一、學習目標1)了解一元二次方程及其相關概念，會用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉換、降次等數學思想。

2)通過根的判別式判斷一元二次方程的情況，了解根與系數的關系。

3)能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力。重點：

1.理解與掌握一元二次方程及其有關的概念。

2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

3.利用一元二次方程解決實際問題。

難點：

1.理解用根的判別式判別根的情況。

2.一元二次方程求根公式的推導。

3.一元二次方程根與系數的關系。

二、學習過程章節介紹解一元二次方程方法為本章基礎內容，它的計算量相對較大，對正確率要求比較高，要求根據方程的結構，選用合適的方法解方程。大題通常考查利用一元二次方程解決實際問題和一元二次方程根與系數關系，利用一元二次方程解決實際問題難點在于找等量關系，正確列出方程并求解，從而解決實際問題。利用根與系數的關系求代數式的值，難度較大，需要多加練習，靈活運用根與系數關系變形求解！知識梳理1.一元二次方程的概念：只含有_______未知數（元），并且未知數最高次數是_____，等號兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式為___________________________________。3.一元一次方程與一元二次方程的相同點與不同點：4.一般地，對于方程x2＝p①，1)當p＞0時，根據平方根的意義，方程①有兩個____________的實數根______________________；2)當p＝0時，方程①有兩個______的實數根_____________；3)當p＜0時，因為對于任意實數x，都有x2____0，所以方程①_______實數根。5.將方程通過配成____________形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個一元二次方程轉化成______一元一次方程來解。用配方法解一元二次方程的關鍵：6.通過配方法解一元二次方程的步驟:1）移項：將含有x的項移到方程的_____________，常數項移到方程的______________；2）二次項系數化為1：兩邊同除以______________________；3）配方：方程兩邊都加上_____________________________；4）將原方程變成_______________________的形式；5）判斷右邊代數式的符號，若p_________0，可以利用直接開方法求解；若p________0，原方程無實數根。【注意】配方的關鍵：利用已知兩項a2±2ab來確定第三項，只要二次項系數為1，則第三項一定是_________.7.一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成(x＋n)2＝p①的形式，那么就有：1)當p＞0時，根據平方根的意義，方程①有兩個________________的實數根______________________；2)當p＝0時，方程①有兩個________________的實數根______________________；3)當p＜0時，因為對于任意實數x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______實數根。8.判別式概念：一般地，式子________________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。判別式表示：通常用希臘字母“__________”表示，即__________________9.當Δ≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數根為_____________的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。解一元二次方程時，把各系數直接________________，可以省略配方過程而直接求一元二次方程根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。10.公式法解一元二次方程的步驟:1）將原方程化為_______________，確定______________的值【小技巧】若系數是分數通常將其化為________________，方便計算。2）求出_______________的值，根據_______________值的情況確定一元二次方程是否有解。3）如果______________________,將a、b、c的值代入求根公式。【易錯點】a、b、c的值代入求根公式時易遺漏________________。4）最后求出原方程的解。11.先因式分解，使一元二次方程轉化為____________________的形式，從而實現________，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。12.通過因式分解法解一元二次方程的步驟:1.移項：使一元二次方程等式右邊為_______；2.分解：把左邊運用因式分解法化為_________________的形式；3.賦值：令每個因式等于0，得到_________________；4.求解：_________________________，最后得到方程的解。歸納：__________________________________________。13.解一元二次方程的方法解一元二次方程的基本思路是：14.當Δ

≥0時，兩根的和等于一次項系數與二次項系數的___________，兩根的積等于常數項與二次項系數的___________，即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根與系數的關系為:人們把敘述一元二次方程根與系數關系的結論稱為“韋達定理”。【易錯點】使用韋達定理的前提條件：15.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根x1,x21）平方和x12）倒數和1x1+13）差的絕對值|x1-x2|=4)x1516.利用一元二次方程解決實際問題：1）傳播問題：明確每輪傳播中的___________個數，以及這一輪被傳染的__________．2)增長率問題：①如果增長率問題中的基數為a，平均增長率為x，則第一次增長后的數量為____________，第二次增長后的數量為____________．②如果下降率問題中的基數為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數量為__________，第二次下降后的數量為___________．3）幾何問題：

①常見幾何____________是等量關系。②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程。4)數字問題：①若個位數字為a，十位數字為b，百位數字為c，則十位數字表示為____________.百位數字表示_____________.②日歷中的某個日期，左右相差___________，上下相差___________.

