高中數學人教A版選擇性必修第一冊階段檢測試卷6

第I卷（選擇題）

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一、單選題

1.過點尸作拋物線C：/=2y的切線4，切點分別為N,若APA/N的重心坐

標為（1,1）,且。在拋物線上，則。的焦點坐標為（）

2.已知點尸為拋物線丁=叔的焦點，”（-1,0）,點N為拋物線上一動點，當船[最

小時，點N恰好在以M,尸為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的漸近線的斜率的平方為

（）

A.3+275B.2+2夜C.D.2而'

24

3.在平面直線坐標系中，定義"（A,8）=0^{%-司,卜，1-必|}為兩點

A&,yj、B&,%）的“切比雪夫距離”，乂設點P及/上任意一點Q,稱。（尸，Q）的最

小值為點P到直線/的“切比雪夫距離"記作"（尸，/），給出下列四個命題：（）

①對任意三點A、B、C,都有d（C,A）+d（GB）Nd（A,B）：

4

②已知點P（3,l）和直線上2x-y-l=0,則d（P,/）=/

③到原點的“切比雪夫距離'’等于1的點的軌跡是正方形；

④定點耳（-c,0）、瑪（c,0）,幼點P（x,y）滿足W（F，K）-d（H5）卜2a（2c>2心0）,則

點P的軌跡與直線y=k[k為常數）有且僅有2個公共點.

其中真命題的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

4.已知點A是拋物線/=4〉，的對稱軸與準線的交點，點尸為拋物線的焦點，點。在拋

物線上且滿足|削=〃”尸目，若切取最大值時，點產恰好在以A尸為焦點的雙曲線上，

則雙曲線的離心率為

A.6+1B.五+1C.四D.克巴

22

2

5.已知點A是橢圓工+曠=1的上頂點，耳鳥分別是橢圓左右焦點，直線

2

，=雙+"”>0）將三角形分割為面積相等兩部分，則6的取值范圍是（）

A.（0,1）B.[1一冬目

。&11口-

I23」[32）

6.如圖，在圓錐SO中，A,8是O。上的動點，89是O。的直徑，M,N是S3的

兩個三等分點，NAO8=，（0"v乃），記二面角N-QA-8,M—4y-8的平面角分

別為。，P,若a<夕，則。的最大值是（）

二、多選題

7.已知雙曲線C：'夕=1（">0/>0）與橢圓]+:=1有公共焦點，C的左、右焦

點分別為E，尸2,且經過點?。ê?,則下列說法正確的是（）

A.雙曲線C的標準方程為/-y2=[

B.若直線y=/U與雙曲線c無交點，則囚>1

C.設4（&』），過點見0,1）的動直線與雙曲線C交于尸，。兩點（異于點A）,若直線

心與直線AQ的斜率存在，且分別記為匕，J則勺+匕=Q

D.若動直線/與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M,

N,則“MN（。為坐標原點）的面積為定值1

8.在棱長為1的正方體ABC。-A4GA中，尸為側面8CG旦（不含邊界）內的動點，

。為線段4。上的動點，若直線4尸與A片的夾角為45。，則下列說法正確的是（）

試卷第2頁，共6頁

A.線段AP的長度為近

B.*AQ+PQ的最小值為i

C.對任意點尸，總存在點Q,便得01Q_LCP

D.存在點P,使得直線AP與平面4OAA所成的角為60。

第II卷(非選擇題)

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三、填空題

9.已知點P(2,0)和圓0：/+丁=36上兩個不同的點M,N,滿足/MAW=90。，。是

弦MN的中點，

給出下列四個結論：

①IMP|的最小值是4；

②點。的軌跡是一個圓；

③若點A(5,3),點8(5,5),則存在點Q,使得ZAQB=90。；

@AMPN面積的最大值是18+2/萬.

其中所有正確結論的序號是.

