《機械振動學》（研究生）（46學時）

內容與實施計劃：

PartI.線彈性系統的振動

Chapterl.多自由度系統的振動分析

Chapter.彈性體的振動分析

Chapter.多自由度系統的特征值、特征向量的計算

Chapter.振動分析的數值方法

PartII.隨機振動

Chapter!.隨機過程概論

Chapter2.隨機過程的時域分析

Chapter.隨機過程的頻域分析

Chapter4.系統的響應函數

Chapter5.系統的隨機振動分析

Chapter6.結構隨機響應的安全評估

PartHL系統的參數識別（4學時）

參考文獻：

[1]季文美《機械振動》科學出版社

[2]鄭兆昌等《機械振動》（上、中冊）機械出版社

[3]Meirovitch.LElementofVibrationAnalysisMcGrow-Hi11

PartI第一篇線彈性系統的振動

特點：(1)系統的恢復力和阻力分別于位移和速度成線性關系：

kxex

(2)迭加原理成立；

第一章多自由度系統的振動

研究對象：多自由度系統-----有限多自由度的離散系統

離散系統-----其運動力學模型以集中參數表示，彈性元件無慣性，

慣性元件無彈性

數學工具：常微分方程、線性代數

§1.系統運動微分方程

一、方程：

對于n個自由度系統，其振動微分方程的最一般形式為：

[M]{%}+[C]{x}+[KiX}={F}(1)運動平衡方程

這是一個二階常系數線性非齊次微分方程，稱之為阻尼受迫振動方

程

一般地，對于線彈性系統，[M]、[c]、[K]均為實對稱矩陣，即：

[MJ=[M],[cr=[c]^w=w

說明：下面的講解中，x=x(f),W=W(f),無=地)，T7二人。

(1)若系統無干擾，即忸}={0},則方程為：

MH—}+[K]{x}={0}(2)

(2)式為阻尼衰減自由振動方程(在初始干擾下的振動)

若系統無阻尼,即仁卜{0},則方程為：

[M]{X}+[K]{X}={/}(3)

(3)式為無阻尼受迫振動方程(忽略阻尼的理想系統)

若系統既無阻尼又無干擾，即{川={0}，[C卜{0},則方程變為

[M]{X}+[K]{X}={O}(4)

(4)式為無阻尼自由振動方程，這是運動方程的最簡形式

可見：[〃]、[K]是產生振動的最基本的原因

二、建立方程的方法

1、牛頓第二定律及其推論(質心、動量矩定理，動靜法)一理論力

學中方法，適用于質點系和剛體。

例1.圖示三自由度系統：

以系統的靜平衡位置為坐標原點，取分離體:

XXi

KgX）

C3

由牛頓第二定律，即：核=，f

有：相比丁一億%+42&2一%）-6為+￡2&2-元）+/

根212二一左2Gt：?一元）+攵3（￥3一12）-CGa一元）+C3G3一'2）+/2

加3工3=一左3&3一12）一。3&3—幾）+/3

用矩陣表示為:

0000

m]XiG+G-GXik、+k]—k2X

00—C2C2+C3+-%3%2

m2X2T一。3x2+-k2k2k32

00.焉0—C3焉0

m3_c..—k?.k、.X3.3.

可以簡記為:

W{x}+[c]{x}+[K]{X}={F}

由此可見，［M］、仁］、［K］均為實對稱矩陣。

2、影響系數法（柔度法、剛度法）--結構力學中的方法，適用于

以集中質量表示的彈性體作自由運動的情況。

（1）柔度法：通過彈性體的柔度影響系數建立位移（變形）與外

力之間的聯系一力法

例2.圖示具有2個集中質量的簡支梁，設在集中力力，作用

下，nil、加2處的撓度分別為、工2。

由結構力學的力法方程（位移分別迭加）可得正則方程（位移方

程）為:x^rnf+r^f.

%2=心/+%2/

矩陣表示為：JX，

I-X2J

即：｛%｝=網｛/｝一位移方程，其中因為柔度矩陣，其元素.稱為

柔度影響系數，表示僅在系統的第j個坐標上作用單位力，在第i

個坐標上引起的位移。

由位移互易定理（麥克斯韋爾定理）

???岡=阿

（柔度影響系數幾可以通過實測或單位力法計算獲得）

若此梁作自由振動，則梁上的作用力只有慣性力，由動靜法（達

倫貝爾原理）：/=-m,x（i=l,2…），代入位移方程（5）中，經

o

n,八2帆XiO-

整理，得到:Xi<>(6)

00

r2im2X.

x2.