5）利潤問題：單件利潤=___________,總利潤=________________6)表格問題：理解題干內容，從題干中獲取信息。7）動點問題：在動點中觀察圖形的變化情況，需理解動點在圖形不同位置情況，才能做好計算推理過程。在變化中找到不變的性質是解決動點問題的基本思路?？键c解讀考查題型一一元二次方程的定義1．（2022秋·廣西柳州·九年級統考期中）若關于x的方程是一元二次方程，求m的值．2．（2022秋·山東菏澤·九年級統考期中）若方程是關于的一元二次方程，求的值．3．（2022秋·北京朝陽·九年級和平街第一中學校考期中）證明：關于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．考查題型二一元二次方程的解1．（2022秋·北京·九年級統考期末）已知m是方程的一個根，求代數式的值．2．（2022秋·北京朝陽·九年級統考期末）已知是關于x的方程的一個根，求代數式的值．3．（2022秋·江蘇·九年級期中）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代數式÷（a+3﹣）的值．考查題型三選用合適的方法求解一元二次方程1．（2022秋·江蘇鎮江·九年級統考期中）解下列方程(1)(2)(3)2．（2022秋·廣東汕尾·九年級校考期中）解方程：(1)；(2)．3．（2022秋·新疆昌吉·九年級?？计谀┯眠m當的方法解下列方程：(1)(2)考查題型四根據一元二次方程根的情況求參數1．（2022秋·河南洛陽·九年級統考期中）已知關于的方程．(1)是方程的根嗎？請說明理由．(2)當取何值時，方程有實數根？2．（2022秋·貴州遵義·九年級?？计谥校┮阎P于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程有一個實數根為負數，求正整數m的值．3．（2022秋·四川成都·九年級?？计谥校┮阎匠蹋?1)當a取什么值時，方程有兩個相等的實數根？(2)當a取什么值時，方程有兩個不相等的實數根？(3)當a取什么值時，方程有實數根？4．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙壗y考期末）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范圍．考查題型五一元二次方程根與系數的關系1．（2022秋·陜西西安·九年級?？计谀╆P于的一元二次方程的兩實數根分別為、，且，求的值．2．（2022秋·廣東汕尾·九年級?？计谥校┮阎P于的一元二次方程的一個根是1，求的值及方程的另一個根．3．（2022秋·新疆昌吉·九年級?？计谀┮阎P于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求k的取值范圍；(2)設方程的兩個實數根分別為，，當時，求的值．4．（2022秋·四川成都·九年級統考期末）已知關于的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)已知該方程的兩個根為，，且滿足，求的值．5．（2022秋·廣西貴港·九年級統考期中）已知關于x的一元二次方程有兩個實數根和．(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩實數根，滿足，求實數k的值．考查題型六利用一元二次方程解決實際問題1．（2022秋·遼寧大連·九年級統考期末）某種病毒傳播非?？欤绻粋€人被感染，經過兩輪感染后就會有64個人被感染．(1)求每輪感染中平均一個人會感染幾個人；(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過500人．2．（2022秋·廣西貴港·九年級統考期中）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額；（2）去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8、9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業額與9月份的營業額相等．求該商店去年8、9月份營業額的月增長率．3．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，要使用長為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．(1)如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么的長為多少米？(2)能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請求出的長；若不能，請說明理由．4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級烏魯木齊市第六十八中學校考期末）已知三個連續正整數的平方和為194，求這三個正整數．5．（2022秋·山東濟南·九年級校聯考期中）某服裝店在銷售中發現：進貨價為每件50元，銷售價為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現服裝店決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利．經市場調查發現：如果每件服裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)求銷售價在每件90元的基礎上，每件降價多少元時，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時又要使顧客得到較多的實惠？(2)要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請說明理由．6．（2022秋·廣東江門·九年級統考期末）如圖，在中，，，．點從點開始沿邊向點以1cm/s的速度移動、同時點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動，當其中一點到達終點時，另外一點也隨之停止運動．(1)的面積能否等于？請說明理由．(2)幾秒后，四邊形的面積等于？請寫出過程．7．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，，，點P從點A出發沿邊AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發沿邊BC以2cm/s的速度向點C移動，當點P運動到點B后，運動停止，設運動時間為x（s）．(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；(2)若時，求x的值；(3)當x為何值時，將成為以為斜邊的直角三角形．8．（2022秋·河南南陽·九年級統考期中）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個方框圈出的四個數．(1)若圈出的四個數中，最小的數為，則最大的數為______（用含的代數式表示）；(2)若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為153，求這個最小數．

