專題03中點模型之斜邊中點模型、中位線模型、中點四邊形模型中點模型是初中數學中一類重要模型，它在不同的環境中起到的作用也不同，主要是結合三角形、四邊形、圓的運用，在各類考試中都會出現中點問題，有時甚至會出現在壓軸題當中，我們不妨稱之為“中點模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規律對初中幾何的學習有著十分重要的意義。常見的中點模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點”構造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④直角三角形斜邊中點模型；⑤中位線模型；⑥中點四邊形模型。本專題就中點模型的后三類模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1：直角三角形斜邊中線模型定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：（1）；（2），為等腰三角形；（3），．圖1圖2拓展：如圖2，在由兩個直角三角形組成的圖中，M為中點，則（1）；（2）．模型運用條件：連斜邊上的中線（出現斜邊上的中點時）例1．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）如圖，在Rt中，為斜邊上的中線，若，則．例2．（2023·遼寧鞍山·校考三模）如圖，在中，，，將繞點C順時針旋轉得到，點A，B的對應點分別是D，E，點F是邊的中點，連接，，，則下列說法不正確的是（

）

A．B．C．D．四邊形是平行四邊形例3．（2023·江蘇鹽城·統考中考模擬）如圖，在菱形中，對角線相交于點為中點，．則線段的長為：（

）A． B． C． D．例3．（2023·黑龍江·統考中考模擬）如圖，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接，若，，則的長為（

）A． B． C． D．例4．（2023·江蘇鎮江·統考二模）如圖，已知，M、N分別是中點，若，則

例5．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，在中，，，N是邊的中點．D，E分別是邊，上的動點，始終保持，M是上的中點，則的最小值為．

例6．（2023上·江蘇泰州·八年級校考階段練習）如圖，在中，于F，于E，M為的中點．(1)若，，求的周長；(2)若是等邊三角形，求的度數．

模型2：中位線模型三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，則DE//BC且，△ADE∽△ABC。中點三角形：三角形三邊中點的連線組成的三角形，其周長是原三角形周長的一半，面積是原三角形面積的四分之一。模型運用條件：構造中位線（出現多個中點時）。例1．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）在中，，分別為邊，的中點，，則的長為cm.例2．（2023·河南平頂山·統考模擬預測）如圖，中，，平分，交于點E，平分，交于點F，交于點O，點G，H分別是和的中點，則的長為．

例3．（2023下·四川南充·八年級校考期中）如圖，已知矩形的面積為1．分別為的中點，若四邊形的面積為，分別為的中點，四邊形的面積記為，…，依此類推，第n個四邊形的面積記為，則．

例4．（2023下·湖北襄陽·八年級統考期末）如圖，O是矩形的對角線的中點，M是的中點，若，，則四邊形的周長為．

例5．（2023·廣西·統考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，E，F分別是上的動點，M，N分別是的中點，則的最大值為．

例6．（2023·江蘇鎮江·統考中考真題）【發現】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：

（1）取，的中點D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點D旋轉至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點E旋轉至四邊形的位置；（4）延長，交于點F．小宏發現并證明了以下幾個結論是正確的：①點Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務1】請你對結論①進行證明．【任務2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點，連接．求證：．模型3：中點四邊形模型中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形。中點四邊形是中點模型中比較經典的應用。中點四邊形不僅結合了常見的特殊四邊形的性質，而且還會涉及中位線這一重要知識點，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊。結論1：順次連結任意四邊形各邊中點組成的四邊形是平行四邊形．如圖1，已知點M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點，則四邊形MNPQ為平行四邊形。圖1圖2結論2：順次連結對角線互相垂直四邊形各邊中點組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）如圖2，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形。結論3：順次連結對角線相等四邊形各邊中點組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）如圖3，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形。圖3圖4結論4：順次連結對角線相等且垂直的四邊形各邊中點組成的四邊形是正方形．如圖4，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形。推廣與應用1）中點四邊形的周長：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和。2）中點四邊形的面積：中點四邊形的面積等于原四邊形面積的。例1．（2023·江蘇·統考一模）如圖，四邊形中，E，F，G，H分別是邊、、、的中點．若四邊形為菱形，則對角線、應滿足條件．例2．（2023·江蘇南通·統考二模）如圖，四邊形ABCD中，E，F分別是邊AD，BC的中點，G，H分別是對角線BD，AC的中點，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（

）A．AC＝BDB．AC⊥BDC．AB＝DCD．AB⊥DC例3．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習）如圖，連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形EFGH，還要添加，才能保證四邊形EFGH是正方形．例4．（2023下·河北廊坊·八年級統考期中）如圖，任意四邊形中，，，，分別是，，，上的點，對于四邊形的形狀，某班學生在一次數學活動課中，通過動手實踐，探索出如下結論，其中錯誤的是(

)A．當，，，是各邊中點，且時，四邊形為矩形B．當，，，是各邊中點，且時，四邊形為菱形C．當，，，不是各邊中點時，四邊形不可能為菱形D．當，，，不是各邊中點時，四邊形可能為平行四邊形例5．（2023下·廣東江門·八年級校考期中）如圖，任意四邊形各邊中點分別是E、F、G、H．若對角線、的長分別是、，則四邊形的周長是（）

