OC．∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴；（2）∵∠BOC＝90°，∴△BOC是直角三角形，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴△BOC的面積為，∵，即S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．【點睛】本題考查了圓周角定理、弧長公式、扇形面積公式等知識，掌握圓周角定理證明出∠BOC＝90°是解答本題的關鍵．20．如圖所示，有一直徑為的圓形紙片，要從中剪去一個最大的圓心角是90°的扇形ABC．(1)求被剪掉的陰影部分的面積；(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）連結BC，根據∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根據，即可求解；（2）設圓錐底面半徑為r，則的長為2πr，從而得到，即可求解．（1）解：如圖，連結BC，∵∠A＝90°，∴BC為⊙O的直徑．即，在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，∴AB＝AC＝1，∴＝；（2）解：設圓錐底面半徑為r，則的長為2πr，∴，∴．【點睛】本題主要考查了求扇形面積，圓錐的底面半徑，勾股定理，熟練掌握扇形面積公式，勾股定理是解題的關鍵．21．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AE的延長線與過點C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD＝36°，連接BC．(1)求∠B的度數；(2)若AB＝3，求的長．【答案】(1)54°(2)【分析】（1）連接OC，如圖，利用切線的性質得到OC⊥CD，可得OC∥AE，所以∠CAD＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠CAD＝∠OAC，可求出∠COB，利用∠B=∠OCB即可求出∠B；（2）根據同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠COE，根據弧長公式即可求出的長．（1）連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAD＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；（2）連接OE，∵⊙O的直徑AB＝3，∴OA＝1．5，∵∠COE＝2∠CAD＝2×36°＝72°，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，弧長的計算公式，根據切線的性質證得OC∥AE和掌握弧長公式是解題的關鍵．22．如圖，△ABC內接于⊙O，交⊙O于點D，交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．(1)求證：AC＝AF；(2)若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結果保留π）．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形ABED是平行四邊形，得∠B＝∠D，再證明即可得到結論；（2）連接OA，OC,根據等腰三角形的性質求出，由圓周角定理可得最后由弧長公式可求出結論．（1）∵，，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．（2）連接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的長．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質，圓周角定理、等腰三角形的性質、弧長公式等知識，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．23．如圖，在中，經過A，B兩點的⊙O與邊BC交于點E，圓心O在BC上，過點O作交⊙O于點D，連接AD交BC于點F，且．（1）試判斷AC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若，．求圖中陰影部分的面積（結果保留）．【答案】（1）與相切，理由見解析；（2）．【分析】（1）先等腰三角形的性質可得，，再根據角的和差、等量代換可得，然后根據圓的切線的判定即可得出結論；（2）過點作于點，設，先在中，利用勾股定理求出的值，再利用直角三角形的性質可得，然后利用扇形的面積減去的面積即可得．【解析】（1）與相切，理由如下：，，，，又，

