第二章整式的乘法（壓軸題專練）一、選擇題1．（2020·浙江杭州·模擬預測）已知是自然數，且滿足，則的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2018上·山東威海·八年級校考期中）將多項式加上一個整式，使它成為完全平方式，則下列不滿足條件的整式是(

)A． B．±4x C． D．3．（2023下·重慶南岸·八年級重慶市第十一中學校校考階段練習）關于的多項式：，其中為正整數，各項系數各不相同且均不為0．當時，，交換任意兩項的系數，得到的新多項式我們稱為原多項式的“兄弟多項式”．給出下列說法：①多項式共有6個不同的“兄弟多項式”；②若多項式，則的所有系數之和為；③若多項式，則；④若多項式，則．則以上說法正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023上·湖北·九年級校考周測）若能被整除，則的值是（

）A． B． C．6 D．45．（2023上·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考階段練習）若有兩個整式，．下列結論中，正確的有（

）①當為關于的三次三項式時，則；②當多項式乘積不含時，則；③；④當能被整除時，；⑤若或時，無論和取何值，值總相等，則．A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤6．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶一中校考期中）對于五個整式，：；：；：；：；：有以下幾個結論：①若為正整數，則多項式的值一定是正數；②存在有理數，，使得的值為；③若關于的多項式（為常數）不含的一次項，則該多項式的值一定大于．上述結論中，正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023下·山東濟南·七年級統考期末）設，，．若，則的值是()A．5 B．6 C．7 D．88．（2023下·安徽宿州·七年級安徽省泗縣中學校聯考階段練習）在數學中，為了書寫簡便，18世紀數學家歐拉就引進了求和符號“”．如：記；．已知：，則的值是（

）A．40 B． C． D．9．（2023下·重慶南川·八年級統考期末）有個依次排列的整式：第1項是，用第1項乘，所得之積記為，將第1項加上得到第2項，再將第2項乘得到，將第2項加上得到第3項……以此類推，某數學興趣小組對此展開研究，得到下列4個結論：①第4項為；②；③若第2023項的值為0，則；④當時，第項的值為．以上結論正確的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2022下·浙江寧波·七年級統考期末）如圖，將兩張長為，寬為的長方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置，圖1和圖2中兩張長方形紙片重疊部分分別記為①和②，正方形中未被這兩張長方形紙片覆蓋部分用陰影表示，圖1和圖2中陰影部分的面積分別記為和．若知道下列條件，仍不能求值的是（）

A．長方形紙片的周長和面積 B．長方形紙片長和寬的差C．①和②的面積差 D．長方形紙片和①的面積差11．（2023下·四川成都·七年級統考期末）楊輝三角是中國古代數學杰出研究成果之一，它把（其中n為自然數）的展開式中的各項的系數直觀地體現了出來，其中的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第行的每一項，如下所示：的展開式…根據上述材料，則的展開式中含項的系數為?（

）A．10 B． C．40 D．12．（2023下·安徽淮北·七年級校聯考期末）關于的多項式：，其中為正整數，若各項系數各不相同且均不為0，我們稱這樣的多項式為“親緣多項式”．①是“親緣多項式”．②若多項式和均為“親緣多項式”，則也是“親緣多項式”．③多項式是“親緣多項式”且．④關于的多項式，若，，為正整數，則為“親緣多項式”．以上說法中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2023下·安徽宿州·七年級統考期末）觀察下列算式：①；②；③；…結合你觀察到的規律判斷的計算結果的末位數字為（

）A．1 B．3 C．5 D．714．（2022上·江蘇·八年級統考期末）已知實數a，b滿足，則代數式的最大值為（

）A．－4 B．－5 C．4 D．515．（2021·浙江·九年級自主招生）若實數x，y，z滿足，求（

）A．5 B．10 C．15 D．2016．（2022下·福建廈門·八年級廈門外國語學校校考階段練習）已知，，，，則a、b、c、d的大小關系是（

）A． B． C． D．17．（2022上·湖南長沙·七年級校聯考階段練習）已知，且，則等于（

）A． B． C． D．18．（2022上·福建莆田·八年級校考期末）觀察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明發現其中蘊含著一定的運算規律，并利用這個運算規律求出了式子“”的值，這個值為（