10.參加數學興趣小組的小何同學在打籃球時，發現當籃球放在地面上時，籃球的斜上

方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數學課堂上學過的橢圓，但他

自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想

是沒有問題的，而且通過學習，他還確定地面和籃球的接觸點(切點)就是影子橢圓的

焦點.他在家里做了個探究實驗：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為1個單

位長度，在球的右上方有一個燈泡產(當成質點)，燈泡與桌面的距離為4個單位長度，

燈泡垂直照射在平面的點為A,影子橢圓的右頂點到A點的距離為3個單位長度，則這

個影子橢圓的離心率e=.

11.拋物線/=除與雙曲線上一點=工的有共同的焦點，制,兩曲線在第一象

限的交點為斜(/“舞)，且導到焦點■的距離為5,則雙曲線的離心率公=.

12.已知圓P:(x—5『+(y-2)2=2,直線/:y=如，點M(5,2+VI),點A(s』).給出下

列4個結論：

①當。=0時，直線/與圓尸相離；

2

②若直線/是圓P的一條對稱軸，則，=(;

③若直線/上存在點A,圓尸上存在點N,使得NM4N=90。，則"的最大值為不；

④N為圓尸上的一動點，若NMW=90。，則f的最大值為+K

4

其中所有正確結論的序號是.

四、解答題

13.平面直角坐標系直為中，0為坐標原點，拋物線。：^=2〃彳5>0)的焦點為尸，

點W在拋物線C上，且|/卬|=2|。*,|0卬|=6.「關于原點的對稱點為尸'，圓尸的半

徑等于4，以Z為圓心的動圓過/且與圓〃相切.

(1)求動點Z的軌跡曲線￡的標準方程；

(2)四邊形A5CD內接于曲線E,點A8分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，設直線

4(7,8。的斜率分別是4￡,且伏=；.

(i)記直線4c,8。的交點為G,證明：點G在定直線上；

(ii)證明：AB//CD.

14.如圖，在直角AABC中，A=],角A,B,C所對的邊長分別為。，b,c.

AC邊的中線BO所在直線方程為x+7y+2=0；45邊的中線CE所在直線方程為

13x+16y+1=0.

試卷第4頁，共6頁

y

(1)若A點坐標為(1,Y),求“3C外接圓的方程;

(2)若a=10君,求的面積S.

15.己知橢圓?+/1,過動點M(0,〃z)(m>0)的直線/交工軸于點N,交橢圓于點A,

尸(點尸在第一象限)，且M是線段PN的中點，過點尸作x軸的垂線交橢圓于另一點Q,

延長。歷交橢圓于點8.點丁瓜號在橢圓上.

(1)求橢圓的焦距；

k’

(2)設直線PM的斜率為A，直線QM的斜率為A，證明：7為定值；

k

(3)求直線A8傾斜角的最小值.

16.已知拋物線C：y2=2〃x(p>0)的焦點為尸，過點尸的直線，交拋物線C于A,B兩

點，當/_Lx軸時，|4q=2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線/交y軸于點。，過點。且垂直于)，軸的直線交拋物線。于點P,直線PF

交拋物線C于另一點Q.

①是否存在定點M,使得四邊形AQBM為平行四邊形？若存在，求出定點M的坐標；

若不存在，請說明理由.

②求證：S&QAF,S4QBF為定值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案

1.A

【分析】

由已知設切點坐標為羨)，"卜苧)利用導數寫出切線4,,的方程，聯立求出交

點尸坐標X=土產，y=竽，代入重心坐標公式利用已知條件可求出產的坐標為(LT),

再代入拋物線。：丁2=〃a方程，求出機，進而求o的焦點坐標.

【詳解】

設切點坐標為MX,i,N,

<2)\2)

2

由f一2y,得),=5,所以V=1，

故直線乙的方程為y-￡=K(XTj,即5=中-1~，

同理直線12的方程為y=x2x-^,

聯立4,4的方程可得“=土產，丁=竽，

X

r1rI.+8I2.

設AMW的重心坐標為(/,%),則丫_122_1，、，_2,22_1，

%=5=,%=3=]

X+x,=2[x=2/、

即22_人所以:，則尸的坐標為(LT)，

將月點坐標代入拋物線力：/=〃吟得到(T)2=z"xl,解得加=1,

故O的焦點坐標為(go).

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了直線與拋物線的相切問題，三角形重心的坐標公式以及拋物線的性質，考查

了推理能力與計算能力，屬于難題.

