第08講二次根式的乘除掌握二次根式的乘法法則：，能利用其進行計算，并能逆用法則進行化簡掌握二次根式的除法法則：，能利用其進行計算，并能逆用法則進行化簡。3.理解最簡二次根式的概念，會進行二次根式的乘除法混合運算，并能將二次函數化為最簡形式。知識點1：二次根式的乘法法則二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當二次根式前面有系數時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數之積作為系數，被開方數之積作為被開方數。3.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數平方根的性質）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣知識點2：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變）2.二次根式的除法法則的推廣注意：aa≥0，b＞0時，才有意義；如果被開方數時帶分數，應先化成假分數知識點3：最簡二次根式最簡二次根式的概念被開方數不含分母被開方數中不含能開方開得盡得因數或因式化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數中能開得盡得因數或因式進行開方化去根號下的分母若被開方數中含有帶分數，先將被開方數化成假分數若被開方數中含有小數，先將小數化成分數若被開方數時分式，先將分式分母化成能轉化為平方的形式，再進行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據分式的基本性質化去分母中的根號。方法：根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號。考點一：求字母的取值范圍例1．（2022秋?永興縣期末）若則（）A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x為一切實數【答案】A【解答】解：根據題意得x≥0且x﹣6≥0，所以x≥6．故選：A．【變式11】（2023春?西城區校級期中）若＝成立，則x的取值范圍為（）A．x≥0 B．x≥0或x＜1 C．x＜1 D．0≤x＜1【答案】D【解答】解：若＝成立，則x≥0，1﹣x＞0，解得：0≤x＜1，故選：D．【變式12】（2023春?城區校級期中）化簡+|x﹣2|結果為（）A．0 B．2x﹣4 C．4﹣2x D．4【答案】C【解答】解：∵有意義，∴2﹣x≥0，解得：x≤2，∴原式＝2﹣x+2﹣x＝4﹣2x，故選：C．【變式13】（2022春?堯都區期中）若?＝，則a的取值范圍是（）A．a≥2 B．a≥﹣2 C．a≥24 D．2≥a≥﹣2【答案】A【解答】解：∵?＝，∴a+2≥0，a﹣2≥0，解得：a≥﹣2，a≥2，即a的范圍為：a≥2．故選：A．考點二：二次根式乘除的運算例2.（2021秋?浦東新區校級月考）計算：．【答案】3．【解答】解：原式＝2××＝2××＝×6＝3．【變式21】（2023春?鹿城區校級期中）計算：＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：＝﹣．故選：B．【變式22】（2021秋?古冶區期末）計算：（1）；（2）．【答案】（1）6；（2）3．【解答】解：（1）原式＝＝＝6；原式＝＝＝3．例3.（2021春?鐵西區期末）計算：×÷2．【答案】．【解答】解：原式＝＝＝．【變式31】（2022春?周至縣期末）計算：×4÷．【答案】見試題解答內容【解答】解：原式＝2×4×÷4＝8÷4＝2．【變式32】（2021春?靜安區校級期中）計算：．【答案】9．【解答】解：原式＝×4＝＝＝＝9．【變式33】（2021春?西吉縣期末）計算：÷（3）×（﹣5）．【答案】﹣．【解答】解：原式＝××（﹣5）＝﹣＝﹣×＝﹣．考點三：二次根式符號的化簡例3.（2021春?閔行區校級期中）計算：?（﹣）÷3．【答案】見試題解答內容【解答】解：?（﹣）÷3＝×（﹣）×＝﹣＝﹣a2b．【變式31】（2020秋?浦東新區校級期中）計算：．【答案】．【解答】解：原式＝12a÷3b2＝＝＝4．【變式32】（2020秋?寶山區校級月考）計算：．【答案】﹣9a2．【解答】解：根據二次根式有意義的條件可得：a＞0，b＞0，原式＝?（﹣）×3×＝﹣＝﹣?a2b＝﹣9a2．考點四：最簡二次根式的判斷例4.（2023春?南昌縣期中）下列根式中屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵＝，∴選項A不符合題意；∵＝2，∴選項B不符合題意；∵＝3，∴選項C不符合題意；∵屬于最簡二次根式，∴選項D符合題意．