第02講平面向量的線性運算（4大考點）考點考向考點考向1.平面向量的相關概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量；平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量．2.平面向量的加減法則幾個向量相加的多邊形法則；向量減法的三角形法則；向量加法的平行四邊形法則．3.實數與向量相乘的運算設k是一個實數，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作．如果，且，那么的長度；的方向：當k>0時與同方向；當k<0時與反方向．如果k=0或，那么．4.實數與向量相乘的運算律設m、n為實數，則；；．平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數m，使．5.單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設為單位向量，則．單位向量有無數個；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實數與向量的乘積可知：，．6.向量的線性運算向量加法、減法、實數與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算．如、、、等，都是向量的線性運算．一般來說，如果、是兩個不平行的向量，是平面內的一個向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達式整理成的形式，其中x、y是實數．7.向量的合成與分解如果、是兩個不平行的向量，（m、n是實數），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個向量，這時，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關于、的分解式．平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解考點考點精講一．*平面向量（共7小題）1．（2022?徐匯區二模）關于非零向量、、，下列選項中錯誤的是（）A．如果＝，那么||＝|| B．如果、都是單位向量，那么||＝|| C．如果＝2，那么∥ D．如果＝+，那么||＝||+||2．（2022?青浦區模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC至點E，使CE＝2BC，聯結DE，設＝，＝，那么可表示為（）A．+2 B．﹣2 C．﹣+2 D．﹣﹣23．（2022春?浦東新區校級期末）已知點C是線段AB的中點，則＝．4．（2022?長寧區二模）如圖，已知A、B、C是直線l上的三點，P是直線l外的一點，BC＝2AB，＝，＝，那么等于（）A．﹣2+3 B．﹣+2 C．2﹣ D．4﹣35．（2022春?長寧區校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AD的中點，CE交對角線BD于點F．如果＝，＝，那么用、的線性組合表示向量為（）A．﹣﹣ B．+ C．﹣﹣ D．6．（2022春?浦東新區校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點，聯結CE、DE，設＝，＝，那么下列向量中，可表示為+的是（）A． B． C． D．7．（2022春?浦東新區校級期中）已知，非零向量，且|+|＝||+||，則一定有（）A．＝ B．∥，且，方向相同 C．＝﹣ D．∥，且，方向相反二．實數與向量相乘（共2小題）8．（2019春?徐匯區校級月考）計算2（﹣）+3＝．9．（2019秋?黃浦區期末）計算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．三．平面向量定理（共2小題）10．（2019秋?閔行區校級月考）下列命題中是真命題的是（）A．若，則 B． C．若，則 D．單位向量有且只有一個11．（2019?徐匯區校級一模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位線，點E在AB上，若AD：BC＝1：3，＝，則用表示是：＝．四．向量的線性運算（共3小題）12．（2022?黃浦區二模）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，請用向量，表示向量＝．13．（2022春?嘉定區校級期中）在△ABC中，E、F分別是邊AB和AC的中點，，，那么向量用向量和表示為．14．（2022春?徐匯區校級期中）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC與BD交于點P，令，那么＝．（用向量、表示）鞏固鞏固提升一．選擇題（共4小題）1．（2022?松江區校級模擬）如圖，已知△ABC，AD為三角形ABC的中線，，，則＝（）A． B． C． D．2．（2022春?楊浦區校級月考）下列判斷不正確的是（）A．＝0 B．如果，那么||＝|| C． D．如果非零向量＝k?（k≠0），那么∥3．（2022?寶山區模擬）已知單位向量與非零向量，，下列四個選項中，正確的是（）A．||＝ B．||＝ C．＝ D．＝4．（2021春?徐匯區月考）D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，＝，＝，則等于（）A． B． C． D．﹣二．填空題（共12小題）5．（2022春?浦東新區校級期中）如果||＝5，||＝3，則||的取值范圍是．6．（2022?松江區二模）如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，設＝，＝，那么可以用，表示為．7．（2022?普陀區二模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，設＝，＝，那么向量用向量、表示為．8．（2022?閔行區二模）計算：＝．9．（2022?崇明區二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊CD中點，聯結AE交對角線BD于F，設＝，＝，那么可用、表示為．10．（2022?奉賢區二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是腰BC的中點，聯結AE．如果設＝，＝，那么＝（含、的式子表示）．11．（2022?嘉定區二模）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，BD＝2DC，設向量＝，＝，那么向量＝（結果用、表示）．12．（2022?寶山區二模）如圖，已知AC、BD是梯形ABCD的對角線，AD∥BC，BC＝2AD，如果設＝，＝，那么向量用向量、表示為．13．（2022?虹口區二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點E，設＝，＝，那么向量用向量、表示為．14．（2022春?金山區月考）如圖，已知AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線．設向量＝，向量＝，那么向量可以表示為（用向量、表示）．15．（2022?寶山區模擬）如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，如果＝，那么＝（用表示）．16．（2022?寶山區模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊CD的中點，如果，，用含、的式子表示向量＝．三．解答題（共8小題）17．（2021秋?閔行區校級月考）如圖，已知兩個不平行的非零向量和．先化簡，再在方格中求作：（3﹣）﹣（2+5）．（寫出結論，不要求寫作法）18．（2021秋?奉賢區校級期中）如圖，已知平面內兩個不平行的向量、，求作：2（﹣）+3．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）19．（2021?上海模擬）如圖，已知兩個不平行的向量先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量．）20．（2021秋?松江區校級期中）如圖，是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點，且，CE交BD點E，BF＝15．（1）求DF的長；（2）如果＝，＝，用、表示向量．21．（2021春?普陀區期末）如圖，在四邊形ABCD中．（1）用圖中的向量表示：++＝；（2）用圖中的向量表示：﹣＝；（3）在作圖區內求作并寫結論：+．22．（2022春?浦東新區校級期中）如圖，點E在平行四邊形ABCD的對角線BD上．（1）填空：＝；＝；（2）求作：．（不寫作法，保留