2.B

【分析】

作出圖形，可知與拋物線相切時，踹取得最小值，求出點N的坐標，利用雙曲線定

答案第1頁，共24頁

義求出2m結合c=l,可求得工，再利用《-1求得結果.

aa~\a)

【詳解】

由拋物線的對稱性，設N為拋物線第??象限內點，如圖所示：

故點N作NB垂直于拋物線的準線于點&由拋物線的定義知IN尸|二|NB|,易知N8//X軸,

可得ZNMF=NBNM

\NB\

J一J一L=cosNBNM=cosZNMF

|W|\NM\

當NNM廠取得最大值時，踹取得最小值，此時NM與拋物線V=4x相切，

設直線NM方程為：y=k(x+\),

聯立八，整理得標丁+(2公一4卜十二=0,

)，二火(3+1)'

其中△=-16父+16=0,解得：4=±1,由N為拋物線第一象限內點，則攵=1

2

貝ijx+(2-4)%+1=0,解得：x=\,此時丁=4,卬y=2或〉，=一2

所以點N的坐標且N(l,2)

由題意知，雙曲線的左焦點為"(T,0),右焦點為F(LO)

設雙曲線的實軸長為2m則2a=||NM|—|N尸||=2血一2,.”=近7,

又c=l則￡==x/2+l

a

故漸近線斜率的平方為「=4^=仔)-1=(應+1)2-1=2+2應

故選：B

【點睛】

答案第2頁，共24頁

方法點睛：本題考查求雙曲線的漸近線斜率，方法如下：

①直接求出從而求出2；②構造出〃的齊次式，求出2；③采用漸近線的定義以及圓

aa

錐曲線的定義來求解；④根據圓錐曲線的統一定義求解.

3.A

【分析】

①討論4,8,C三點共線，以及不共線的情況，結合圖象和新定義，即可判斷；

②設點Q是直線y=2x—l上一點，且Qx,2x-1),可得d(P，O)=/Mx{|x-3|,|2-2x|},討論

Ix-3|,|2-2洲的大小,可得距離d,再由函數的性質，可得最小值；

③運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；

④討論尸在坐標軸上和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷.

【詳解】

解：①對任意三點A、B、C,若它們共線，設4%,%)、B(x2fy2)t

C(&，H)，如右圖，結合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),或A8)

為AN,CM,AK,或CN,BM,BK,則d(C,A)+d(C,B)=d(A,B)；

若B,C或A,C對調，可得d(C,A)+J(C,3)>d(A,B).

若A，B,。不共線，且三角形中C為銳角或鈍角，由矩形CMVK或矩形BMVK,

d(CtA)+d(CfB)；

則對任意的三點A,B,C,都有d(C,A)+d(C,8)..d(A,B).故①正確；

設點。是直線y=2x—l上一點，且。(兒標-1),

可得d(HO=/nax{|x-3|,|2-2,r|),

答案第3頁，共24頁

由|4-3|…|2-2幻，解得-1瓢即有或P.。)#-3|,

當X5時，取得最小值(4；

由IX—3142—2x1,解得x>|或X<T,即有d(P?=2x—2|,

44

"(P，Q)的范圍是(3,+oo)U(§,+oo)=(-,+QO).無最值，

綜上可得，P,。兩點的“切比雪夫距離”的最小值為;.

故②正確；

③由題意，到原點的“切比雪夫距離”等于1的點設為(xy),則〃的{凡3}=1，

若1訓.」川,Mlyhi；若3V」I,則1*1=1,故所求軌跡是正方形,則③正確:

④定點式(-c,0)、乃9,0),動點P(x,y)

滿足|d(P，FJ-d(P,F2)\=2a(2c>2a>O)t

可得尸不了軸上，尸在線段斗鳥叵成立，

可得x+c_(c7)=2a,解得x=a,

由對稱性可得'=-堞也成立，即有兩點產滿足條件；

若尸在第一象限內，滿足MP,G-d(P，5)l=2a,

即為x+c-y=2a,為射線，

由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線,

則點尸的軌跡與直線)=&(攵為常數)有且僅有2個公共點.