，，，，即，，是的半徑，是的切線，即與相切；（2）如圖，過點作于點，設，，，在中，，即，解得，，，，，在中，，則陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了圓的切線的判定、扇形的面積公式等知識點，熟練掌握圓的相關性質是解題關鍵．24．如圖，中，O為圓心，圓上兩點分別是定點A與動點B，連接，．以，和分別為半徑作半圓C、半圓D和半圓E．（1）若，求證：半圓C與半圓D面積之和等于半圓E的面積．（2）若F是半圓D上的中點，且半徑為5，求F運動路徑長．（3）在（2）的條件下，連接，當與其運動路線相切時，求的長，【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長為0或【分析】（1）設半圓C和半圓D的半徑為r，設半圓E的半徑為R，利用勾股定理推出，代入半徑依據等式的性質變形計算即可；（2）根據題意得出F的運動軌跡是以OF為圓心的圓，根據勾股定理求出OF的值即可得到F的運動路徑的長；（3）根據相切的關系求出AF的值，確定點B的位置，即可求出弧AB的長．【解析】解（1）設半圓C和半圓D的半徑為r，設半圓E的半徑為R，∵，∴，∴，∴，∴，∴半圓C與半圓D面積之和等于半圓E的面積．（2）根據題意得出F的運動軌跡是以OF為原心的圓，如下圖，連接DF、OF，∵F是半圓D上的中點，∴，即△FDO是等腰直角三角形，∵的半徑為5，∴FD=OD=，∴，∴F的運動路徑長為（3）∵AF與其運動路線相切，∴OF⊥AF，由（2）知OF=，OA=5，∴即△AOF為等腰直角三角形，根據題意可知，F的位置存在，如圖中F和兩種情況：①當位置在F點時，∵△AOF為等腰直角三角形，F是半圓的中點，∴此時B點與A點重合，即長為0；②當位置在點時，∵△AOF為等腰直角三角形，F是半圓的中點，∴此時，∵OA=5，∴的長為，綜上，長為0或．【點睛】此題考查了圓的綜合知識，涉及的知識點有勾股定理，圓的面積公式，弧長的計算公式，等腰直角三角形的判定及性質定理，切線的性質定理，熟記各知識點并應用解決問題是解題的關鍵．培優第二階——拓展培優練一、單選題1．如圖，扇形中，，，點在上，連接，點關于的對稱點剛好落在上，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，過作于，先證是等邊三角形，得到，，再利用陰影部分面積等于扇形的面積減去的面積即可得解．【解析】解：連接，過作于，如圖所示：由折疊可知：，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴陰影面積=；故選：B．【點睛】本題考查陰影部分面積，軸對稱性質，掌握陰影部分面積的求法是解題的關鍵．2．如圖，C為半圓內一點，O為圓心，直徑長為，，將繞圓心O逆時針旋轉至，點在上，則邊掃過區域（圖中陰影部分）的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據已知條件和旋轉的性質得出兩個扇形的圓心角的度數，再根據扇形的面積公式進行計算即可得出答案．【解析】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC繞圓心O逆時針旋轉得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=cm，∴B′C′=cm，∴S扇形B′OB=cm2，S扇形C′OC=cm2，∴陰影部分面積=S扇形B′OB+S△B′C′OS△BCOS扇形C′OC=S扇形B′OBS扇形C′OC=cm2；故選：B．【點睛】此題考查了旋轉的性質和扇形的面積公式，掌握直角三角形的性質和扇形的面積公式是本題的關鍵．3．如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點A、B在一個半徑為2的圓上，頂點C、D在該圓上．將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點D第一次落在圓上時，點C運動的路線長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作輔助線求出的大小，進而求出旋轉的角度，利用弧長公式即可求解.【解析】分別連接OA、OB、O、OC、O、AC、A，∵OA=OB=AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAB=，同理可得：∠OA=，∴∠AB=，∵∠DAB=，∴∠AD=，由旋轉變換的性質可知旋轉角為，∵AB=BC=2，∠ABC=，∴AC=，∴點C運動的路線長為，故選：A.