即：[R][M脹}+{x}={0}--以柔度矩陣表示的系統自振動方程

（2）剛度法

通過彈性體的剛度影響系數建立外力與位移（變形）之間的聯系

一位移法

例3同前例2,

由結構力學的位移法可得正則方程（力方程）為：（力的分解與迭

.「乙X+左2X2

九=匕西+匕212

kwkn

矩陣表示為：.?(7)

J2.ki\kn_X2.

{7}=[K]{1}——力方程

其中[K]表示為剛度矩陣，其元素K稱為剛度影響系數，表示僅使第

j個坐標上產生單位位移，需在第i個坐標上施加的力。它可以通過

單位位移計算獲得。

由反力互易定理:

,ky~kj,

若此梁作自由振動，作用梁上的力只有慣性力，且/「-想北

ki2X\。

<>=<>(8)

oW2JIX2J1^21k?2_工2.Q

即：|/n]㈤+同{%}={0}

關于［K］、同陣的討論：

①國］為正定或半正定陣，即|［燈20

證明：用g(x)7■左乘方程(7),得到：

=g(x)T［K］{x}

V________7____________________7___________/

左端是外力功之和系統的彈性勢能U

*/W>0

?.U=^x］T［K］{x}>0

即二次型對應的矩陣為正定陣或半正定矩陣。

若系統約束充分，無剛體運動，［K］為正定；

若系統約束不足，有剛體運動，［K］為半正定；

②［K］與網陣的關系

對于同一問題，雖然以柔度和剛度矩陣表示的系統的自由振動的

微分方程的形式不同，但二者的本質是相同的，因為它們描述的是同

一系統的振動規律。事實上，二者是可以相互轉化的：

將方程6改寫成如下的形式：{x}=-［即0］{母，并代入方程8中，

得到：

［M網-團同加］{X}={0},（［小［燈硼“陶={0}

???［加卜0,

??.［K］因=［/］

即［K］、四互為逆陣，［K］=［R『

若系統有剛體運動（約束不足），則對應的矩陣國］為半正定的，

即因=0,其逆陣網=/『將不存在。

因此，對于彈性體正定或半正定的系統，其［K］存在，但對于半

正定系統，其岡將不存在。

3、拉格朗日方程方法--分析力學中的方法，它是利用廣義坐標、

廣義力，以能量的觀點來研究系統的動力學問題，從而具有較大的普

遍性，適用于復雜的多自由度系統（關于拉氏方程的推導，可參閱季

文美《機械振動》Ch8,P318）

拉氏方程的一般形式為：（對于n自由度的系統）

ddTSTdUS3八/?io\/\

-------；---------+——+（j=l,2n）（9n）

dd

以［河JQ）網」Q,，

其中?、〃表示第j個廣義位移和速度。

T=g￡[囚]￡J為廣義坐標下系統的動能

U='{q}7[K]{q}為廣義坐標下系統的勢能

2表示第j個廣義非勢力（重力外的力），

1

E〃0

-C爐

夕=2初，[,向＞=iZ?

由此拉氏方程可導出振動系統運動微分方程的一般形式一阻尼受

迫振動方程。

若系統無阻尼，即[c]=0,則3=0

若系統為保守系統，貝“夕=0,Q=0（j=l,2……n）（無非勢力）

特別說明：

（1）若系統的靜平衡位置為勢能零點，則U中只需計算彈性勢能；

（2）計算T時需用絕對速度

（3）阻尼力和相對速度成正比

例4同例1的三自由度彈簧一質量系統

解：用拉氏方程建立系統的運動方程：

取：H、羽、陽、羽為廣義坐標，以靜平衡位置為勢能零點

+

動能為：TY+Y2+T3^^kiXi'^k2X2

勢能為：u=Ui+a+a=；左產;+；匕（明-匕（為一%）2（以靜

平衡位置為勢能零點）

耗散函數S=]ClX：+C2（X2—X1）2+C3Q3—X2）2（阻尼力與相對速

度成正比）

非勢廣義力：Q=f,（j=l,2,3）

代人拉氏方程（9）

“空］."+也+皿

或［殉Jdq8%dqj

得到系統的運動方程為（以矩陣形式表出）

o0+—kio

m1無a+C2一。2XxkikiXi

++

m"+~cCiC3一。3x2—kk2k3-k3\x2?