故④正確；

綜上可得，真命題的個數為4個，

故選:A.

答案第4頁，共24頁

【點睛】

本題考查新定義的理解和運用，考查數形結合思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難

題.

4.B

【詳解】

過P作準線的垂線，垂足為N,則由拋物線的定義可得|PN|二|PB|,

1\PN\

V|PA|=m|PB|,J|PA|二m|PN|:.-=,

in|PA\

設PA的傾斜角為。，則sina='，

m

當m取得最大值時，sina最小，此時直線PA與拋物線相切，

設直線PA的方程為y=kx-1,代入x?=4y,可得x?=4(kx-1),x2-4kx+4=0,

.,.△=16k2-16=0,Ak=±l,AP(2,1),

2

???雙曲線的實軸長為PA-PB=2(V2-1),???雙曲線的離心率為弓正_])=夜+1

故選B.

點睛：本題的關鍵是探究m的最大值，先利用拋物線的定義轉化|刑=〃伊用得到

答案第5頁，共24頁

—=T^7T=sina,m取得最大值時，sina最小，此時直線PA與拋物線相切，得到△=0,

得到k的值.轉化是高中數學很重要的一個數學思想，在解題過程中要注意靈活運用.

5.B

【分析】

由題意，A(0,l),￡(-1,0),6(1,0),先求出直線尸妝+從々>0)與工軸的交點為“,，0}

由-2<o,可得點M在射線。片上.再求出直線y=ar+b(a>0)和A居的交點N的坐標,

a

分三種情況討論：①若點M和點E重合，求得b=；；②若點”在點。和點耳之間，求得

③若點M在點片的左則，求得1—立</,<!?.求并集即可得力的取值范圍.

3223

【詳解】

解：因為點A是橢圓］+丁=1的上頂點，0尸2分別是橢圓左右焦點，

所以02=2，從=1,從而有/==1,

所以A(0,l),￡(T0),瑪(LO),

由題意，三角形A匕尸2的面積為:?月6.04=1,

設直線產”+。(a>0)與x軸的交點為加'3,。)，由直線y=or+b(cr>0)將三角形至人

分割為面積相等的兩部分，可得6>0,所以-gcO,故點M在射線上.

1藍可得點N的坐標為l-ba+b

設直線y=or+力和"2的交點為N,則由

a+1'a+1

①若點M和點"重合，如圖:

答案第6頁，共24頁

把1、N兩點的坐標代入直線y=ar+b,求得a=b=g.

②若點M在點0和點-之間，如圖：

此時點N在點尸2和點A之間，

由題意可得三角形NMF】的面積等于;，即2."鳥.％=：,

即1x[l+2]?巴號=1,可得4=—>0,求得b<；,

2\a)a+\2l-2b2

故有:vb<g.

③若點M在點耳的左側，

則人<:，由點M的橫坐標-2<-i,求得〃〉公

3a

y=ax+b(1-ba-b

設直線y=ax+b和AF的交點為P.則由，求得點P的坐標為

｝y=x+l\a-la-I

此時，由題意可得，三角形APN的面積等于s即ga-3扁-小i=g,

即g(l-b)：怖一W=：,化簡可得2(1-bp=|a2-1|.

由于此時g>b>a>0,所以2(1-32=,2一"=]_〃2

兩邊開方可得應(l-b)=jr^<l,所以1-方〈喪化簡可得b>l-立,

2

故有1--</><-.

23

答案第7頁，共24頁

綜上，人的取值范圍應是（1-4，.

V.7

故選：B.

【點睹】

關鍵點點睛：本題的解題關鍵是，由題意分析得直線y=or+A（。＞0）與x軸的交點M在射

線。后上，然后分三種情況進行討淪:①若點M和點「重合;②若點M在點0和點耳之間；

③若點M在點耳的左側.

6.B

【分析】

設底面圓的半徑為，"OS=a,以夕8所在直線為x軸，以垂直于夕8所在直線為軸，以QS所

在直線為z軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標.利用法向量求得二面角N-Q4-3與

M-A9-8夾角的余弦值.結合。三尸即可求得。的取值范圍，即可得6的最大值.

