2.5二次函數與一元二次方程(1)北師大版九年級數學下冊名師導學基礎鞏固0001CONTANTS目錄能力提升02數學◆

名師導學◆返回目錄知識點一

二次函數圖象與x軸的交點個數和對應一元二次方程判別式之間的關系1.當二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點時,交點的橫坐標就是當y=

時自變量x的值,即一元二次方程

的根.

0ax2+bx+c=0

數學返回目錄2.利用一元二次方程根的判別式

可以判斷方程根的個數,同樣也可以判斷對應二次函數圖象與x軸交點的個數.

當b2-4ac

0時,有兩個交點;當b2-4ac

0時,有一個交點;當b2-4ac

0時,沒有交點.

b2-4ac>=<數學返回目錄??

典型例題【例1】拋物線y=x2+2x-3與x軸兩個交點間的距離是

(

)A.2

B.-2

C.4

D.-4思路點撥:令y=0,求出拋物線與x軸的交點坐標,即可求解.數學返回目錄解析:令y=0,則x2+2x-3=0,解得:x1=-3,x2=1,∴拋物線與x軸兩個交點為(-3,0)和(1,0),∴兩個交點之間的距離為1-(-3)=4,故選C.答案:C數學返回目錄??

對應練習1.拋物線y=x2+4x+4與x軸的交點個數為

(

)A.0個B.1個C.2個D.3個B數學返回目錄

D數學返回目錄名師點撥:(1)熟練求得拋物線與x軸的交點坐標,對解題有很大的幫助.(2)通過判別式b2-4ac來判斷交點的個數,也可以通過交點個數來判斷b2-4ac的值,解題經常會用到.數學返回目錄

x1x2數學返回目錄??

典型例題

數學返回目錄解析:∵拋物線的對稱軸為直線x=2,拋物線和x軸的一個交點坐標為(6,0),則根據函數的對稱性,拋物線和x軸的另外一個交點坐標為(-2,0),則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解為x=6或-2.答案:x1=6,x2=-2數學返回目錄??

對應練習3.二次函數y=2x2-8x+m的圖象與x軸有兩個交點,若其中一個交點的坐標為(-1,0),則另一個交點坐標為

(

)A.(-3,0)

B.(3,0)C.(5,0) D.(9,0)C解析:由二次函數y=2x2-8x+m得到對稱軸是直線x=2,則拋物線與x軸的兩個交點坐標關于直線x=2對稱,∵其中一個交點的坐標為(-1,0),∴另一個交點的坐標為(5,0),故選C.數學返回目錄4.已知拋物線y=(x-3)2+c經過點A(2,0),則該拋物線與x軸的另一個交點是

(

)A.(3,0)

B.(4,0)C.(-8,0) D.(-4,0)B數學返回目錄

數學◆

基礎鞏固◆返回目錄一、選擇題1.已知二次函數y=x2-4x+3的圖象與x軸有兩個交點,若其中一個交點的橫坐標為1,則另一個交點的橫坐標為(

)A.-1

B.-2

C.2

D.3D數學返回目錄2.拋物線y=x2+4x+5-m與x軸有兩個不同的交點,則m的取值范圍是(

)A.m<-1 B.0<m≤1C.m<1 D.m>1D數學返回目錄3.若二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點(-1,0),(2,0),則關于x的方程ax2+bx+c=0的解為(

)A.x1=-1,x2=2B.x1=-2,x2=1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=-2A解析:∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點(-1,0),(2,0),∴方程ax2+bx+c=0的解為x1=-1,x2=2.故選A.數學返回目錄二、填空題1.若拋物線y=x2+2x-m與x軸有公共點,則m的取值范圍為

.

解析:∵拋物線y=x2+2x-m與x軸有公共點,∴22-4×1×(-m)≥0,解得m≥-1,故答案為m≥-1.m≥-1數學返回目錄2.已知拋物線y=2x2+bx-1與x軸的交點坐標分別是(-3,0)和(2,0),那么關于x的一元二次方程2x2+bx-1=0的根是

.

x1=-3,x2=2

數學返回目錄3.如圖,已知y1=ax2+bx+c(a≠0)與y2=kx+b(k≠0)相交于A(-1,0),B(-4,3)兩點,則y1>y2的x的取值范圍是

.

