PAGE熱點(九)球1．[2024·大同市測試試題](正方體外接球)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為()A．4eq\r(3)πB．8eq\r(3)πC．12eq\r(3)πD．6eq\r(3)π2．(四棱柱外接球體積)已知底面邊長為1，側棱長為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為()A.eq\f(32π,3)B．4πC．2πD.eq\f(4π,3)3．(三棱柱外接球)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球OA.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)4．(球與三視圖)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()A.eq\f(16π,3)B．4πC．3D．以上都不對5．(球體＋體積)如圖，有一個水平放置的透亮無蓋的正方體容器，容器高8cm，現將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，假如不計容器的厚度，則球的體積為()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm36．[2024·深圳市統一考試](三視圖＋球)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球的表面積為()A.eq\f(32\r(3)π,3)B．32πC．36πD．48π7．[2024·廣東省聯考試題](圓錐＋外接球的表面積)已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的全部母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,9)C.eq\f(2\r(6),9)D.eq\f(8,27)8．(三棱柱內切球＋最值)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則VA．4πB.eq\f(9π,2)C．6πD.eq\f(32π,3)9．[2024·江西南昌摸底考試](三棱錐＋球)已知在三棱錐S-ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝2，AC⊥BC，則該三棱錐的外接球的體積為()A.eq\f(32\r(3)π,27)B.eq\f(4\r(3)π,9)C.eq\f(32π,3)D.eq\f(16π,3)10．[2024·山東棗莊9月月考](三棱錐＋球)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別為AB，A1B1的中點，則三棱錐F-ECDA.eq\f(41,4)πB.eq\f(4,3)πC.eq\f(41\r(41),64)πD.eq\f(41\r(41),48)π11．(正方體內切球＋體積)設球O是正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球，若平面ACD1截球O所得的截面面積為6π，則球OA.eq\f(3,2)B．3C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)12．(三棱錐外接球＋表面積)已知正三棱錐S-ABC的頂點均在球O的球面上，過側棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖所示，若三棱錐的體積為2eq\r(3)，則球O的表面積為()A．16πB．18πC．24πD．32π13．(三棱錐外接球＋表面積)已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，則球O的表面積等于________．14．[2024·惠州市考試試題](三棱柱＋外接球＋內切球)已知底面邊長為a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點均在球O1上，又知球O2與此正三棱柱的5個面都相切，則球O1與球O215．[2024·武漢市調研測試](四面體外接球＋半徑)在四面體ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，則當四面體的體積最大時，它的外接球半徑R＝___________________________.16．[2024·廣東惠州第一次聯考](三棱錐＋外接球＋最值)在三棱錐A-BCD中，底面BCD是直角三角形且BC⊥CD，斜邊BD上的高為1，三棱錐A-BCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16π，則三棱錐A-BCD體積的最大值為________．熱點(九)球1．答案：A解析：由正方體的體積為8，可知其棱長為2，且正方體的體對角線為其外接球的直徑，所以其外接球的半徑R＝eq\f(\r(22＋22＋22),2)＝eq\r(3)，則外接球的體積V＝eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π.故選A.2．答案：D解析：因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半，所以半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12＋\r(2)2)＝1，所以V球＝eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)，故選D.3．答案：C解析：如圖，過球心作平面ABC的垂線，則垂足為線段BC的中點M.易知AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2)，故選C.4．答案：A解析：由題意可知該幾何體是軸截面為正三角形的圓錐，底面圓的直徑為2，高為eq\r(3)，∴外接球的半徑r＝eq\f(1,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)，∴外接球的表面積為4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(16,3)π，故選A.5．答案：A解析：設球半徑為Rcm，依據已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面的距離為(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3，故選A.6．答案：D解析：由三視圖可知該四面體為PBCD，如圖，將它補成棱長為4的正方體，則正方體的體對角線PC就是該四面體的外接球的直徑，所以外接球的直徑2R＝eq\r(3×42)，所以R＝2eq\r(3)，則該四面體的外接球的表面積為4πR2＝4×π×(2eq\r(3))2＝48π，故選D.7．