222

o0o

m3_焉一。3C3X,一匕

例5自由度轉子系統（半正定系統），用拉氏方程建立系統運動方程

解：取各轉子的轉角o、a、&、a為廣義坐標，以靜平衡位置為勢能

J3J4

r*-i

K\K.

吊占&02&a

奪點。

動能：TjjidJ+Jz"+"32+^42

\/

勢能：u=；k（%-ej+k用-幻2+L?「幻2]

因為是保守系統，所以3=0,Q；=0（j=l,2,3,4）

代入拉氏方程得到系統扭轉自由振動方程:

e、

-一

盛

E。r

oKGo

—1

J.e

O億o

22-此2-2

、+.

<>=<

左

e二o

33223

OO上

J。4O

4-3一<

-X一

顯然因系統的約束不足，具有剛體運動（整體轉動）一自由轉子

故剛度矩陣［K］為半正定矩陣，其逆陣因不存在

§2方程的靜、動力耦合

一、靜、動力耦合

在系統運動方程［M］八］+仁］"卜［K］{x}={F}中：

1.若［K］為非對角陣，即上產0,則系統為（靜力耦合）彈性

耦合的，例4、例5中的［K］陣均是三對角陣，這反映了串

聯質量系統的彈性耦合特性。

2.若［M］為非對角陣，即〃2產。，則系統是（慣性耦合）動力

耦合的，對于串聯質量系統，［M］是對角陣，如例1、2；

對于非串聯系統，囚］通常不是對角陣。

3.［C］為非對角陣，即C,產。，則系統是（速度耦合）動力耦

合的，如例1系統。

顯然，對應于具有耦合關系的系統運動方程是一個聯立的二

階微分方程組，需要注意的是：方程耦合與否取決于選定的廣義

坐標系，而與系統的固有特性無關。為了說明之，現舉一個簡單

的例子。

例6.汽車車體用質量為m的剛性梁表示，輪子簡化為彈簧七、k1，

建立車體在鉛垂平面內的運動方程。

解：取靜平衡位置為坐標原點，因為只考慮車體在鉛垂方向的上下

運動和俯仰運動，因而在運動過程的任一時刻，可用車體上某一點的

鉛垂坐標與車體繞該點的轉角就可以完全確定車體的位置，這樣車體

可簡化為一個二自由度的系統。

(1)以質心C的鉛垂坐標兒和轉角。為廣義坐標，即(x，6)

以系統的靜平衡位置為坐標原點，由拉氏方程建立系統的運動方程,

用矩陣表示為:

代人保守拉氏方程中得:

TkL-kJ)Jx0

0JjlJ[-出心-左/)億/「+江一)向0

可見,由于二“ku。rj),故以為廣義坐標建工的系統運

動方程是彈性（靜力）耦合的。彈性耦合的含義是，每一個廣義坐標

的運動不能獨立發生，即每個坐標值的改變將必然引起其余坐標值的

改變。

若僅有平移運動王，則引起彈性力怎％和總%，它們對質心C點

之力矩為：￡m<=-kixji+k2xj2=（kj「k,l）x1°，（除非

（攵2/2-4|/）=0）由于力矩不為零，必然要引起剛體的轉動，從而必然

會引起轉角0.