【詳解】

設底面圓的半徑為JOS=〃,以￡8所在直線為x軸，以垂直于所在直線為了軸，以0s所

在直線為z軸建立空間直角坐標系,如下圖所示：

則由乙408=。（0〈。〈萬）

可得。（0,0,0）,B（r,0,0）,S（0,0M）,A（rcose,rsine0）,81-r,0,0）

M,N是SB的兩個三等分點

所以次二(rcose,rsine,0),兩二|一,0:

、33

答案第8頁，共24頁

設平面NOA的法向量為加=(x，y,zj

叱：兩—品八代入可得卜"唁cos,0。,,撲rsin。,0)=0

Xj/-cos6+yrsin。=0

化簡可得

2色=o

33

cos02r

令玉=1,解得M=—------,Zi=

sin。------a

cos<92r\

所以I,

sin。

平面。4B的法向量為■二(0,0,1)

由圖可知，二面角N-O4-B的平面角。為銳二面角，所以二面角N-O4-8的平面角。滿

足

設二面角M—A2—3的法向量為1=(X2，y2，Z2)

B'A=(r+rcos0,rsin0,0),AM=1—~rcos0,-rsin0,—

(x2,y2,z2)-(r+rcos6,rsin6,0)=0

則h麗=0代入可得

⑸為，々〉0

A^/,+x>rcos^+y2rsin^=0

化簡可得，xr2az,

—2——xrcos6*-yrsma+-----=0

3223

人iAnzH-l_cos?2r

令占=?，解得九二——^—>z2=-----

sin"a

口-I、IZ八T-cos。2八

所以&=1，-r-7—?-----

\sinaa)

平面AB'B的法向量為萬=(0,0,1)

由圖可知，二面角M-A8-3的正面角￡為銳二面角，所以二面角M-A8-3的平面角￡

滿足

答案第9頁，共24頁

由二面角的范圍可知0?a4工

結合余弦函數的圖像與性質可知8saNcos/

所以。＜”§

所以。的最大值是1

故選:B

【點睛】

本題考杳了空間直角坐標系在求二面角中的綜合應用，根據題意建立合適的空間直角坐標系,

求得平面的法向量，即可求解.本題含參數較多,化簡較為復雜，屬于難題.

7.ACD

【分析】

對A,根據橢圓與雙曲線共焦點及雙曲線過點下建立方程組解出內兒進而得到答案；

對B,結合雙曲線的漸近線即可判斷B：

對C,設出動直線方程并代入雙曲線方程，進而結合根與系數的關系求得答案；

對D,考慮動直線斜率存在和不存在兩種情況，若斜率存在，設出直線的斜截式

），="+“（加工0）,并代入雙曲線方程，根據判別式為0得到太小間的關系，然后解出點M

的坐標，求出|MN|和。到直線的距離，最后求出面積.

【詳解】

5,

對于A選項，由題意02+從=4-2=2,且a_W=|，聯立解得。=〃=1，所以雙曲線C的

標準方程為f-y2=[,故A正確；

答案第10頁，共24頁

對于B選項，因為雙曲線C的漸近線方程為），=枚，所以直線y=〃與雙曲線。無交點，則

UI>1,故B錯誤;

對于C選項，過點8的動直線斜率存在且不為0,故設該動直線為尸戊+1。00）.設P（x,,y）,

。仇,必），聯立『一廠”得（J/*1-『工（），

—21—2=0,所以解得/<2且

△=4/2+8（l-r2）>0,

2t-2

『工1且20,%+/=--,XyX=--7,則

I—，21-t

-4t262

tx+tx_2為再一"（百+一）_

y.-it21一廠1一1

—

%-夜y/o,X2~x/2x^2~x/2+x2）+2—22+2

1一〃\-t

-4t-2y/2t2

=x/2,故C正確;