答案：B解析：設圓錐底面圓的半徑為R，球的半徑為r，由題意知，圓錐的軸截面是邊長為2R的等邊三角形，球的大圓是該等邊三角形的內切圓，如圖所示，所以r＝eq\f(\r(3),3)R，S球＝4πr2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)R))2＝eq\f(4π,3)R2，S圓錐＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球與圓錐的表面積之比eq\f(S球,S圓錐)＝eq\f(\f(4π,3)R2,3πR2)＝eq\f(4,9)，故選B.8．答案：B解析：由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則需球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設底面△ABC的內切圓的半徑為r，易知eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2，此時2r＝4>3，不合題意．因此當球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大，由2R＝3，得R＝eq\f(3,2)，故球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，故選B.9．答案：A解析：由題意畫出圖形如圖所示，取AB的中點D，連接SD，CD.因為AC⊥BC，所以點D為Rt△ABC的外接圓的圓心，則外接球的球心O在過點D且與平面ABC垂直的直線上．又SA＝SB＝SC＝AB＝2，所以SD⊥AB，且SD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，CD＝eq\f(1,2)AB＝1，所以SC2＝SD2＋CD2，所以SD⊥CD，所以SD⊥平面ABC，故球心O為△SAB外接圓的圓心，則OD＝eq\f(1,3)SD＝eq\f(\r(3),3).連接OA，設外接球的半徑為R，則R＝OA＝eq\r(AD2＋OD2)＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(2\r(3),3)，所以三棱錐S-ABC的外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))3＝eq\f(32\r(3)π,27)，故選A.10．答案：D解析：如圖所示，連接FC1，FD1.三棱錐F-ECD的外接球為三棱柱FC1D1-ECD的外接球．在三角形ECD中，取CD的中點H，連接EH，則EH垂直平分CD，所以△ECD的外心在EH上，設△ECD的外心為點M.同理可得△FC1D1的外心N.連接MN，則三棱柱外接球的球心為MN的中點，設為點O.連接CM，易得EM2＝CM2＝CH2＋MH2.又MH＝2－EM，CH＝1，所以EM＝CM＝eq\f(5,4)，連接OC，則OC2＝MO2＋CM2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2，解得OC＝eq\f(\r(41),4)，即三棱錐F-ECD的外接球的半徑R＝eq\f(\r(41),4).所以三棱錐F-ECD的外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(41),4)))3＝eq\f(41\r(41),48)π.故選D.11．答案：B解析：如圖，易知直線B1D過球心O，且B1D⊥平面ACD1，不妨設垂足為點M，正方體棱長為a，則球半徑R＝eq\f(a,2)，易知DM＝eq\f(1,3)DB1，所以OM＝eq\f(1,6)DB1＝eq\f(\r(3),6)a，所以截面圓半徑r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2－OM2)＝eq\f(\r(6),6)a，由截面圓面積S＝πr2＝6π，得r＝eq\f(\r(6),6)a＝eq\r(6)，即a＝6，所以球O的半徑R＝eq\f(a,2)＝3，故選B.12．答案：A解析：設正三棱錐的底面邊長為a，外接球的半徑為R，因為正三棱錐的底面為正三角形，邊長為a，所以AD＝eq\f(\r(3),2)a，則AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(\r(3),3)a，所以eq\f(\r(3),3)a＝R，即a＝eq\r(3)R，又因為三棱錐的體積為2eq\r(3)，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2R＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3)R)2×R＝2eq\r(3)，解得R＝2，所以球的表面積S＝4πR2＝16π，故選A.13．答案：4π解析：將三棱錐S-ABC補成以SA、AB、BC為棱的長方體，易得其對角線SC為球O的直徑，即2R＝SC＝2?R＝1，所以表面積為4πR2＝4π.14．答案：eq\r(5)︰15︰1解析：設球O1、球O2的半徑分別為R，r，由于正三棱柱的六個頂點均在同一個球面上，所以球心O1在上、下底面中心連線段的中點處，又球O2與正三棱柱的5個面都相切，所以點O2與O1重合．如圖，取上、下底面的中心分別為F，E，BC的中點為D，EF的中點為O1，連接EF，AD，O1A，則E在AD上，O1A＝R，O1E＝r，在△O1EA中，AE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，O1E＝r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)a，由于O1A2＝O1E2＋AE2，所以R2＝eq\f(5,12)a2，r2＝eq\f(1,12)a2，則球O1與球O2的半徑之比為eq\r(5)︰1，所以球O1與球O2的表面積之比為eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(R2,r2)＝eq\f(\f(5,12)a2,\f(1,12)a2)＝5︰1.15．答案：eq\f(\r(15),6)解析：當平面ADC與平面BCD垂直時，四面體ABCD的體積最大，因為AD＝AC＝1，所以可設等腰三角形ACD的底邊CD＝2x，高為h，則x2＋h2＝1，此時四面體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2x×h2＝eq\f(1,3)x(1－x2)，則V′＝eq\f(1,3)－x2，令V′＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)，從而h＝eq\f(\r(6),3)，則CD＝AB＝eq\f(2\r(3),3)，故可將四面體ABCD放入長、寬、高分別為a，b，c