反之，若僅有轉動運動6,則必然引起彈性力_/16人]和八夕上，

它們在鉛垂方向上投影之后，￡匕=-1*3+12心6」「鼠1他八

（除非々2,2-4/）=。）由于合力不為零，必然要使剛體在X方向上

發生位移，從而引起位移x。

（2）以剛體的剛度中心E點的縱向坐標元和轉角。位廣義坐標，

（元超）

心為剛度中心，是剛體作平移x時兩彈簧力合力的作用點。可由理

論力學中兩同向平移引起之合力性質確定。

有坐標轉換關系：

l'=l「eh=l1+e

+el=<

'li=l2^h=l「e

+eee0

XE=X,[X<=XK-

2

由慣性平移定理得：JE=J+me

]21*21*/,J-5*2

T=2機北「+耳=2m（XE_?+3（”，叱）6

++力=；%刈匕。］2

U=^k\xEl\\kSxE~h1kg+Qi-eLvE-Qz+e）

對E點建立系統的運動方程為：

m0UIo

12.25><>

-me+0

kd}kll2

可見，由于乂=0,加產0小力，故以剛度中心和轉角（咒⑼為廣義

坐標系建立的系統的運動方程是慣性（動力）耦合的。

與彈性體耦合的意義相類似，慣性耦合的力學含義是：每一個廣

義坐標的加速度是不能獨立發生的。

（3）以剛體的一端A的坐標羽和轉角。為廣義坐標，即（元,6）

|羽=乂+'/|,

+m

[JA=JcC

代入T,U中，再代入方程（9）,得到最終的矩陣形式表達的運動方

程為:

m焉]+[左+七l

k2XxLf°\

叫LkkFeJ[o

可見，左產。,〃2產0，。工）），即以（X.,。）為廣義坐標建立的系統的運動

方程既有靜力（彈性）耦合，又有動力（慣性）耦合。這是方程耦合

最一般的形式。

從上例討論可知，對于同一系統，由于選取的廣義坐標系不同，所

建立的系統運動方程的表達形式也是不同的，即方程表達式取決于坐

標系的選取。但是，由這些不同坐標系所求的系統的運動特性（固有

頻率、振型）都是相同的，因為系統的固有特性是由系統的物理參數

決定的，而與坐標的選取無關。

這類似于一個既定物體的運動（如圓周、曲線運動），對于不同的坐

標系（如直角、自然、極坐標系），其運動方程和軌跡方程的表達形

式是不盡相同的，但是所描述的物體的運動規律是相同的。軌跡曲線

的形狀只有一個，它不因坐標系的選取而改變。

事實上，一個系統的運動方程的表達式隨不同的坐標而改變，恰恰

體現了系統本身力特性不隨坐標而改變的重要本質一形式變而本質

不變的辯證思想。（變是為了不變的思想）

二、主坐標一使運動方程既無靜力耦合又無動力耦合的一組廣義

坐標，即成為無耦合的坐標系

在主坐標中，系統運動方程中的［M］、［c］、國］都成為對角陣，從而

系統微分方程成為一組彼此獨立的微分方程組，每一方程（成為單

自由度系統運動方程）可獨立求解。

對于任何振動系統，總存在著主標系，有些且不止一組。利用線性

變換的方法，將其變換成主坐標系，即通過線性變換可使方程組去

耦，這類似于解析幾何中二次曲線的標準化過程（二次型化為標準

的過程）。

22

在oxy坐標系下，Ax+By+Cxy+Dx+Ey+F=0,通過坐標

變換，使原方程在主坐標系o'x'y'下，成為如下的形式：

ax'2+by'2~\=0

當然對于多自由度系統的線性變換沒有這樣簡單，具體的方法將在

學至主振型時再詳細介紹，這里先給出方法。

示意圖：

非主坐標系3^1主坐標系與此同時，耦合方程—』非耦合方程

這是一個同步的過程。

第一講結束！

§3.固有頻率、主振型(特征值、特征向量)

系統在無阻尼自由振動時的動力特性---固有特性(固有頻率、主

振型)是多自由度系統振動的關鍵，故先討論之。

n個系統的無阻尼自由振動方程式：

[MK+[K]{X}={0}(1)

無阻尼自由振動也成為簡諧振動，故設解的形式為：

{x(f)}={x}sin(pf+。)(2)