一、學習目標1)了解一元二次方程及其相關概念，會用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉換、降次等數學思想。

2)通過根的判別式判斷一元二次方程的情況，了解根與系數的關系。

3)能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力。重點：

1.理解與掌握一元二次方程及其有關的概念。

2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

3.利用一元二次方程解決實際問題。

難點：

1.理解用根的判別式判別根的情況。

2.一元二次方程求根公式的推導。

3.一元二次方程根與系數的關系。

二、學習過程章節介紹解一元二次方程方法為本章基礎內容，它的計算量相對較大，對正確率要求比較高，要求根據方程的結構，選用合適的方法解方程。大題通?？疾槔靡辉畏匠探鉀Q實際問題和一元二次方程根與系數關系，利用一元二次方程解決實際問題難點在于找等量關系，正確列出方程并求解，從而解決實際問題。利用根與系數的關系求代數式的值，難度較大，需要多加練習，靈活運用根與系數關系變形求解！知識梳理1.一元二次方程的概念：只含有_______未知數（元），并且未知數最高次數是_____，等號兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式為___________________________________。3.一元一次方程與一元二次方程的相同點與不同點：4.一般地，對于方程x2＝p①，1)當p＞0時，根據平方根的意義，方程①有兩個____________的實數根______________________；2)當p＝0時，方程①有兩個______的實數根_____________；3)當p＜0時，因為對于任意實數x，都有x2____0，所以方程①_______實數根。5.將方程通過配成____________形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個一元二次方程轉化成______一元一次方程來解。用配方法解一元二次方程的關鍵：6.通過配方法解一元二次方程的步驟:1）移項：將含有x的項移到方程的_____________，常數項移到方程的______________；2）二次項系數化為1：兩邊同除以______________________；3）配方：方程兩邊都加上_____________________________；4）將原方程變成_______________________的形式；5）判斷右邊代數式的符號，若p_________0，可以利用直接開方法求解；若p________0，原方程無實數根?！咀⒁狻颗浞降年P鍵：利用已知兩項a2±2ab來確定第三項，只要二次項系數為1，則第三項一定是_________.7.一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成(x＋n)2＝p①的形式，那么就有：1)當p＞0時，根據平方根的意義，方程①有兩個________________的實數根______________________；2)當p＝0時，方程①有兩個________________的實數根______________________；3)當p＜0時，因為對于任意實數x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______實數根。8.判別式概念：一般地，式子________________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。判別式表示：通常用希臘字母“__________”表示，即__________________9.當Δ≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數根為_____________的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。解一元二次方程時，把各系數直接________________，可以省略配方過程而直接求一元二次方程根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。10.公式法解一元二次方程的步驟:1）將原方程化為_______________，確定______________的值【小技巧】若系數是分數通常將其化為________________，方便計算。2）求出_______________的值，根據_______________值的情況確定一元二次方程是否有解。3）如果______________________,將a、b、c的值代入求根公式。【易錯點】a、b、c的值代入求根公式時易遺漏________________。4）最后求出原方程的解。11.先因式分解，使一元二次方程轉化為____________________的形式，從而實現________，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。12.通過因式分解法解一元二次方程的步驟:1.移項：使一元二次方程等式右邊為_______；2.分解：把左邊運用因式分解法化為_________________的形式；3.賦值：令每個因式等于0，得到_________________；4.求解：_________________________，最后得到方程的解。歸納：__________________________________________。13.解一元二次方程的方法解一元二次方程的基本思路是：14.當Δ