解析:觀察圖象,可知拋物線y1與直線y2的交點橫坐標是-4,-1,故當x<-4或x>-1時,y1>y2.x<-4或x>-1

數學返回目錄三、解答題二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)的頂點坐標為(1,4),與x軸交于點A(3,0)和B,與y軸交于點C.(1)求二次函數的解析式和點C的坐標;解:(1)∵二次函數圖象的頂點是(1,4),∴設二次函數解析式為y=a(x-1)2+4,∵二次函數圖象與x軸交于點A(3,0),數學返回目錄∴a(3-1)2+4=0,解得a=-1,∴二次函數解析式為y=-(x-1)2+4,令x=0,則y=3,∴點C的坐標為(0,3).數學返回目錄(2)一元二次方程ax2+bx+c=0的根為

.

數學◆

能力提升◆返回目錄1.如圖,是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①abc<0;②b>2a;③a+b+c=0;④8a+c>0;⑤ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1.其中正確的命題有(

)

A.2個B.3個C.4個D.5個C數學返回目錄

數學返回目錄2.已知二次函數y=x2-4x+m的圖象與x軸的交點坐標分別為x1,x2,若x1+3x2=6,則m的值為(

)A.3

B.-3

C.2

D.-2A

數學返回目錄3.如圖,拋物線y=x2-2x-3與y軸交于點A,與x軸的負半軸交于點B,點M是對稱軸上的一個動點.連接AM,BM,當|AM-BM|最大時,點M的坐標是(

)

A.(1,4)B.(1,2)C.(1,-2)D.(1,-6)D數學返回目錄

數學返回目錄4.若關于x的函數y=kx2+2x-1的圖象與x軸僅有一個公共點,則實數k的值為

.

-1或0數學返回目錄

數學返回目錄

數學返回目錄

數學返回目錄

數學返回目錄

數學返回目錄6.如圖,直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=a(x-2)2+k經過點A,B,并與x軸交于另一點C,其頂點為P.(1)求a,k的值;(2)拋物線的對稱軸上有一點Q,使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形,求Q點的坐標;(3)在拋物線及其對稱軸上分別取點M,N,使以A,C,M,N為頂點的四邊形為正方形,求此正方形的邊長.數學返回目錄

數學返回目錄(2)設Q點的坐標為(2,m),對稱軸x=2交x軸于點F,過點B作BE垂直于直線x=2于點E.在Rt△AQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,在Rt△BQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,∴Q點的坐標為(2,2).數學返回目錄

2.5二次函數與一元二次方程(2)北師大版九年級數學下冊名師導學基礎鞏固0001CONTANTS目錄能力提升02數學◆

名師導學◆返回目錄知識點

利用二次函數圖象求方程的近似解1.畫出y=ax2+bx+c的圖象,圖象與x軸交點的橫坐標就是對應方程ax2+bx+c=0的解。可以通過二次函數圖象的交點求相應的一元二次方程的近似根、根的取值范圍.2.確定一元二次方程的近似根,也可以用表格的形式通過夾逼法進行求得,表格中使y最接近0的x的值就是近似根.數學返回目錄??

典型例題【例1】如圖是二次函數y=ax2+bx+c的圖象,圖象上有兩點分別為A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),則方程ax2+bx+c=0的一個解只可能是

(

)

A.2.18B.2.68C.-0.51D.2.45數學返回目錄思路點撥:從圖得,當函數值為0時,x的取值應在所給的自變量兩個值之間.解析:∵圖象上有兩點分別為A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),∴當x=2.18時,y=-0.51;x=2.68時,y=0.54,∴當y=0時,2.18<x<2.68,只有選項D符合,故選D.答案:D數學返回目錄【例2】如下表給出了二次函數y=x2+2x-10中x,y的一些對應值,則可以估計一元二次方程x2+2x-10=0的一個近似解(精確到0.1)為

(

)A.2.2

B.2.3

C.2.4

D.2.5x…2.12.22.32.42.5…y…-1.39-0.76-0.110.561.25…數學返回目錄思路點撥:“當x=2.3時,y=-0.11;當x=2.4時,y=0.56.”由于-0.11更接近于0即可得出結論.解析:當x=2.3時,y=-0.11;當x=2.4時,y=0.56.∵-0.11更接近于0,∴方程的一個近似根為2.3.故選B.答案:B數學返回目錄??