其中{X}一振幅列向量，p—固有頻率，0—初相角

即各坐標以不同振幅、同頻率、同相位做簡諧運動

將(2)式代入方程(1)中得：

-p'\M]{X}sin(pt+</))+\K]{X}sin(pt+</>)-{o}

([K]-p2[M]){x}={0}(3)振型方程

{X}={O}表示靜止的狀態，因此(3)是以{X}為未知解向量的線性齊

次方程組，{X}有非零解的充要條件是：

|[/C]-P2[M]=O（4）（特征方程或頻率方程），以p?為未知量的n次

代數方程，從中解出方程的n個根（特征值）為：

p<p<p<p<p（按從小到大的順序排列）

數學上可以證明：當系統為正定系統時，其特征值〃,〉O（i=l…〃）

p,為系統的第i階固有圓頻率，固有頻率計算公式為：

力備=1…〃）

將p,?=1…〃）分別代入線性方程組（3）中，求得解向量（特征向

量）為：

{x}j（i=l…〃）一系統的第i階主振型，表示系統以第i階固有頻率

作自由振動時各點的振幅比值（振動模態）

例,=（耳,羽,羽7,"尸其分量為X.,天釐:宿

」u一衣不蜘軍陰雙

由線性方程組理論可知，若{X},是方程組（3）的解向量，則a{x}j（a

是任意常數）也是方程組的解向量。為此可將每一個解向量（主振型）

做歸一化處理，如用每一個解向量中的最大（小）元素通除向量中各

元素。

將n階主振型向量，按固有頻率順序組成一個n階方陣，記為：

忸卜[閨依為……{X}}一振型矩陣

注：（1）n個自由度的系統有n階固有頻率和11階主振型（數學上

稱為特征值與特征向量問題，是線性代數計算方法研究的主要內容，

在實際中常用數值方法求解）

(2)固有頻率和主振型僅由系統本身的物理參數([〃]、[K])確定,

而與初始條件和干擾力無關

(3)主振型表示系統以某一固有頻率振動時各點振幅相對值(振動

模態)，而并非為各點振幅的絕對值。

例7.圖TF彈黃質量系統：已知：加?=2m,加，=1.5見加③=m，

k、=3k，k[=2k，k3=k

求系統的各固有頻率p,和主振型｛X，

解：選取系統的靜平衡位置為坐標原點，取劉為廣義坐標

系統的自由振動方程為:

2m0X^Xio'

1.5mX1二<0>

0m

x3J1°

其對應的振型方程為：肉-/丹町=0(*)

5k-Imp2-2k

其特征方程為：一2k3k-1.5mp2-k=0

-kk-mp~

展開后，整理得：

p6-5.5-p，+7.5(-)2p2一2(-)3=0

mmtn

用數值方法解得三個根(固有頻率)為：

2k2k2k

n=0.351—,n=1.61—,n=3.54—

123

卜加卜m卜m

將p：(i=1,2,3)分別代入線性方程組(*)中，即(四-p：[M])｛X｝尸｛0｝,

解得對應的特征向量（主振型）為：（為了便于比較，將每一主振型

中的第三個分量取基準1）:

{X(0.302,0.649,1)7=(羽，心，汝了

{Xk=(-0.679,-0.607,1/=(y2,%2，％J

r

{X}3=(2.440,-2.542,l)=(X13,X23,X3y

[p]=[{x},,{x}2...{x}?]

主振圖（模態圖）為:

結論：節點數=振型階數-1

對于位移方程（運動微分方程的反形），亦可進行類似上述的分析。

設系統為正定系統，方程為：

[RfM]{珀)}+{x(f)}={0}(4-20)

令其解為：{x(f)}={x}sin(pf+0),代入上式，得:

-p2[R^M]{X}sin(pf+°)+{X}sin(pf+0)={o}

—p2因M{x}+{x}={0}

(P2[4M]-[/]){X}={0}

（[D]--^[/]）{x}={0}

其中，為系統的動力矩陣

令:4=則（回-4/]雙}={0}（*）（振型方程）

P

{x}w{0}的充要條件為：g]-4[/]=0此即為頻率方程、特征方程

展開后為幾的n次代數方程，可解得特征根為4：

A,>/U>??->A,（從大到小排列）

由于4=3，有

Pi

將4（i=l.2……n）依次代入到方程（*）中，解得對應的主振型為：

{x}?{x}2..■{%}?

從而振型矩陣為[p]=[{x},{x}2…{x}"]

例8.-一個三自由度的簡支梁，已知=m2=根3=機，求

解：以系統的靜平衡位置為坐標原點，取廣義坐標為次],工2，工3

用柔度法建立梁的自由振動方程：

聞團{而）}+{刈）}={0}

補充知識：由材料力學公式，各柔度系數為：

A△

1

工

(i=1,2,3)

3EJI

(i=1,2,3)

6EJI

9117

rn3

因此，得到：因11,非奇異陣

r>1116

2768EJ

心7119

mi0

=mm[I]

m2

o根31

9117

ml3

動力矩陣［。］=111611

768￡J

7119

振型方程：（網-々［〃心上新（*）

如前所述，特征方程為：（⑸-zl［/］）{x}={0}（A萼冬），從中解得2

mlp~

的三個根：%=31.556,九=2,九=0.444

?0=4L6EJ

Pi=4.935'A=196

ml2

將%?=1,2,3）分別代入振型方程，解得對應的主振型:

