第二十七章相似（單元重點綜合測試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023上·福建寧德·九年級福鼎市第一中學?？计谥校┮阎瑒t下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了比例的性質，解決問題的關鍵是掌握：內項之積等于外項之積．【詳解】解：∵，∴，，，∴四個選項中，只有C選項符合題意，故選C．2．（2023上·上海靜安·九年級上海市回民中學校考期中）在中，點分別在的延長線上，已知，下列各式不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的判定即可求得答案．【詳解】解：A、根據有，結合則，故本選項不符合題意；B、根據和則有，故本選項不符合題意；C、由不能判定，故本選項符合題意；D、根據有，結合則，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的判定，熟練掌握判定條件是關鍵．3．（2023下·山東煙臺·八年級統考期末）操場上有一根豎直的旗桿，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在操場的墻壁上，經測量，墻壁上的影高為，地面的影長為，同時測得一根高為的竹竿的影長是，請根據以上信息，則旗桿的高度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先需先求出旗桿全落在地面上的影子的長，即落在水平地面上的影長于落在操場的墻壁上的影長之和，同時測得一根高為的竹竿的影長是，根據同一時刻物高與影長的比值相等，即可列出方程求出答案．【詳解】解：由題意可知，墻壁上的影高為，同時測得一根高為的竹竿的影長是，設這段影子在地面上的長為，可得：，，旗桿落在地面上的影子的長是：，設旗桿的高度為,根據題意可得：，，旗桿的高度為．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，根據相似三角形對應邊成比例列方程是解題關鍵．4．（2020上·北京順義·九年級統考期末）如圖，在正方形網格上有5個三角形（三角形的頂點均在格點上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，與①相似的三角形是（

）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤【答案】A【分析】根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可判斷．【詳解】解：由題意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，又∵，∴，，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．5．（2010上·江蘇無錫·八年級統考期中）如圖，中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是．以點C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍．設點B的對應點的橫坐標是a，則點B的橫坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點B作軸于D，過點作軸于，根據相似三角形的性質求出的長，得到點B的橫坐標．【詳解】解：如圖所示，過點B作軸于D，過點作軸于，

∵點C的橫坐標是，的橫坐標是，∴，由題意得，，相似比為1：2，∴，∴，∴，∴點B的橫坐標是．故選：D．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，位似圖形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．6．（2023上·陜西西安·九年級高新一中?？茧A段練習）如圖，小明晚上由路燈下的點處走到點處時，測得自身影子的長為1米，他繼續往前走3米到達點處，測得自己影子的長為2米，已知小明的身高是1.5米，那么路燈的高度是（

）

A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米【答案】B【分析】設米，米，先根據題意可得出，，再根據相似三角形的判定與性質即可得．【詳解】設米，米，則米，米，由題意得：，，米，，，，，即，解得，經檢驗，是所列分式方程組的解，則米，故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．7．（2023上·安徽安慶·九年級統考期中）如圖，直線分別交x軸、y軸于點C，D，點P為反比例函數在第一象限內圖像上的一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線交直線于點A，B，且，則下列結論錯誤的是（）

A．與相似 B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數的性質，三角形相似的判定，平行坐標軸上的兩點間的距離，如圖，過B作軸于點F，過A作軸于點E，利用等腰直角三角形的性質，反比例函數性質等計算即可，熟練掌握性質和判定是解題的關鍵【詳解】如圖，過B作軸于點F，過A作軸于點E.在一次函數中，令，則；令，則，，，，和都是等腰直角三角形，.，.又，，同理可得，，故選項A正確；

和都是等腰直角三角形，，，，故選項B正確；，，即，故選項C正確；設，則，，，即，故選項D錯誤.故選D.8．（2023上·四川遂寧·九年級?？计谥校┤鐖D，是面積為1的等邊三角形，取邊中點，作，，，．分別交，于點，，得到四邊形，它的面積記作；取中點，作，，，分別交，于點，，得到四邊形，它的面積記作……照此規律作下去，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的性質，先根據，為的中點，利用三角形相似的性質得到四邊形的面積是面積的一半，再利用同樣的辦法求出，找出，之間的規律，根據規律得出的值．【詳解】解：，．點為邊的中點．．．．．同理，．．同理，．．故選C．9．（2023上·福建泉州·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點從點出發，沿以的速度向點移動，點從點出發，以的速度向點移動，若點分別從點同時出發，設運動時間為，當取（