【點睛】此題考查正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理，弧長公式，等邊三角形的判定及性質，綜合掌握各知識點是解題的關鍵.4．把量角器和含角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長直角邊重合，移動量角器使外圓弧與斜邊相切時，發現中心恰好在刻度處，短直角邊過量角器外沿刻度處（即，）．則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出∠COF，進而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，進而求出BE，最后用三角形的面積減去扇形的面積，即可求出答案．【解析】在中，，∴，，，連接，則，∵外圓弧與斜邊相切，∴∠BEO＝90°，在中，，，，根據勾股定理得，，，故選：C．【點睛】此題主要考查了切線的性質，含30°角的直角三角形的性質，三角形的面積公式和扇形的面積公式，求出圓的半徑是解本題的關鍵．5．如圖，等邊的邊長為，以為圓心，為直徑的半圓經過點，連接，相交于點，將等邊從與重合的位置開始，繞著點順時針旋轉，交點運動的路徑長是()A． B． C． D．【答案】B【分析】點P的運動軌跡是弧，所在圓的半徑是等邊三角形CDM的外接圓的半徑，利用弧長公式計算即可.【解析】∵∠AOB=60°，∴∠AOC+∠BOD=120°，∴∠BCD+∠ADC=(∠AOC+∠BOD)=60°，∴∠CPD=120°，∴點P的運動軌跡是弧，所在圓的半徑是等邊三角形CDM的外接圓的半徑，連接O，∵CO=DO，∴O⊥CD，∵四邊形CMDP是圓內接四邊形，∴∠CMD+∠CPD=180°，∴∠CMD=60°，∴∠CD=2∠CMD=120°，∴∠CO=60°，在Rt△CO中，CO=AO=,∴C=,∴交點運動的路徑長為，故選：B.【點睛】此題考查等邊三角形的性質，圓周角定理，圓內接四邊形的對角互補的性質，銳角三角函數求線段長，弧長公式，正確理解點P的起點為點C，終點為點D得到點P的運動路徑是劣弧是解題的關鍵.二、填空題6．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分別以點A、B為圓心，AO、BO長為半徑畫弧，與相交，則圖中陰影部分的周長為_____．【答案】π+2【分析】連接AC，OC，根據題意可得三角形AOC是等邊三角形，即可知道∠OAC＝∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根據弧長公式代入即可求得答案．【解析】如圖，連接AC，OC，則AC＝OA＝OC，∴∠OAC＝∠AOC＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠COB＝30°，∴圖中陰影部分的周長為＝π+2，故答案為：π+2．【點睛】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定和性質，作出正確的輔助線是本題的關鍵．7．如圖，AB為圓錐軸截面△ABC的一邊，一只螞蟻從B地出發，沿著圓錐側面爬向AC邊的中點D，其中AB＝6，OB＝3，請螞蟻爬行的最短距離為____．【答案】【分析】如圖圓錐的側面展開圖為扇形CAC′，設圓錐的側面展開圖的圓心角為n，根據題意可列式2π×3，解得n＝180，則可知∠CAB′＝90°，由D為AC的中點，可知AD＝3，則在Rt△ADB′中，由勾股定理可算出螞蟻爬行的最短距離．【解析】圓錐的側面展開圖為扇形CAC′，如圖，設圓錐的側面展開圖的圓心角為n，根據題意得2π×3，解得n＝180，∴∠CAB′＝90°，∵D為AC的中點，∴AD＝3，在Rt△ADB′中，B′D＝，∴螞蟻爬行的最短距離為，故答案為．【點睛】本題考查勾股定理的實際應用，圓錐的側面展開圖，能夠熟練運用勾股定理是解決本題的關鍵．8．如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉，點的對應點落在邊上，交于點，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】根據旋轉的性質，可得，，再由勾股定理可得，再證得為等邊三角形，可得，，進而得到，，再根據陰影部分的面積等于，即可求解．【解析】解：根據題意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴陰影部分的面積等于．故答案為：【點睛】本題主要考查了求扇形面積，勾股定理，等邊三角形的判定和性質等知識，根據題意得到陰影部分的面積等于是解題的關鍵．