㈤尸。V21)

因2=(-101)

⑻3=(1-/if

1-11

則對應的振型矩陣為：[p]=[{X{x}2,{x}3]V20-V2

111

主振圖（模態圖）為:

無節點

P1振型

一結點

P2振型

二結點

P3振型

振型的對稱、反對稱是由于結構的對稱性（剛度、質量、約束）而

造成的。

結論2：對稱結構，其奇數次振型均為對稱的，其偶數次振型均為

反對稱的。

關于對稱結構，有3種對稱類型：（1）幾何對稱：形狀、尺寸等;

（2）物理對稱：剛度、質量（慣量）；（3）約束的對稱性

§4主振型的正交性、方程解耦

一、正交性

設n個自由度的正定系統，其n個特征對為:

222

0<<<

P,<P2-Pn

{x}?{x}2,..?{%}?

由系統的特征對應滿足的齊次線性方程組(振型方程)為：

(由-p2[M]){xH0}n[K]{x}=p2M阿}

對第i個特征時：陽{X'=P2M{X}，(1)

對第j個特征時：[KRX}/=P2M{x},(2)

用{x}[前乘(1),得：{X}L[K]{X}產p2{x}lM{x},(3)

T

用{X。前乘(2),得：{X}\[K]{x}j^p{x}i[M]{x}j(4)

因為M=、優卜[燈,因此⑶、(4)式中的二次型({Lr[L{L.)

均是個1x1矩陣(即為一個數)，其轉置就是其本身，即：

{X}八K]{X},=({X}/[K]{X}J={X}：[燈網={x}：[K]{x}j

TTT

{X}/[M]{X},=({x}J[M][x}i)={X},[M^{x}j={XV[M]{X}

利用上述2式，由(3)-(4)式得：

(p；-p》{x}：M{x}j=0(i*j=1,2…〃)(5)

因為無重根，即P/P,-2…〃)

故{X}：[M]{X}J=O,(iwj=l,2…“)(6)

這表明：各階振型是關于正交的

將(6)式代入(4)式中，有:{X}：[K]{X}J=O,(iwj=l,2…〃)(7)

這表明：各階振型矩陣是關于[K]正交的。

正交性的物理意義是：各階主振型關于囚]和[K]陣的加權正交性反

映各個不同的主振型之間既無慣性耦合又無彈性耦合。

(6)式反映了各主振型振動之間無慣性耦合；

(7)式反映了各主振型振動之間無彈性耦合；

例：設系統的第i階主振動位移為：{X(t)},.={X},sin(pj),速度為：

={%},p,cos(pj),加速度為：僅(理=-{%},p：sin(pj),系統的

慣性力為：{/'},=-［M］{其(f)}=［M］{X}‘p：sin(p/),第j階主振動的微位

移為：{dX}/={又}"={X}//CospM，則第i階慣性力{/},在第j階

位移{dX},上所做功為：

MX}：{7},.=|X}；M{X}‘pp「cosp/sinpj=0

―^0-

這說明：各主振型之間不存在慣性耦合。同理，由［K］的正交性可得

各主振型之間亦不存在彈性耦合。

將;M{X}J，；［K］{X}冷別視為第j階的廣義慣性力和廣義彈性力向

量(均差系數為1/2),則:

」{x}；M{x},=o,(i”-第j階廣義慣性力在第j階主振型上做功為零

2

g{x}1K］{x}j=0,(iHj)-第j階廣義彈性力在第j階主振型上做功為零

即：第j階廣義慣性力對于其他主振型不發生作用，即任何兩個主

振型之間不存在慣性耦合和彈性耦合，從而各階主振型的能量(動能、

勢能)彼此獨立，各主振型之間不發生能量的交換。

二、主質量、主剛度矩陣

用{X}：前乘(1)式，得：{X}：［K］{X},=p；{x}；M{x}j(8)

由于系統為正定的，即［〃］、［K］均為正定陣，則上式兩端均恒大于

0。

左端：{X}：[K]{X},=(￡￡M,X“X加)>0

Im

0

右端：{x}；[M]{Xt￡mh?XnxJ>

Im

定義如下:

