3.4.2基本不等式的應(yīng)用一、基礎(chǔ)過關(guān)1．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，則lgxlgy的最大值是________．2．已知點(diǎn)P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點(diǎn)的直線上，則2x＋4y的最小值為________．3．設(shè)x>－1，則函數(shù)y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值是________．4．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是________．5．若xy是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是________．6．若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．7．設(shè)0<x<2，求函數(shù)y＝eq\r(3x8－3x)的最大值．8．某種生產(chǎn)設(shè)備購買時(shí)費(fèi)用為10萬元，每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)各年為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年遞增，問這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報(bào)廢最合算(即使用多少年的年平均費(fèi)用最少)?二、能力提升9．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且滿足x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值為________．10．設(shè)a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么下列說法正確的有________．①a＋b有最小值2(eq\r(2)＋1)；②a＋b有最大值2(eq\r(2)＋1)；③ab有最大值3＋2eq\r(2)；④ab有最小值3＋2eq\r(2).11．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為________．12．設(shè)x，y都是正數(shù)，且eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝3，求2x＋y的最小值．三、探究與拓展13．如圖所示，動(dòng)物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24m2答案1．42.4eq\r(2)3.94.eq\f(9,2)5.46.187．解∵0<x<2，∴0<3x<6,8－3x>2>0，∴y＝eq\r(3x8－3x)≤eq\f(3x＋8－3x,2)＝eq\f(8,2)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝8－3x，即x＝eq\f(4,3)時(shí)，取等號(hào)．∴當(dāng)x＝eq\f(4,3)時(shí)，y＝eq\r(3x8－3x)有最大值4.8．解設(shè)使用x年的年平均費(fèi)用為y萬元．由已知，得y＝eq\f(10＋0.9x＋\f(0.2x2＋0.2x,2),x)，即y＝1＋eq\f(10,x)＋eq\f(x,10)(x∈N*)．由基本不等式知y≥1＋2eq\r(\f(10,x)·\f(x,10))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(10,x)＝eq\f(x,10)，即x＝10時(shí)取等號(hào)．因此使用10年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用為3萬元．9．310.①④11.812．解∵eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝3，∴eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝1.∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\f(y,x)·\f(4x,y))))＝eq\f(8,3).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(4x,y)，即y＝2x時(shí)，取“＝”．又∵eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝3，∴x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(4,3).∴2x＋y的最小值為eq\f(8,3).13．解(1)設(shè)每間虎籠長xm，寬為ym，則由條件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy.方法一由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，∴2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3.))故每間虎籠長為4.5m，寬為3m時(shí)，可使面積最大．方法二由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f(3,2)y.∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(3,2)y))y＝eq\f(3,2)(6－y)·y.∵0<y<6，∴6－y>0，∴S≤eq\f(3,2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6－y＋y,2)))2＝eq\f(27,2).當(dāng)且僅當(dāng)6－y＝y(tǒng)，即y＝3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x＝4.5.(2)由條件知S＝xy＝24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l，則l＝4x＋6y.方法一∵2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，∴l(xiāng)＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.))故每間虎籠長6m，寬4m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長最小．方法二由xy＝24，得x＝eq\f(24,y).∴l(xiāng)＝4x＋6y＝eq\f(96,