≥0時，兩根的和等于一次項系數與二次項系數的___________，兩根的積等于常數項與二次項系數的___________，即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根與系數的關系為:人們把敘述一元二次方程根與系數關系的結論稱為“韋達定理”?！疽族e點】使用韋達定理的前提條件：15.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根x1,x21）平方和x12）倒數和1x1+13）差的絕對值|x1-x2|=4)x1516.利用一元二次方程解決實際問題：1）傳播問題：明確每輪傳播中的___________個數，以及這一輪被傳染的__________．2)增長率問題：①如果增長率問題中的基數為a，平均增長率為x，則第一次增長后的數量為____________，第二次增長后的數量為____________．②如果下降率問題中的基數為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數量為__________，第二次下降后的數量為___________．3）幾何問題：

①常見幾何____________是等量關系。②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程。4)數字問題：①若個位數字為a，十位數字為b，百位數字為c，則十位數字表示為____________.百位數字表示_____________.②日歷中的某個日期，左右相差___________，上下相差___________.

5）利潤問題：單件利潤=___________,總利潤=________________6)表格問題：理解題干內容，從題干中獲取信息。7）動點問題：在動點中觀察圖形的變化情況，需理解動點在圖形不同位置情況，才能做好計算推理過程。在變化中找到不變的性質是解決動點問題的基本思路?？键c解讀考查題型一一元二次方程的定義1．（2022秋·廣西柳州·九年級統考期中）若關于x的方程是一元二次方程，求m的值．【詳解】解：由題意得，，由①得，，由②得，，所以，m的值為．2．（2022秋·山東菏澤·九年級統考期中）若方程是關于的一元二次方程，求的值．【詳解】解：∵方程是關于的一元二次方程，∴，解得．3．（2022秋·北京朝陽·九年級和平街第一中學?？计谥校┳C明：關于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．【詳解】解：由關于x的方程可知：，∵，∴，∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．考查題型二一元二次方程的解1．（2022秋·北京·九年級統考期末）已知m是方程的一個根，求代數式的值．【詳解】解：由m是方程的一個根可得，即，將代入，可得原式2．（2022秋·北京朝陽·九年級統考期末）已知是關于x的方程的一個根，求代數式的值．【詳解】解：．∵是關于x的方程的一個根，∴．∴．∴原式．3．（2022秋·江蘇·九年級期中）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代數式÷（a+3﹣）的值．【詳解】解：原式====∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，∴a2+4a=21，即a（a+4）=21，原式=．考查題型三選用合適的方法求解一元二次方程1．（2022秋·江蘇鎮江·九年級統考期中）解下列方程(1)(2)(3)【詳解】（1）解：，，，，或，∴，；（2），，，，∴，；（3），，或，∴，．2．（2022秋·廣東汕尾·九年級?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【詳解】（1）解：∴，．（2）解：∴，．3．（2022秋·新疆昌吉·九年級?？计谀┯眠m當的方法解下列方程：(1)(2)【詳解】（1）解：，∴，∴，∴或，解得：，；（2），∴，，，∴，∴，解得：，．考查題型四根據一元二次方程根的情況求參數1．（2022秋·河南洛陽·九年級統考期中）已知關于的方程．(1)是方程的根嗎？請說明理由．(2)當取何值時，方程有實數根？【詳解】（1）解：將代入方程，得：，化簡得：等式不成立，故不是方程的根.（2）當時，關于的方程有實數根.，解得，當時，可得，綜上可得：當時，方程有實數根；2．（2022秋·貴州遵義·九年級校考期中）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程有一個實數根為負數，求正整數m的值．【詳解】（1）解：證明：．，方程總有兩個實數根．（2）解方程，可得，解得，，若方程有一個根為負數，則，故，正整數．3．（2022秋·四川成都·九年級校考期中）已知方程：(1)當a取什么值時，方程有兩個相等的實數根？(2)當a取什么值時，方程有兩個不相等的實數根？(3)當a取什么值時，方程有實數根？【詳解】（1）解：當方程有兩個相等的實數根時：，解得：；∴當時，方程有兩個相等的實數根；（2）解：當方程有兩個不相等的實數根時：，解得：；又∵，∴當且時，方程有兩個不相等的實數根；（3）當時，方程為一元二次方程，由（1）（2）可知：當且是，方程有實數根；當時，方程變為：，解得，方程有實數根；綜上，當時，方程有實數根．4．（2022秋·廣東珠海·九年級統考期末）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范圍．【詳解】（1）解：依題意，得∵∴方程總有兩個實數根；（2）解：方程由（1）得∴，∴，，∵方程的一根大于2，一根小于1，∴∴．∴m的取值范圍是．考查題型五一元二次方程根與系數的關系1．（2022秋·陜西西安·九年級校考期末）關于的一元二次方程的兩實數根分別為、，且，求的值．【詳解】解：關于的一元二次方程的兩實數根分別為、，，，，，把代入得：，解得：．2．（2022秋·廣東汕尾·九年級?？计谥校┮阎P于的一元二次方程的一個根是1，求的值及方程的另一個根．【詳解】解：設方程的另一個根為，∵關于的一元二次方程的一個根是1，∴，，則，，故，方程的另一根為．3．（2022秋·新疆昌吉·九年級校考期末）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求k的取值范圍；(2)設方程的兩個實數根分別為，，當時，求的值．【詳解】（1）解：方程有兩個不相等的實數根，，即，解得；（2）當時，方程為，，，．4．（2022秋·四川成都·九年級統考期末）已知關于的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；(2)已知該方程的兩個根為，，且滿足，求的值．【詳解】（1）解：由題意知，