）時，與相似．A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據題意，用含的式子分別表示出，，，，分類討論，第一種情況，當時；第二種情況，當時；根據相似三角形的判定方法即可求解．【詳解】解：已知，，，點的速度為，點的速度為，設運動時間為，∴，，∴，，第一種情況，當時，，∴，整理得，，∴；第二種情況，當時，，∴，整理得，，∴；綜上所述，當或時，與相似，故選：．【點睛】本題主要考查動點與三角形的關系，相似三角形的判定和性質，理解題目中動點的運動規律，找出邊的數量關系，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．10．（2023上·安徽·九年級校聯考期中）如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F，連接，與相交于點H，給出下列結論：①；②；③；④；⑤；其中正確結論的個數是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據等邊三角形的性質，正方形的性質，直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半；三角形相似的判定，勾股定理證明判斷即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，故①正確；∵是等邊三角形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④正確；在中，，∴，，∴，故③錯誤；設，則，根據勾股定理得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故⑤正確．綜上分析可知，正確的結論有4個，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，三角形相似的判定，勾股定理，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽彩虹學校校考期中）如圖，四邊形四邊形，若，，則的度數為．

【答案】100【分析】利用相似多邊形的對應角相等求得答案即可．【詳解】∵四邊形四邊形，，，，，故答案為：．【點睛】考查了相似多邊形的性質，解題的關舞是了解相似多邊形的對應角相等，難度不大．12．（2019下·北京石景山·八年級統考期末）如圖，和中，，添加一個適當的條件，使．

【答案】（答案不唯一）【分析】由，可得，故添加即可使得．【詳解】解∶添加理由：∵，∴，即，又，∴．故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關鍵．13．（2023上·陜西西安·九年級西安市東方中學校聯考期中）鸚鵡螺是一類古老的軟體動物.鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，是的黃金分割點（），若線段的長為，則的長為cm.（結果保留根號）

【答案】【分析】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵點P是的黃金分割點（），線段的長為，∴，∴．故答案為：．14．（2023上·安徽亳州·九年級統考階段練習）《墨經》記載，在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了世界上第1個“小孔成像”的實驗，闡釋了光的直線傳播原理，如圖所示的小孔成像實驗中可簡化為數學問題：與相交于點，．若點到的距離為，點O到的距離為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是．

【答案】【分析】先證明，再根據相似三角形對應高的比等于相似比得到，即可得到答案．【詳解】解：∵∴∴又∵點O到的距離為，點O到的距離為，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質，熟知“相似三角形對應高的比等于相似比”是解題的關鍵．15．（2023上·福建泉州·九年級統考期中）在中，是邊上的中線，是重心，如果，那么線段的長是．【答案】【分析】本題主要考查三角形重心的性質，“重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為”即可求解，掌握三角形重心的性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，是邊上的中線，是重心，

∵是邊上的中線，是重心，又∵，∴，∴，故答案為：．16．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖，原點是和的位似中心，點與點是對應點，的面積是3，則的面積是．

【答案】12【分析】根據坐標可得，，即可得和的位似比是：，則有和的面積的比是，問題得解．【詳解】解：∵點與點是對應點，原點是位似中心，∴，，∴和的位似比是：，∴和的面積的比是，又∵的面積是3，∴的面積是12．故答案為：12．【點睛】本題考查位似圖形和相似三角形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形面積比和相似比的關系．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2023上·陜西漢中·九年級統考期中）如圖，直線，且直線分別截直線于點，，，截直線于點，．

(1)若，求的長；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理．（1）由平行線分線段成比例定理得到，代入已知線段長度即可得到的長；（2）由平行線分線段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的長．【詳解】（1）解：如圖，