9．中國科學技術館有“圓與非圓”展品，涉及了“等寬曲線”的知識．因為圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（圖1），它是分別以等邊三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧圍成的“曲邊三角形”．如圖2，勒洛三角形的周長_______圓的周長．（填“大于”、“等于”或“小于”）【答案】等于【分析】設等邊三角形的邊長為，分別計算勒洛三角形的周長和圓的周長，再比較即可．【解析】設等邊三角形的邊長為∴勒洛三角形的周長，圓的周長，∴勒洛三角形的周長與圓的周長相等，故答案為：等于．【點睛】本題考查了弧長公式，正確的理解勒洛三角形是解題的關鍵．10．如圖，矩形ABCD為的內接矩形，，，點E為弧BC上一動點，把弓形ABE沿AE折疊，使點O恰好落在弧AE上，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】連接AC和BD，先說明點B是弧AE所在圓的圓心，且△ABO是等邊三角形，再用扇形BAG的面積減去△ABF的面積即可得到結果．【解析】解：連接AC和BD，由題意可得：AC和BD都經過點O，∵，，∴AC=BD=，∴AO=BO=AB=，可得點B是弧AE所在圓的圓心，且△ABO是等邊三角形，∴∠BAE=∠OAE=30°，∴BF=ABtan30°=2，∴陰影部分面積==，故答案為：．．

【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，折疊的性質，扇形面積，知識點較多，解題的關鍵是根據題意得到點B是圓心．三、解答題11．如圖，是的直徑，是弦，直線經過點，于點，．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若的半徑為4，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)答案見詳解；(2)答案見詳解；(3)．【分析】（1）連接OC，根據OA=OC，得，得，得得證；（2）證，對應邊成比例，從而得證；（3）先計算梯形OCDA的面積，再減去扇形OCA的面積即得解．（1）證明：如圖，連接OC，，，，，，，，OC是半徑，EF是的切線．（2）證明：如圖，連接BC，AB是直徑，，，，，．（3）解：，，，是等邊三角形，，，在中，，，==．【點睛】此題考查了切線的性質和判定，相似三角形的性質和判定，梯形的性質，扇形的面積等，能否熟練運用性質進行推理與計算是解題的關鍵．12．如圖，AB是⊙O直徑，以AB為邊作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O與邊AC相交于點D，過點D作DE⊥BC于點E，并交AB的延長線于點F．(1)求證：DF是⊙O的切線．(2)若DF＝2，∠F＝45°，求由線段BF、FD及所圍成的圖形（陰影部分）面積．(3)若tanA，BD＝1，求FD的長．【答案】(1)見解析(2)4π(3)【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質可證OD∥BC，可得DE⊥OD，可證DF是⊙O的切線；（2）由等腰直角三角形的性質可求OD＝DF＝，由面積和差關系可求解；（3）通過證明△FDB∽∠FAD，可得，由銳角三角函數可求AD=3，由勾股定理可求AB的長，即可求解．（1）證明：連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠ODA＝∠BCA，∴OD∥BC，又∴DE⊥BC，∴DE⊥OD，又∵OD是半徑，∴DF是⊙O的切線．（2）解：∵∠F＝45°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝45°，∴，∴，∴，∴S陰影＝S△ODF﹣S扇OBD＝4﹣π；（3）解：由（1）知，∠FDB＝90°﹣∠ODB，又∵∠FAD＝90°﹣∠OBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠FDB＝∠FAD．又∵∠BFD＝∠DFA，∴△FDB∽∠FAD．∴，∵，BD＝1，∴AD＝3，∴AB，∴，∴FD＝3FB，FA＝3FD，∴FA＝9FB＝AB+FB，∴8FB，∴FB，∴FD．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，切線判定，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．13．