）A． B． C． D．19．（2022下·陜西西安·七年級高新一中校考期中）的個位數字為（

）A．5 B．1 C．2 D．420．（2022下·福建泉州·九年級泉州五中校考開學考試）已知x，y為實數，且滿足，記的最大值為M，最小值為m，則（

）．A． B． C． D．21．（2018下·四川巴中·七年級四川省巴中中學校考期中）已知，，，則a、b、c的大小關系為（

）A． B． C． D．22．（2020上·河北邢臺·八年級河北南宮中學校考期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，則ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11二、填空題23．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考階段練習）對于一個三位數，其十位數字等于個位數字與百位數字的差的兩倍，則我們稱這樣的數為“倍差數”，則最小的“倍差數”為若一個數能夠寫成（，均為正整數，且），則我們稱這樣的數為“不完全平方差數”，記．例如，所以或．若一個小于的三位數（其中，，且，，均為整數）既是一個“不完全平方差數”，也是一個“倍差數”，則滿足條件的的最大值為．24．（2022下·福建泉州·七年級校考期中）設，，…，是從1，0，這三個數取值的一列數，若，，則，，…，中為0的個數是．25．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）一個兩位正整數，如果滿足各數位上的數字互不相同且均不為0，則將的兩個數位上的數字對調得到一個新數．把放在的后面組成第一個四位數，把放在的后面組成第二個四位數，我們把第一個四位數減去第二個四位數后再除以11所得的商記為，例如：時，，．對于兩位正整數s與t，其中，（，，，且，，，為整數）．若能被整除，則的值為，在此條件下，若，其中為整數，則此時與乘積的最大值為．26．（2022上·江西新余·八年級統考階段練習）為非零自然數，若為兩個連續自然數之積，則的值是．27．（2023上·四川眉山·七年級統考期末）閱讀材料，回答下列問題：材料一：積的乘方，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．即：．材料二：等式成立試求：（1）．（2）．28．（2023下·湖南懷化·七年級統考期末）計算：．29．（2022上·江蘇連云港·七年級校考期中）矩形內放入兩張邊長分別為a和的正方形紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為；按照圖②放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分面積為；按圖③放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分的面積為，已知，，設，則．