A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm例6．（2023下·江蘇揚州·八年級統考期中）四邊形ABCD，點M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點．(1)如圖1，順次連結M、N、P、Q得到四邊形ANPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(2)如圖2，若∠B＝∠C，AB＝CD，順次連結M、N、P、Q得到四邊形MNPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(3)如圖3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，設線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是______．課后專項訓練1．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，中，，為的中位線，連接，若，則的度數為（

）．A． B． C． D．2．（2022·貴州安順·統考中考真題）如圖，在中，，，是邊的中點，是邊上一點，若平分的周長，則的長為（

）A． B． C． D．3．（2023·四川雅安·統考中考真題）如圖，在中，，點F為AC中點，是的中位線，若，則BF=（

）A．6 B．4 C．3 D．54．（2020·湖北荊州·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的斜邊OA在第一象限，并與x軸的正半軸夾角為30度，C為OA的中點，BC=1，則A點的坐標為（

）A． B． C． D．5．（2023·海南儋州·校聯考模擬預測）如圖，在平行四邊形中，，，平分，平分，且，相交于點O，若點P為線段的中點，連接，則線段的長為（

）

A． B．2 C． D．16．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點M，N分別是邊的中點，連接，若，，則的長為（

）

A．3 B． C．2 D．7．（2023下·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，點D、點E分別是的中點，點F是一點，，則長為（）。

A．1 B．2 C．3 D．48．（2022·青海·統考中考真題）如圖，在中，，D是AB的中點，延長CB至點E，使，連接DE，F為DE中點，連接BF.若，，則BF的長為（

）A．5 B．4 C．6 D．89．（2022·浙江寧波·統考中考真題）如圖，在中，D為斜邊的中點，E為上一點，F為中點．若，，則的長為（

）A． B．3 C． D．410．（2022·四川德陽·統考中考真題）如圖，在四邊形中，點，，，分別是，，，邊上的中點，則下列結論一定正確的是（

）A．四邊形是矩形B．四邊形的內角和小于四邊形的內角和C．四邊形的周長等于四邊形的對角線長度之和D．四邊形的面積等于四邊形面積的11．（2023·西藏·統考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．點E、F分別是AB，AO的中點，且AC＝8，則EF的長度為（

）

A．2 B．4 C．6 D．812．（2023·湖北襄陽·統考一模）如圖，四邊形ABCD是矩形，E，F，G，H分別為各邊的中點，則四邊形EFGH一定是（

）A．菱形B．矩形C．正方形D．對角線相等的四邊形13．（2023上·北京海淀·九年級首都師范大學附屬中學校考開學考試）如圖，點E，F，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，DA的中點，則關于四邊形EFGH，下列說法正確的是（

）A．不一定是平行四邊形 B．當AC＝BD時，它為菱形C．一定是軸對稱圖形 D．不一定是中心對稱圖形14．（2023下·上海浦東新·八年級校考期末）下列命題中，真命題是（

）A．順次聯結平行四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形B．順次聯結等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形C．順次聯結對角線垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形D．順次聯結對角線相等的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形15．（2023下·河北張家口·八年級統考期末）連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形是．對角線，滿足條件時，連接四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形．16．（2022·四川南充·中考真題）數學實踐活動中，為了測量校園內被花壇隔開的A，B兩點的距離，同學們在外選擇一點C，測得兩邊中點的距離為（如圖），則A，B兩點的距離是m．17．（2023·貴州銅仁·統考中考真題）如圖，、分別是正方形的邊、上的動點，滿足，連接、，相交于點，連接，若正方形的邊長為2．則線段的最小值為．18．（2023·遼寧丹東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，點和點分別是和的中點，連接，，，若，則的面積是．

19．（2023·湖南株洲·統考中考真題）如圖所示，在中，，是斜邊上的中線，分別為的中點，若，則．20．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在中，是邊上的高，、分別是和的中點，且，若，則的長為．

21．（2023·北京·北京四中校考模擬預測）證明：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；已知：如圖，分別是的邊，中點．求證：，．下面是證明的兩種添加輔助線的方法，請選擇其中一種，完成證明．方法一證明：如圖，延長至，使方法二證明：如圖，過作交于，過作交于．22．（2023下·湖南益陽·八年級統考期末）如圖1，是線段上的一點，在的同側作和，使，，，連接，點，，，分別是，，，的中點，順次連接，，，．(1)猜想四邊形的形狀，直接回答，不必說明理由；(2)點在線段的上方時，如圖2，在的外部作和，其他條件不變，（1）中的結論還成立嗎？說明理由；(3)如果（2）中，，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形的形狀，并說明理由．23．（2022下·陜西西安·八年級陜西師大附中校考期末）問題背景：△ABC和△CDE均為等邊三角形，且邊長分別為a，b，點D，E分別在邊AC，BC上，點F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點，連接FG，GH，HI，IF.猜想證明：(1)如圖①，判斷四邊形FGHI是什么特殊四邊形，并說明理由．(2)當a＝6，b＝2時，求四邊形FGHI的周長．拓展延伸：(3