在扇形AOB中，半徑OA＝6，點P在OA上，連接PB，將沿PB折疊得到．(1)如圖1，若，且與所在的圓相切于點B，求AP的長；(2)如圖2，與相交于點D，若點D為的中點，且．①試說明PO＝DB，②求扇形AOB的面積．（結果保留）【答案】(1)(2)①見解析；②【分析】（1）利用折疊的性質和解直角三角形求得OP的長即可；（2）①連接OD，利用平行線的性質和折疊的性質分別證得，即可；②只要求得即可求解(1)連接交于點，由折疊可知，BP垂直平分，，，．∵與圓相切，，∴，∴，∵，，∴，∴在中，，∴．∴．(2)①連接OD，∵點D為的中點，∴．∵，∴，∴，∴．由折疊可知，，同理可得：，所．②在①的基礎上，可證得．所以．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的性質，解直角三角形，全等三角形的判定和性質，圓心角，弧，弦之間的關系，弧長公式，翻折變換等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．14．如圖，在矩形中，點E在邊延長線上，，交延長線于點G，邊交于點F，，以為半徑的交邊于點P、Q，交于點M，延長交邊于點N．(1)求證：．(2)若，，求扇形的面積．(3)延長交于點H，且，記，四邊形的面積為S，求S關于x的函數表達式．【答案】(1)見解析(2)14π(3)S＝x2【分析】（1）根據四邊形是矩形，證明，根據，證明，得到，根據，推出，得到；（2）根據，推出，根據，，推出，得到，根據，推出，推出，推出；（3）根據，得到，，推出，根據，，推出，得到，設，根據，推出，，，根據勾股定理推出，解得，（舍），根據三角形面積公式得到．【解析】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設，∵，∴，，，∵，∴，∴，（舍），∴．【點睛】本題主要考查了矩形，全等三角形，扇形，等腰三角形，勾股定理，三角形面積等，解決問題的關鍵是熟練掌握矩形的性質，全等三角形的判定和性質，扇形的性質和面積公式，等腰三角形的判定和性質，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程，三角形面積公式．15．如圖，等邊△內接于圓中，已知點坐標為（，0），圓交y軸正半軸于點．(1)請直接寫出點、的坐標；(2)如圖1，過點作圓的切線交y軸于點，求圖中陰影部分的面積；(3)如圖2，點為中點，連接，、分別在線段和y軸正半軸上，且滿足，連接交于點，當△為等腰三角形時，試求點的坐標．【答案】(1)，；(2)(3)（0，2）或【分析】（1）連接AC，過點B作BF⊥AO于點F，根據∠AOC=90°，可得AC為圓N的直徑，再根據等邊三角形的性質可得AC與BF交于點N，連接ON，過點N作NE⊥OC于點E，則OE=CE=NF，再根據等邊三角形的性質，直角三角形的性質，垂徑定理，求出OF，BF，OC的長，即可求解；（2）根據切線的性質可得∠DAN=90°，從而得到∠OAD=60°，再根據陰影部分的面積等于，即可求解；（3）設OP=x，則，然后分三種情況討論：若OP=OM，當PM=OM時，當OP=PM時，即可求解．（1）解：如圖，連接AC，過點B作BF⊥AO于點F，∵∠AOC=90°，∴AC為圓N的直徑，∵△AOB為等邊三角形，∴AF=OF，∠OAB=60°，∴BF過圓心N，即AC與BF交于點N，∴連接ON，過點N作NE⊥OC于點E，則OE=CE=NF，∵點坐標為（，0），∴OA=AB=OB=4，∴AF=ODF=2，∴，，∴，∴點，；（2）解：∵AD為圓N的切線，∴AN⊥AD，即∠DAN=90°，∵∠DAN=30°，∴∠OAD=60°，，∴，∵AN=ON，∴∠AON=∠OAN=30°，∴∠ANO=120°，∴陰影部分面積等于；（3）解：∵H為AB的中點，∴∠BOH=30°，OH⊥AB，AH=BH=2，∴，設OP=x，則，當OP=OM時，如圖，過點M作ME⊥y軸于點E，∴∠OPM=∠OMP=75°，∴∠QMO=105°，∵∠QOM=90°∠AOB=30°，∴∠OQM=45°，，∴△QEM是等腰直角三角形，，∴，∴，解得：，∴，此時點Q的坐標為（0，2）；當PM=OM時，如圖，∴∠OPM=∠POM=30°，∵∠AOH=30°，∴∠AOH=∠OPM，∴，∴PQ⊥y軸，∴，∴，解得：，即∴點Q的坐標為；當OP=PM時，∠OMP=∠POM=30°，∴∠OMP=∠BOC，∴軸，即此時PQ與y無交點，不合題意，舍去；綜上所述，點Q的坐標為（0，2）或．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，切線的性質，等邊三角形的性質，解直角三角形，共度了等知識，作適當輔助線構造直角三角形，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．培優第三階——中考沙場點兵一、單選題1．（2022·浙江金華·一模）已知一個底面半徑為的圓錐，它的母線長是，則這個圓錐的側面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據圓錐側面積的公式：底面周長×母線長÷2，進行計算即可得．【解析】解：圓錐的側面積：（），故選：A．【點睛】本題考查了圓錐的側面積，解題的關鍵是掌握圓錐側面積的公式．2．（2022·浙江溫州·三模）如圖，PA，PB分別切⊙O于點為A，B，若，的長為，則的半徑為（