故選：D．【變式41】（2023春?北京期中）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、是最簡二次根式，故該選項符合題意；B、不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；C、不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；D、不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；故選：A．【變式42】（2023春?朝陽區校級期中）下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、是最簡二次根式，符合題意；B、＝，不是最簡二次根式，不符合題意；C、＝2，不是最簡二次根式，不符合題意；D、＝|a|，不是最簡二次根式，不符合題意．故選：A．考點五：化簡最簡二次根式例5.（2022秋?南關區期末）將化為最簡二次根式的結果是．【答案】．【解答】解：＝＝，故答案為：．【變式51】（2023春?東湖區校級期中）將化為最簡根式是．【答案】3．【解答】解：＝＝3，故答案為：3．【變式52】（2023春?雄縣月考）化成最簡二次根式：＝．【答案】．【解答】解：，故答案為：．【變式53】（2022秋?長寧區校級期中）二次根式中：、、、是最簡二次根式的是．【答案】．【解答】解：＝＝，被開方數含分母，不是最簡二次根式，＝2，＝|x|，被開方數中含能開得盡方的因數或因式，不是最簡二次根式，是最簡二次根式，故答案為：．考點六：已知最簡二次根式求參數例6.（2023?商丘二模）寫出一個實數x，使是最簡二次根式，則x可以是．【答案】5（答案為不唯一）．【解答】解：當x＝5時，＝是最簡二次根式，故答案為：5（答案不唯一）．【變式61】（2023春?金鄉縣月考）若最簡二次根式與最簡二次根式相等，則m+n＝．【答案】8．【解答】解：∵最簡二次根式與最簡二次根式相等，∴n﹣1＝2，2n+1＝4n﹣m，解得：n＝3，m＝5，∴m+n＝8，故答案為：8．【變式62】（2022秋?南關區校級月考）若最簡二次根式與是同類二次根式，則m＝．【答案】2．【解答】解：＝＝2，則m+1＝3，解得：m＝2，故答案為：2．考點七：分母有理化例7.（2022秋?南安市期末）化簡：＝．【答案】見試題解答內容【解答】解：原式＝＝2+，故答案為：2+．【變式71】（2022秋?徐匯區期末）計算：＝．【答案】見試題解答內容【解答】解：＝＝．故答案為：．【變式72】（2022秋?長寧區校級期中）分母有理化：＝．【答案】﹣3﹣．【解答】解：原式＝＝﹣3﹣，故答案為：﹣3﹣．【變式73】（2022秋?寶山區期中）“分母有理化”是我們常用的一種化簡方法，化簡：＝．【答案】﹣2．【解答】解：＝＝＝﹣2．故答案為：﹣2．考點八：比較二次根式的大小例8.（2021秋?曲陽縣期末）比較大小：【答案】＞．【解答】解：＝，＝，∵＞，∴＞．故答案為：＞．【變式81】（2021春?金壇區期末）比較大小：（填寫“＞”或“＝”或“＜”）．【答案】＜．【解答】解：∵＝＝＝＝1+，＝＝＝，∴1+＜+1，故答案為：＜．【變式82】（2020?昆山市一模）設a＝，b＝2+，c＝，則a、b、c從小到大的順序是．【答案】見試題解答內容【解答】解：c＝＝＝+；∵2＝＞，∴b＞c，又∵a2＝（）2＝7，c2＝（+）2＝5+2，且＞1，∴a2＜c2，∴a＜c，∴a＜c＜b．故答案為a＜c＜b．考點九：分母有理化的應用例9.（2022春?青秀區校級期中）閱讀材料，并解決問題：定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式＝＝（+）．運用以上方法解決問題：（1）將分母有理化；（2）比較大小：（在橫線上填“＞”、“＜”或“＝”）①；②（n≥2，且n為整數）；（3）化簡：+++……+．【答案】（1）2﹣；（2）①＜，②＜；（3）﹣1．【解答】解：（1）＝＝＝2﹣；（2）①∵＝+，＝+，＜，∴＜，②∵＝+，＝+，∴＜，故答案為：①＜，②＜；（3）原式＝++…+＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【變式91】（2022秋?濟南期末）閱讀材料：我們已經知道，形如的無理數的化簡要借助平方差公式：例如：．下面我們來看看完全平方公式在無理數化簡中的作用．問題提出：該如何化簡？建立模型：形如的化簡，只要我們找到兩個數a，b，使a+b＝m，ab＝n，這樣＝m，，那么便有：（a＞b），問題解決：化簡：，解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型應用1：利用上述解決問題的方法化簡下列各式：（1）；（2）；模型應用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC邊的長為多少？