30．（2022上·四川成都·八年級校考期中）若正整數滿足，這樣的三個整數（如：或）我們稱它們為一組“完美勾股數”．當時，共有組這樣的“完美勾股數”．31．（2023·上海·七年級假期作業）請同學運用計算，解決問題：已知x、y、z滿足，求的最大值是．32．（2023下·江蘇蘇州·七年級統考期中）填空：；；；…(1)；(2)猜想：；（其中為正整數，且）(3)利用（2）中的猜想的結論計算：①②．33．（2022上·北京海淀·七年級清華附中校考期末）設x，y滿足，，則．34．（2022·浙江寧波·校考模擬預測）已知，且，則的值為．35．（2022·山東濟南·濟南育英中學校考模擬預測）已知實數a，b，c滿足，，則．三、解答題36．（2024上·遼寧大連·八年級統考期末）通過第14章的學習，我們已經知道，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數學等式：如圖1可以得到；如圖2可以得到：；現有長與寬分別為a、b的小長方形若干個，用四個相同的小長方形拼成圖3的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題：(1)【探索發現】根據圖中條件，猜想并驗證與之間的關系（用含a、b的代數式表示出來）；圖3表示：_____________；(2)【解決問題】①若，，則_______；②當時，求的值．(3)【拓展提升】如圖4，點C是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形和，延長和交于點H，那么四邊形為長方形，設，圖中陰影部分面積為42，求兩個正方形的面積和．37．（2023上·福建龍巖·八年級校考階段練習）通過課堂的學習知道，我們把多項式及叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如求代數式的最小值，．可知當時，有最小值，最小值是，根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)代數式的最大值為：；(2)若與，判斷的大小關系，并說明理由；(3)已知：，，求代數式的值．38．（2023上·湖南長沙·八年級校考期中）對于任意實數，，我們規定：，，例如：，．(1)填空：①_________；②若，則_________；③若，則_________0．（填“”，“”或“=”）(2)若，且，求與的值；(3)若正整數，滿足，，求的值．39．（2023上·湖南長沙·八年級校聯考期中）我們定義：如果兩個多項式與的和為常數，則稱與互為“對消多項式”，這個常數稱為它們的“對消值”．如與互為“對消多項式”，它們的“對消值”為．(1)下列各組多項式互為“對消多項式”的是（填序號）；與；與；與(2)多項式與多項式（，為常數）互為“對消多項式”，求它們的“對消值”；(3)關于的多項式與互為“對消多項式”，“對消值”為．若，，求代數式的最小值．40．（2023上·四川內江·八年級四川省內江市第六中學校考期中）閱讀下列解答過程：已知：，且滿足．求：的值．解：，，即．．請通過閱讀以上內容，解答下列問題：已知，且滿足，求：(1)的值；(2)的值．41．（2023上·湖南長沙·八年級湖南師大附中博才實驗中學校考期中）閱讀以下材料：已知兩個兩位數，將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后，得到兩個與原兩個兩位數均不同的新數，若這兩個兩位數的乘積與交換位置后兩個新兩位數的乘積相等，則稱這樣的兩個兩位數為“幸福數對”，例如，所以和與和都是“幸福數對”.解決如下問題：(1)請判斷與是否是“幸福數對”？并說明理由：(2)為探究“幸福數對”的本質，可設“幸福數對”中一個數的十位數字為，個位數字為，且；另一個數的十位數字為，個位數字為，且，試說明，，，之間滿足怎樣的數量關系，并寫出證明過程；(3)若有一個兩位數，十位數字為，個位數字為；另一個兩位數，十位數字為，個位數字為．若這兩個數為“幸福數對”，求出這兩個兩位數．42．（2023上·廣東珠海·八年級珠海市文園中學校考期中）結合圖形我們可以通過兩種不同的方法計算面積，從而可以得到一個數學等式．

(1)如圖1，用兩種不同的方法計算陰影部分的面積，可以得到的數學等式是______；(2)我們可以利用（1）中的關系進行求值，例如，若x滿足，可設，，則，．則______．(3)若x滿足，則的值為______；(4)小玲想利用圖2中x張A紙片，y張B紙片，z張C紙片拼出一個面積為的大長方形，則______；(5)如圖3，已知正方形的邊長為x，E，F分別是、上的點，且，，長方形的面積是24，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．43．（2023下·江西贛州·七年級校考階段練習）（1）已知，求的值．（2）已知將乘開的結果不含和項．求m、n的值；（3）小明在做一道計算題目的時候是這樣分析的：這個算式里面每個括號內都是兩數和的形式，跟最近學的兩大公式作對比，發現跟平方差公式很類似，但是需要添加兩數的差，于是添了，并做了如下的計算：請按照小明的方法，計算．44．（2021下·安徽六安·七年級校考階段練習）方法探究：同學們在學習數學過程中，遇到難題可以考慮從簡單到特殊的情況入手，例如：求的值．分別計算下列各式的值：(1)填空：；；；由此可得；(2)計算：；(3)根據以上結論，計算：45．（2023下·遼寧沈陽·七年級統考期中）【閱讀材料】“數形結合”是一種非常重要的數學思想方法．比如：北師大版七年級下冊教材在學習“完全平方公式”時，通過構造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：（如圖1）．利用“數