）A．9 B．18 C．36 D．72【答案】C【分析】連接OA，OB，根據切線的性質可求∠AOB=130°，根據弧長公式可求半徑．【解析】解：連接OA、OB，如圖，∵PA，PB是⊙O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO=∠PBO=90°，又∵∠P=50°，∴∠AOB=130°，∵，∴r=36．故選C．【點睛】本題考查了切線的性質和弧長公式，掌握切線的性質和弧長公式是解題的關鍵．3．（2023·福建·泉州五中三模）如圖，在邊長為1的正方形中，對角線的中點為O，分別以點A，C為圓心，以的長為半徑畫弧，分別與正方形的邊相交，則圖中的陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】陰影部分的面積可以看作是正方形的面積減去一個半徑為的半圓的面積；【解析】∵正方形ABCD的邊長為1，∴AC==，∴AO=，圖中兩個扇形的面積可看作是一個半徑為的半圓的面積，∴S陰影=S正方形S半圓，=1×1π×，=．故選：A【點睛】本題考查圖形面積的計算；熟練掌握不規則圖形的面積的計算是解決本題的關鍵．4．（2022·山東省實驗初級中學模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長為4，以BC為直徑的半圓O交對角線BD于點E．則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接根據正方形的性質求得，則可得，利用即可求得答案．【解析】解：連接，四邊形為正方形，且邊長為4，，，，，，，，，故選C．【點睛】本題考查了扇形面積的計算、正方形的性質、梯形面積的計算，借助輔助線求出扇形的面積是解題的關鍵．5．（2022·內蒙古北方重工業集團第一中學三模）如圖，點A，B，C是上的點，連接，且，過點O作交于點D．連接，已知半徑為2，則圖中陰影面積為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圓周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，從而得到陰影面積等于扇形AOB的面積，即可求解．【解析】解：∵，∴∠AOB=30°，∴，∵，∴，∴陰影面積等于扇形AOB的面積，∴陰影面積等于．故選：B【點睛】本題考查了圓周角定理、扇形面積公式和同底等高的兩個三角形的面積相等等知識，屬于常考題型，熟練掌握上述基本知識是解題的關鍵．二、填空題6．（2022·陜西·西安濱河學校三模）如圖，是的直徑，，，CD⊥AB，則劣弧的長為______．【答案】##【分析】根據，可以得到的度數，然后根據垂徑定理，可以得到的度數，再根據弧長公式計算即可．【解析】解：，，是的直徑，，，，，劣弧的長為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查垂定理以及徑弧長的計算，明確弧長公式是解答本題的關鍵．7．（2022·新疆·烏魯木齊市第六十八中學模擬預測）如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑r長為______．【答案】2【分析】結合題意，根據弧長公式，可求得圓錐的底面圓周長．再根據圓的周長的公式即可求得底面圓的半徑長．【解析】∵母線l長為6，扇形的圓心角，∴圓錐的底面圓周長，∴圓錐的底面圓半徑．故答案為：2．【點睛】本題考查圓錐的側面展開圖的相關計算，弧長公式等知識．掌握圓錐側面展開圖的弧長等于圓錐底面圓的周長是求解本題的關鍵．8．（2022·福建省福州延安中學模擬預測）如圖，AB＝12，點C，D為線段AB的三等分點，則以四段圓弧圍成的陰影部分面積為_____．【答案】【分析】根據，把陰影部分的面積轉化為以AB為直徑的半圓面積以DC為直徑的半圓面積，得出結果．【解析】解：∵C、D是線段AB的三等分點，∴AD=BC=，CD=，，∴，故答案為．【點睛】本題考查求不規則圖形的面積，解決問題的關鍵是把不規則圖形轉化為規則圖形面