（結果化成最簡）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）這里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+（）2＝6，1×＝，所以：＝＝＝1+；（2）首先把化為，這里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（）2+（）2＝13，×＝，所以＝＝＝＝﹣＝2﹣；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，所以，．【變式92】（2022秋?豐城市校級期末）在進行二次根式簡化時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可將其進一步簡化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化還可以用以下方法化簡：＝＝＝；（四）（1）化簡＝＝（2）請用不同的方法化簡．①參照（三）式得＝②步驟（四）式得＝（3）化簡：+++…+．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）＝＝，＝＝．故答案為：，；（2）①原式＝＝﹣．故答案為：﹣；②原式＝＝＝﹣．故答案為：﹣；（3）原式＝+++…+＝＝．1．（2022?桂林）化簡的結果是（）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【解答】解：＝2，故選：A．2．（2022?青島）計算（﹣）×的結果是（）A． B．1 C． D．3【答案】B【解答】解：（﹣）×＝﹣＝﹣＝3﹣2＝1，故選：B3．（2022?武漢）計算的結果是．【答案】2【解答】解：法一、＝|﹣2|＝2；法二、＝＝2．故答案為：2．4．（2022?天津）計算（+1）（﹣1）的結果等于．【答案】18【解答】解：原式＝（）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案為：18．5．（2022?安順）估計（+）×的值應在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】B【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故選：B．6．（2021?蘭州）計算：．【解答】解：＝+＝+＝＝3＝4．7．（2022?濟寧）已知a＝2+，b＝2﹣，求代數式a2b+ab2的值．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．8．（2021?西寧）計算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【解答】解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）＝﹣4﹣4+2＝﹣8+2．1．（2022秋?海口期末）化簡（﹣）2的結果是（）A．9 B．±3 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：（﹣）2＝3．故選：D．2．（2022秋?臥龍區校級期末）計算的結果是（）A．1 B． C． D．【答案】C【解答】解：＝＝＝．故選：C．3．（2022春?桓臺縣期中）當a＜0時，化簡?的結果是（）A．﹣4a B．4a C．﹣4a2 D．4a2【答案】A【解答】解：∵a＜0，∴?＝＝﹣4a．4．（2022秋?濟南期末）二次根式化成最簡二次根式是．【答案】4．【解答】解：＝4．故答案為：4．5．（2022春?宿城區期末）若二次根式是最簡二次根式，則x可取的最小整數是．【答案】﹣2．【解答】解：∵二次根式是最簡二次根式，∴2x+7＞0，∴2x＞﹣7，∴x＞﹣3.5，∵x取整數值，當x＝﹣3時，二次根式為＝1，不是最簡二次根式，不合題意；當x＝﹣2時，二次根式為，是最簡二次根式，符合題意；∴若二次根式是最簡二次根式，則x可取的最小整數是﹣2．故答案為：﹣2．6．（2022秋?安鄉縣期末）若等式?＝成立，則x的取值范圍是．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵若等式?＝成立，∴1+x≥0，1﹣x≥0，解得：﹣1≤x≤1．則x的取值范圍是：﹣1≤x≤1．故答案為：﹣1≤x≤1．故選：A．7．（2022秋?浦東新區校級月考）分母有理化＝．【答案】﹣4﹣2．【