第一章函數極限與連續第五節函數的連續性第五節函數的連續性一.連續函數的概念1連續函數的概念

在現實生活中有許多量都是連續變化的,例如氣溫的變化,植物的生長,物體運動的路程，金屬絲加熱時長度的變化等等.這些現象反映在數學上就是函數的連續性.它是與函數的極限密切相關的另一個基本概念.1.增量定義1

設變量從它的初值變到終值,則終值與初值之差就叫做變量的增量,又叫做的改變量,記作.對于函數,當自變量從變到（自變量的改變為）時,函數有相應的改變量，記作，即.其幾何意義如圖11.

2、點連續如圖定義2設函數在點的某個鄰域內有定義，如果當自變量在點的改變量趨于零時，函數相應的改變量也趨于零,即則稱函數在點處連續.由定義2可以得出下面的結論:⑴若函數在點處連續,則在點處的極限一定存在;反之,在點處的極限存在,則函數在點處不一定連續.⑵若函數在點處連續,要求時函數的極限,只需求函數在點處的函數值即可.⑶當函數在點處連續時,有這個等式意味著在函數連續的前提下,極限符號與函數符號可以互相交換.這一結論給我們求極限帶來了很大的方便.例2求例3求3、左連續、右連續若函數

y=f(x)在點

x0

處有：則分別稱函數

y=f(x)在

x0

處是左連續或右連續.由此可知，函數

y=f(x)在x0處連續的充要條件可表示為：即函數在某點連續的充要條件為函數在該點處左、右連續．則稱該函數在開區間

(a,b)

內連續.

若函數

y=f(x)在開區間（a,b)

內的各點處均連續，若函數

y=f(x)在閉區間

[a,b]

上連續，則理解為除在

(a,b)

內連續外，在左端點

a為右連續，在右端點

b為左連續.4、函數在區間上連續連續函數的圖形是一條連續不間斷的曲線.

1.5.2初等函數的連續性定理1

初等函數在其定義區間內都是連續的.根據這條定理，我們在求初等函數在其定義區間內某點的極限時，只需求初等函數在該點的函數值即可.例4求下列極限：解

（1）因為是初等函數，其定義域為[]，而[]，所以注：1、定義區間是指包含在定義域內的區間.2.初等函數僅在其定義區間內連續,在其定義域內不一定連續;

3.初等函數求極限的方法——代入法.（2）因為是初等函數，其定義域為而所以

1.5.3函數間斷點

定義3

設函數

y=f(x)在

x0的一個鄰域有定義(在

x0可以沒有定義)，

則稱

x0是函數

y=f(x)的間斷點.也稱函數在該點間斷.

如果函數

f(x)在點

x0處不連續，由函數在某點連續的定義可知，如果在點處有下列三種情形之一，則點為的一個間斷點.（1）在點沒有定義，即不存在；（2）不存在；（3）雖然存在，但例5函數在點處無定義，所以在點處間斷，是函數的間斷點.見圖1—6

例6函數

在有定義，但，，所以不存在，因此在處不連續.見圖1－7

例7函數在點無定義，所以在點間斷，是函數的間斷點.圖1－8例8

函數

在時有定義，但

顯然

，所以在不連續.在以上幾個例子中,函數在指定點均不連續，但情況卻各有不同.例9已知函數在處連續，求的值解：因為例10

已知函數試求(1)函數的定義域；(2)在處的極限；(3)指出在處是否連續.解：(1)顯然該分段函數的定義域為；（2），，因為，所以不存在。

（3）因為，所以在處連續.

而不存在,所以是的間斷點.

1.5.4閉區間上連續函數的最值定理定理2（最