{x}；［〃］{x},gA/,（i=l,2,…”）為系統的第i階主質量（廣義質量）

{x}；［K］{x}￡K,（i=l，2,…〃）為系統的第i階主剛度（廣義剛度）

將（9）、（10）代入（8）中，得:

r_Ki6=12…

八一麗麗廠加）(ID

即系統的第i階固有頻率的平方等于第i階主剛度與主質量之比。

若主剛度K,Tn

若主質量Tnp；J

這與單自由度系統固有頻率與剛度、質量之間的關系完全相同。

用振型矩陣用和其轉置陣［P『分別左乘和右乘［M］,則有:

T

IP][M}P]=[M][{%},{X}2-{X}n]

■{X}[[M]{X},{X}；M{X%…{X}[[M]{X}?

={X}[[M]{X},{X}^[M]{X}2…

(12)

_{X}：[M]{X},.........................{X}[M]{X}“

M.o-

由正交性(6)和定義式(9>"2.

一°M

=diag(加JJ，。=1,2…”)

主質量矩陣（廣義質量矩陣）

從數學角度看，上式即用振型矩陣［p］對［M］陣進行線性變換（正交

變換），使其變成對角陣，該對角陣即為主質量矩陣。

同理，利用振型矩陣關于剛度陣的正交性，可對［K］進行對角化，即：

［尸叫打尸］=」*}；陽［用{X%…{X},』

={X}；［K］{X}{X}；［K］{X}2…；

：；?.：（13）

_{X}：［K］{X}.....................{X}；［K］{X}“_

K。-

由正交性（7）和定義式（10）K?.

一。K“一

=diag（K）=［Kp］，*=12…〃）

主剛度矩陣（廣義剛度陣）

將系統的n個特征值排成n個對角陣（特征值矩陣）

o

M,

K?

M2

K?

M..

o

田0-

i

K

拓2

1[0KN_

o而二

M,］'IK^［K,］M71（又寸B車芯、五\彳聿）

即特征值矩陣等于主剛度矩陣與主質量矩陣的逆陣的乘積，故若可

求得系統的主剛度和主質量陣，可由此式求得系統的全部固有頻率。

三、正則（標準）振型矩陣

由于主振型{X},中的各分量僅反映了系統以第i階固有頻率振動時，

各質點振幅的相對比值的大小，故各分量均增大或減小若干倍時，并

不能改變各質點振幅的相對比值的大小，即若{X},.是系統的一個特征

向量，則a{x}j（awO）也是系統的一個特征向量。因此將{x},.做如下所

謂的正則化（標準化）處理：

令：—{X}IA{X},.（?=l,2---n）（15）

M=

其中，第i階正則化因子，取其值使得：

例=1,（，=1,2…〃）（16）

國-第i階正則振型

若使得{%}：［〃］{%},=l,（i=l,2…〃），將（15）代入（16）,則有：

—T屋}；M{夕}=-T〃；=1，（i=1,2…〃）

2

=冉=Mi,從中解得：M=±Jj^,（i=i2-〃），計算時取正值，

〃,=麻,（i=l,2…〃），即第i階正則化（標準化）因子等于第i個主

質量（廣義質量）的平方根。

將n個正則振型列陣按序排成矩陣，就組成了系統的正則振型矩陣，

稱：同=［用，聞…聞］為系統的正則振型矩陣。

同僅是將［P］中的各列分別進行了正則化處理的結果，而并不改變振

型關于以［M］和［K］陣為權的正交性，故有：

［PJ［M］［戶珈陣分塊.囚]版}{X}2-{%}?]

—UK

■Mx*

.[/wj—{X},-{X}2…—{%}?

4.

%

—{x}I

A

—^{X}：[M]{X}2

A,4N

—^{X}；[M]{X}.]

{X}：[M]{X}2

44.

1

{X}：[M]{X}2-Mxgh},

4,—

-FMi0(17)

A.

10

—M2

1

〃2=[/]

1

工Ma

01

]

0M

4：4

由（17）可知，用正則振型矩陣同對［M］陣進行線性變換得到的正

則質量矩陣為同階的單位矩陣。

同理，用同對［K］陣進行線性變換，則有:

聞-

-

口

4{X

-UK

山3

4{X}；[K]{X}二一{x}；[K]{xk...」一{x}：[K]{x}.