∵，∴，∵，，，∴，即的長為；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．18．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，三個頂點的坐標分別為，，．(1)畫出關于x軸對稱的，則點的坐標為______；(2)以點O為位似中心，在第一象限內，將放大為原來的2倍，得到，請在網格中畫出，的坐標為______．【答案】(1)畫圖見解析，(2)畫圖見解析，【分析】此題考查了作軸對稱圖形，畫關于原點對稱的圖形，正確掌握軸對稱的性質及中心對稱作圖是解題的關鍵．（1）分別確定對稱點，，，順次連線即可；（2）分別連接，，并延長二倍，確定點，，，順次連線即可得到．【詳解】（1）即為所求，；

（2）即為所求；

由圖可知：．19．（2023下·江蘇蘇州·八年級蘇州工業園區星灣學校校考階段練習）如圖，在中，的平分線交于點E，的平分線交于點F．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）根據平行四邊形的性質和菱形的判定解答即可；（2）根據菱形的性質和平行四邊形的性質可以得到，設，根據相似多邊形的性質可得，列方程求出的值，從而可解答本題．【詳解】（1）證明：∵的平分線交于點，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∴．∴．同理：．∴．∵∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形；（2）解：由（1）知，四邊形是菱形，又四邊形是平行四邊形，，設，∵四邊形是平行四邊形，且，∴，，即，整理得，解得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的性質以及相似多邊形的性質，求出與的數量關系是解答本題的關鍵20．（2022上·江蘇揚州·九年級?？茧A段練習）如圖，F為四邊形邊上一點，連接并延長交延長線于點E，已知．(1)求證：；(2)若四邊形為平行四邊形，，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)的長度為4【分析】（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到結論；（2）先證明，利用平行線分線段成比例，列出比例式，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，即．【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質及相似三角形的判定，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊、對頂角等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用．21．（2023上·安徽亳州·九年級統考階段練習）如圖，在的邊長為1的小正方形網格中，的三個頂點都在格點上．

(1)直接寫出的形狀______；(2)若垂足為D，證明：；(3)拓展應用：在A時測得某樹（垂直于地面）的影長為4米，C時又測得該樹的影長為16米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為______米．（直接寫出結果）【答案】(1)直角三角形(2)見解析(3)【分析】（1）利用勾股定理求得，的長，再利用勾股定理的逆定理即可求解；（2）證明，即可證明；（3）利用（2）的結論即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，，∴是直角三角形，故答案為：直角三角形；（2）證明：由（1）知是直角三角形，且，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由題意得，，米，米，由（2）得，∴，∴米，∴樹的高度為米．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．22．（2023上·河南開封·九年級統考期中）某數學學習小組在學習了相似三角形以后，他們發現對于同一個物體在燈光下，它的影子的長度與電燈到物體的距離有一定的關系，利用物體影子的長度可以計算電燈到物體的距離，利用電燈到物體的距離也可以計算物體影子的長度．下面是他們的試驗內容，請解答：

(1)如圖①，放在水平地面上的正方形框架，在其正上方有一個小射燈，在小射燈的照射下，正方形框架在地面上的影子為、，若正方形框架的邊長為，，則________；小射燈離地面的距離為_______．(2)如圖②，不改變（1）中的條件，將另一個同樣大小的小正方形框架緊貼在原小正方形框架的左邊并排擺放，即正方形．求小射燈下的影長的長度．(3)如圖③，小射燈到地面的距離為，一共有個邊長為的小正方形框架（無重疊）并排如圖擺放，影長與的和為__________________（用、、表示）．【答案】(1)；80(2)(3)【分析】此題重點考查正方形的性質、相似三角形的判定與性質、相似三角形的性質在實際問題中的應用等知識與方法，（1）設于點，交于點，由正方形的性質得，，，，則，所以，再證明，得，則，所以，求得，于是得到問題的答案；（2）由（1）得，，，則，，，可證明，得，于是得，求得，則小射燈下的影長的長度為；（3）設于點，交于點，則，，，由，得，則，所以，于是得到問題的答案．此題綜合性強，難度較大，正確理解和應用相似三角形的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）如圖①，于點，交于點，

四邊形是邊長為的正方形，，，，，，，，，點在正方形的正上方，，，，，，，