-2y/2t-2t2

對于選項D,由于動直線/與雙曲線。恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交

于點N,當直線/的斜率不存在時，/：x=±l,|MN|=2,SA^=lxlx2=l；當動

直線/的斜率存在時，且斜率女工±1時，不妨設直線八'=依+〃?（m=0）,故由

｛：二；二=（-2及一2〃心-/7.0,從而△=（一2〃次）2-4（1—A2）（T?2_]）=O,

化簡

2\m\\lk2+\

=-1-.1,,,又因為原點。到直線/：依-y+〃?=0的距離d=*=,所以

//ylk2+\

S.OMY=萬|"時"=仁國，又由爐=〃+],所以=不不|=1,故AOMN的面積為定

值1,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題的選項D比較狂雜，對于此類問題要注意兩個方面：①設直線方程（斜截式結構簡單）

答案第II頁，共24頁

時一定要考慮直線的斜率是否存在；②思路一定要直接，既然求三角形的面積，那么最直接

的方法就是求出三角形的底和高.

8.ABC

【分析】

對選項A,直接通過建立空間直角坐標系，表示出線段AP,即可求得;

對選項B,轉化*A。為是關鍵，然后通過坐標表示出。尸-0我+1即可求得

+的最小值為1；

對選項c,通過A。，“關系建立方程，結合點尸的坐標滿足a-i）'+（z「i）2=i,得到關

-^■+1z；+92

于馬的一元二次方程lu-n-J1T—^-24+1=0,再通過判別式即可判斷出對任

IMF

意點產，總存在點。，便得RQ_LCP；

對選項D，通過先求平面A。。A的法向量，然后根據直線AP與平面4。"A所成的角為60。

,故選項D錯誤.

建立如上圖所示的空間直角坐標系。-個z,根據題意，可得：。（0,0,0）,A（l,0,0）,

c(o,i,o),A(0,0,1),a。，。/)，4(LLi)，G(oji)

設點P（x/zJ,Q（孫%Z2），莊直線A?與的夾角為45,則有:

而=麗=(0,1,0)

答案第12頁，共24頁

7V

故有:cos—=

4I麗同I

解得：6-1)2+(z「1)2=1

Q為線段AC上的動點，則有.：4。=%而(0W2W1)

解得：。(1一4,41-2)

對選項A,則有：|平卜JaT)?+(z「l)2+l=0,故選項A正確；

對選項B,過點。作平面A8CQ的垂線，垂足為R

易知：與QA、="QR(由于sin/AGA,=第=*)

故坐4。十為2的最小值等價于求QPQR+1

研=T

22

[Q4=^(1-A-X1)+(A-1)*+(l-A-z1)

222222

故有：|^|=(1-2-^)+(2-1)+(1-2-21)>(2-1)=|^|

當且僅當N=4=l-2時成立，結合(x「l)2+(z「l)2=l,可得此時/=#

故選項B正確；

對選項C,若RQ_LCP,則有：而=。-44々)，方=(5,0,zJ

麗衣=內(1-；1)-4/1=0,又(&_1)2+包_1)2=]

點。，便得AQ_LCP,故選項C正確:

對選項D,易知平面AQRA的法向量為7=(0,1,0),若直線AP與平面4。。必所成的角為

答案第13頁，共24頁

A

60°,即直線AP與平面ADRA的法向量成即，則有:

lAPIkl

解得：更=」=,矛盾，故選項D錯誤.

241

故選：ABC

【點睛】

解決立體幾何問題通常有兩種方法：

是建立空間直角坐標系，運用空間向量的運算與性質解決立體幾何的問題，將問題轉化為代

數運算，解題時應結合已知和所求觀察圖形，聯想相關的運算法則和公式等，就近表示所需

向量；

二是通過傳統的幾何方法，需要較高的空間想象力.

9.①②④

【分析】

①可以通過設出圓的參數方程，進行求解；②設出（x,y）,找到等量美系，建立方程，求出

點。的軌跡方程，即可說明；③轉化為兩圓是否有交點，說明是否存在點Q；④當PM,PN

斜率分別為1和-1時，且點P,朋在y軸左側，此時面積最大，求出最大值.