A,氏L"MK

-^-{X}；[K]{X}-L{x)n^]{x}2--^僑；網俗“

以從%"從

—^{x}：[K]{x}」一黑}：四團2…-1T{X}；[K]{X}“

以串\44

&0

M.(18)

K22

由正交性及/2=MjM億

22

JGp.

M.

o旦

由（18）式可見，用正則振型矩陣同對［K］陣進行線性變換得到的正

則剛度矩陣即為特征值矩陣［A］。

四、方程解耦（坐標變換）

設n個自由度系統的自由振動方程為:

［〃］便}+［K］{x}={0}（19）

由于［M］、［K］一般都是非對稱陣，故上式為n個既有慣性耦合又有

彈性耦合的聯立的二階線性微分方程組，直接求解是非常困難的。

由§2可知，若用一組坐標來描述系統的運動方程，是既無慣性耦

合又無彈性耦合的，即可使方程解耦。

對于任何振動問題，總存在著主坐標，有些且不止一組。問題的關

鍵是：如何尋求一組主坐標？而這可以通過坐標變換（線性變換）

來實現，即通過線性變換使得方程解耦。實行何種的線性變換？我

們由系統振型［P］關于［〃］和［K］的正交性得到啟發，可令線性變換的

關系式為:｛x（f）｝=［p］｛z（f）｝（20）

其中｛z（t）｝是系統的主坐標

將（20）代入到（19）,并前乘伊匚則有:

［P『［M］［P磔）｝+同因忸^⑴｝=｛0｝

利用振型矩陣以囚］和［K］為權的正交性，即（12）、（13）式，則得

去耦方程為：［肘次）｝+卜上0）｝=｛0｝（21）

M,

展開后，M。（21）

0

由于主質量矩陣同和主剛度矩陣間均為對角陣，因此方程（21）（以

主坐標憶⑴｝表示的系統運動方程）是一組彼此獨立的二階微分方程

組，既無慣性耦合，又無彈性耦合，（21）式的分量表達式為：

MZ,+KiZt=00=12????）（21-a）-單自由度系統自由振動方程

%+令2/0（1=12-〃）2

即：2+p,Zj=0（i=l，2…〃）

解方程（21）相當于解n個單自由度系統的自由振動方程，解憶⑺｝

易于求解，但是這些解是利用主坐標描述的系統的振動規律，主坐標

的解并不是系統在振動中的真實位移，而原物理坐標的每一分量才明

確代表一質點的運動。為了求得系統在原物理坐標下的運動卜⑺},只

需再次利用線性變換關系式（20）,當憶（川求得后，系統在原物理坐

標系下的運動即得:{x（r）}=[p]{z（z）}

為了理解線性變換（20）的意義，將其展開表為：

[{x},{x%…仰,,歸"=/網+與（洶2+...+&（妙}“=/，（網,⑵）

?/=1

可見系統在原物理坐標系下的任一時刻的位移{x（f?總是可以表示為

n個主振型的線性組合，而組合系數就是n個主坐標Z,（山=L2…〃），

它們分別表示對應的主振型在位移{3）}中所占有的比重，例如：

若Z,=l，其余全為零，則有：

{x}=o.{x}+o.{x}2+...i.{x}j+o.{x}”..+o.{x}“={x}j

即此時系統位移{X}就等于第i階主振型{X},之值

在線性變換式（20）中，若將振型矩陣取為系統的正則矩陣，即令

線性變換為：{￡/）}=同Z（f）}（20，）

代入系統方程（19）中，并前乘同，則有：

同M同之}+同的回憶}={0}

由（17）、（18）式，則有解耦方程為：團團+[A]{z}={0}（2r）

其分量表達式為：Z+p：Z,=0，G=l，2…〃）（21'-a）

（21，）式亦可由（21）式直接推得，即用何『前乘（21）,則：

方膽}+.礎z}={0}

即得：{2}+[ARZ}={O}

例(季文美《機械振動》P218)對于2自由度的復擺，參數見圖

求復擺自由振動的解耦方程

解：取廣義坐標為：(x,,X2)

(IX復擺的微幅自由振動方程為:

/°國+超3T卜“二°

丫IL-i1JU2Jloj

也(a)

(2)、求R,{%},.(i=l,2)

由特征