對應練習1.小穎用計算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如圖所示的圖象,并求得一個近似根x=-3.4,則方程的另一個近似根(精確到0.1)為

(

)

A.4.4B.3.4C.2.4D.1.4D數學返回目錄2.若拋物線y=ax2+bx+c(a>0)經過第四象限的點(1,-1),則關于x的方程ax2+bx+c=0的根的情況是

(

)A.有兩個大于1的不相等實數根B.有兩個小于1的不相等實數根C.有一個大于1另一個小于1的實數根D.沒有實數根C數學返回目錄3.已知二次函數y=ax2+bx+c中x和y的值如下表,則ax2+bx+c=0的一個根的范圍是

(

)A.0.10<x<0.11

B.0.11<x<0.12C.0.12<x<0.13 D.0.13<x<0.14Cx0.100.110.120.130.14y-5.6-3.1-1.50.91.8數學返回目錄4.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c為常數)中,函數y與自變量x的部分對應值如下表,則方程ax2+bx+c=0的一個近似根是

(

)A.3.17

B.3.18

C.3.19

D.不能確定x3.173.183.19y-0.03-0.010.02B數學返回目錄名師點撥:(1)通過直接解一元二次方程得到的是方程的準確的根,通過觀察圖象得到的是方程的近似根、根的取值范圍.(2)當確定出一元二次方程的一個近似根時,可以利用拋物線的對稱性確定出另一個近似根.數學◆

基礎鞏固◆返回目錄一、選擇題1.如表中列出了二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的一些對應值,則一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個近似解x1的范圍是(

)A.-3<x1<-2

B.-2<x1<-1C.-1<x1<0 D.0<x1<1x…-3-2-101…y…-11-5-111…C數學返回目錄2.下表是一組二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數值y的對應值,那么方程ax2+bx+c=0的一個近似根是x≈(

)A.1

B.1.1

C.1.2

D.1.3Cx11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16數學返回目錄3.二次函數y=2x2-3的圖象是一條拋物線,下列關于該拋物線的說法,正確的是(

)A.拋物線的開口向下B.拋物線經過點(2,3)C.拋物線的對稱軸是直線x=1D.拋物線與x軸有兩個交點D數學返回目錄二、填空題

1.如圖,拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=kx+m的交點為A(1,-3),B(6,1).當y1>y2時,x的取值范圍是

.

x<1或x>6數學返回目錄2.已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(-1,-3.2)及部分圖象(如右圖所示),

由圖象可知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根分別是x1=1.3和x2=

.

-3.3

數學返回目錄

數學返回目錄(2)拋物線與x軸有兩個交點,理由如下:由(1)知,該拋物線解析式為y=x2-6x+2,令y=0,則x2-6x+2=0,∵Δ=62-4×1×2=28>0,∴關于x的一元二次方程x2-6x+2=0有兩個不相等實數根,∴拋物線與x軸有兩個交點.數學◆

能力提升◆返回目錄1.二次函數y=-x2+mx的圖象如圖,對稱軸為直線x=2,若關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t為實數)在1<x<5的范圍內有解,則t的取值范圍是(

)

A.t>-5B.-5<t<3C.3<t≤4D.-5<t≤4D數學返回目錄1.解析:如圖,關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是拋物線y=-x2+mx與直線y=t的交點的橫坐標,由題意,可知m=4,當x=1時,y=3,當x=5時,y=-5,由圖象可知關于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t為實數)在1<x<5的范圍內有解,直線y=t在直線y=-5和直線y=4之間包括直線y=4,∴-5<t≤4.故選D.數學返回目錄2.已知二次函數y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如下表,則下列判斷中正確的是(

)A.拋物線開口向上B.拋物線與y軸交于負半軸C.當x=3時,y>0D.方程ax2+bx+c=0的正根在2與3之間Dx…-1012…y…-5131…數學返回目錄2.解析:∵由表可以得出當x=0或2時,y=1,可以求出此函數的對稱軸是直線x=1,頂點坐標為(1,3),∴二次函數解析式為y=a(x-1)2+3,再將(0,1)點代入,得1=a(-1)2+3,解得a=-2,∴y=-2(x-1)2+3,∵a<0,∴拋物線開口向下,A項錯誤;∵y=-2(x-1)2+3=-2x2+4x+1,與y軸交點坐標為(0,1),故與y軸交于正半軸,B項錯誤;∵當x=3時,y=-5<0,C項錯誤;∵方程ax2+bx+c=0,Δ=16+4×2×1=22>0,此方程有兩個不相等的實數根,由表知正根在2和3之間.故選D.數學返回目錄3.若x1,x2(x1<x2)是方程(x-a)(x-b)=1(a<b)的兩個根,則實數x1,x2,a,b的大小關系為