【詳解】

點M在圓O：'+y2=36上,設“（6cos?,6sine）,則

|MP\=J（6cos?-2）2+（6sine）2=J40-24cos。,當cos。=1時，IA/PI取得最小值，最小值

為4,①正確；

設點。（x,y）,則由題意得：PQ2=QM2=OM2-OQ2,則（工一2）2+），2=36—任+/），整

理得：（x-l）2+丁=17,所以點。的軌跡是一個圓，②正確；

為以AB為直徑的圓，圓心為（5,4）,半徑為1,方程為：（“—5）2+（丁-4）2=1,下面判斷此

圓與點。的軌跡方程"-1）2+丁=17是否有交點，由于J（5-1），+42=4&>如+1,兩圓

相離，故不存在點。，使得443=90。，③錯誤；

當尸M,PN斜率分別為1和/時，且點p,M在y軸左側，此時△MPN為等腰直角三角形，

2

面積最大，此時尸Q=QM=QN=1+J17,（5mv）max=1x2x（l+Vi7）=18+2>/i7,④正

答案第14頁，共24頁

確.

故答案為：①②④

【點睛】

軌跡方程問題，i般處理思路，直接法，定義法，相關點法以及交軌法，要能結合題目特征

選擇合適的方法進行求解.

【分析】

建立平面直角坐標系，解得圖中必。的橫坐標，列方程組即可求得橢圓的。、C,進而求

得橢圓的離心率.

【詳解】

4

以A為原點建立平面直角坐標系，則P(0,4),直線PR的方程為,二1］十4

7,

由M到直線PR的距離為1,得解之得〃=-］或〃=T（舍）

77

則M（-牙1）,6（--,0）

又設直線PN的方程為y=去+4

4+4-145

由M到直線PN的距離為1,得2整理得「公-2k+8=0

則攵#2=；|，又L=g，故**

Q1C

則直線PN的方程為y=^x+4,N（-學0）

^NQ=-—+-=4=a+c,RQ=-3+—=—=a-c

2222

答案第15頁，共24頁

a+c=4a=——

由1，解得:，故橢圓的離心率6=￡=等）

a-c——9c=-7a-"9

iI44

故答案為：三

【點睛】

數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、

生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形

結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

11.2

【詳解】

試題分析：拋物線面忸醞陽=%+勺/+2=5,「.%=3,「.%2=24,

_9__24=1

??{/h2~672=1,

a2+h2=4

力2=3,/.e=￡=2.

a

考點：1.拋物線與雙曲線的位置關系；2.雙曲線離心率.

【思路點晴】拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，注意轉化思想的運用.利用拋物線

定義可以解決距離的最大和最小問題，該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關.實現由

點到點的距離與點到直線的距離的轉化.（1）將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦

點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解.（2）將拋物線上的點到焦點的距離

轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短''原理解決.

12.???

【分析】

對于①：a=0,/：y=0,圓心（5,2）,半徑直線/與圓P相離；對于②：若直線/圓P

的一條對稱軸，則直線過圓的圓心，即可得到；對于③：由垂徑定理，NMQP=90。,設

=a.得到2NR4N2,但兩處等號無法同時取到，矛盾；對于④：N為圓。上的一個

動點.若NM4N=90。，設。（N，No），42MP=a,利用參數方程解決即可.

【詳解】

對于①：當。=0時，直線/：y=0,圓心（5,2）,半徑0,直線/與圓P相離，故表述①正

答案第16頁，共24頁

確;

0.09

對于②：若直線/圓尸的一條對稱軸，則直線過圓的圓心，故"=曰=彳，故表述②正確:

5—05

本題的難點主要聚焦于③、④，如圖所示:

設MN的中點為Q,以MN為直徑作圓Q,連接P0QAPAPM.則

/M4N=90。=A在圓。上=QA=QM

對于③：由垂徑定理，NMQP=90。，設NQMP=a.

一方面，若ZM4/V=90。，則尸A4PQ+Q4=PQ+QM=V5sina+&cosaW2.

當且僅當a=45。，且P,Q,A三點共線時，等號成立，此時直線R4的斜率為T.

另一方面，當。=王■時，直線/:20x—21y=0.

|20x5-21x2|

故點尸到直線/的距離4==2.此日寸E4N〃=2.