，

不論取何值，，

方程總有兩個不相等的實數根；（2）由題意知，，

又，

，

解得．5．（2022秋·廣西貴港·九年級統考期中）已知關于x的一元二次方程有兩個實數根和．(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩實數根，滿足，求實數k的值．【詳解】（1）由題意得：，解得；（2）根據題意得，，∵，∴，即，則，整理得，解得，，又，故考查題型六利用一元二次方程解決實際問題1．（2022秋·遼寧大連·九年級統考期末）某種病毒傳播非常快，如果一個人被感染，經過兩輪感染后就會有64個人被感染．(1)求每輪感染中平均一個人會感染幾個人；(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過500人．【詳解】（1）解：設每輪感染中平均一個人會感染x個人，依題意，得：1+x+x（1+x）=64，解得：x1=7，x2=-9（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均一個人會感染7個人．（2）64×（1+7）=512（人），512＞500．答：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會超過500人．2．（2022秋·廣西貴港·九年級統考期中）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額；（2）去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8、9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業額與9月份的營業額相等．求該商店去年8、9月份營業額的月增長率．【詳解】解：(1)第七天的營業額是450×12%=54(萬元)，故這七天的總營業額是450+450×12%=504(萬元)．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額為504萬元．(2)設該商店去年8、9月份營業額的月增長率為x，依題意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合題意，舍去)．答：該商店去年8、9月份營業額的月增長率為20%．3．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，要使用長為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．(1)如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么的長為多少米？(2)能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請求出的長；若不能，請說明理由．【詳解】（1）設的長為米，則，根據題意，得，整理，得，解得，，∵墻的最大可用長度為米，∴，∴，∴，即的長為米；（2）不能圍成面積為平方米的花圃．理由如下：根據題意，得，整理，得．∵，∴該方程無實數根，∴不能圍成面積為平方米的花圃．4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級烏魯木齊市第六十八中學?？计谀┮阎齻€連續正整數的平方和為194，求這三個正整數．【詳解】解：設這三個連續正整數依次為，，，其