72024-212

當且僅當A為點P在直線/上的射影時等號成立，此時直線PA的斜率為-三.

對比發現，2NQ4N2,但兩處等號無法同時取到，矛盾.故表述③錯誤.

對于④：N為圓尸上的一個動點.若NM4N=90。，設Q（%,%）,NQMP二a,

則rW%+04=jo+V^cosa.

注意到%=2+PQsina=2+J5sii?a,

cosa-^8+5垃<8+5虛

itez<2+V2sin2a+\/2cos<z=-A/2j?

44

當且僅當a=60。且點A在點。正上方時，等號成立.故表述④正確.

故答案為：①②④.

答案第17頁，共24頁

【點睛】

木題考查直線與圓的位置關系變形，以及圓更深層次的定義，難度較大，能夠正確畫出示意

圖是解決問題的關鍵.

22

13.(1)—+^-=1:(2)⑴證明見解析；(ii)證明見解析.

43

【分析】

(1)由拋物線定義表示出I尸卬1,即可求出點卬的坐標，由此求出。的值，進而求出拋物線

的方程，然后求出點尸，尸的坐標，利用橢圓的定義即可求出動點Z的軌跡方程；(2)(i)

設出點G的坐標，然后分別設出直線AC,的方程，求出左，質的關系式，利用已知

建立等式關系，再由48co為四邊形，即可證明；(ii)求出A,8的坐標，即可求出直線A8

的斜率，設出直線C。的方程，并與橢圓方程聯立，利用韋達定理以及斜率公式表示出占&，

并令該關系式等于二，化簡求出直線8的斜率，由此即可證明.

【詳解】

解：(1)由題知：|尸卬|=^+%=〃，所以%=],%=〃，

所以|OW|=￥〃=75,解得〃=2,

所以拋物線O的標準方程為丁=4x,F(1,O),

設動圓Z的半徑為「，由題意知,產|二乙|ZF|二4-乙

所以|ZF|+|ZF[=4>|"1=2,

所以Z點的軌跡是以尸，尸為焦點的橢圓，其長軸長2。=4,焦距為2c=2,6=7?二

所以曲線E的標準方程為：《+￡=1.

43

(2)(i)設點G(x,y),因為y=&(x-2),所以仁二-2二，

x-2

因為y=&r+V5,所以右二2二回，

x

因為女的=]，所以—?上二叵=3，整理得(2)，一任)(2)，+逐一2、回)=0，

4x-2x4

因為A8CO為四邊形，所以2y+、取一2百工0,

所以點G在定直線JIr-2〉=0上；

答案第18頁，共24頁

（ii）由題知A（2,0）,6（0,1）,直線A8:.y=-^x+6,

設。（內,y）,0（/，必），直線8：）'=履+加，

將y="+/〃代入匕+2_=1得(3+4/+8^nx+4/n2-12=0,

43

g、i4"『-12

所以內+“一二記

22

y二月一6%以一也必kx1x2+5(N+x2)+m-5/5(3+ni)

所以堆2=

%1-2馬（石一2）X2xix2-2X2

,2/4〃h一12、./8km、2R/8km、R

k(――—j-)+bn(--——y)+/n—y/3k(--——J-X)-5/3/M

3+4-3+4-3+4—2______

4m2-12△

-------2x,

3+4公2

期3」/-12&2+46>2加-3石〃2十月(3&+4F)蒼_3

4〃?2-12-2(3+4爐)."4

所以(16VJX+24公+]2辰+18)&+4>/5M4公一3)+36-48公=0,

146鬲屈('4+入24^3)++1326顯.4八+18=。0‘解得』G當

所以

所以45//CQ.

（2）100

【分析】

（1）設點5坐標為（一7%-2,%）,則E坐標為（三歲，當代入13x+16y+l=0可得點

〃的坐標，同理可得點C的坐標，求出BC的中點坐標即為外接圓圓心，計算「=；忸。|,即

可得外接圓的方程；

22

（2）利用重心的性質得到86=38。，CG=-CEtS_8c=3Sg「用平面向量的數量積

得到：BG.CG=-^t用到角公式求出lan/BGC=-，進而得到sin/BGC=F