考點09軸對稱圖形軸對稱圖形主要包括軸對稱的概念、線段的垂直平分線、軸對稱圖形、等腰三角形的性質與判定以及軸對稱圖形的作圖；在中考中軸對稱與軸對稱的性質、線段的垂直平分線主要以選擇和填空的形式進行考查，難度較低；畫軸對稱圖形往往會考查尺規作圖；等腰三角形的考查形式有多種，包括選擇、填空和解答都有考查的可能，難度中等。一、軸對稱；二、線段和角的軸對稱性；三、等腰三角形。考向一：軸對稱1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。2.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.3.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸。4.成軸對稱的兩個圖形的性質：①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.5.軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系區別:軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．6.用坐標表示軸對稱點（,）關于軸對稱的點的坐標為（,－）；點（,）關于軸對稱的點的坐標為（－,）；點（,）關于原點對稱的點的坐標為（－,－）.7.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.1．（2022·山東濟南·模擬）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據軸對稱圖形特點分別分析判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、是軸對稱圖形，符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、不是軸對稱圖形，不符合題意，故答案為：B．2．如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕l，則l是的（）A．中線 B．角平分線 C．高線 D．以上都不對【答案】B【分析】根據折疊的性質可得，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖，∵由折疊的性質可知，∴是的角平分線，即l是的角平分線，故選：B．3．（2022·河南·漯河市第三中學九年級期末）如圖，四邊形ABCD為一長條形紙帶，ABCD，將四邊形ABCD沿EF折疊，A、D兩點分別與A′、D′對應，若∠1=2∠2，則∠AEF的度數為（

）A．60° B．72° C．65° D．75°【答案】B【分析】由翻折的性質可得∠AEF＝，由平行線的性質可得∠AEF＝∠1，設∠2＝x，易得∠AEF＝∠1＝＝2x，然后根據平角的定義構建方程即可解決問題．【詳解】解：由翻折的性質可知：∠AEF＝，∵ABCD，∴∠AEF＝∠1，設∠2＝x，則∠AEF＝∠1＝＝2x，∵∠AEB＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝2x＝72°，故選：B．4．在平面直角坐標系中，點（，4）關于軸的對稱點的坐標是（

）A．（2，4） B．（4，） C．（，2） D．（，）【答案】D【分析】利用關于x軸的對稱點的坐標特點可得答案．【詳解】解：點（，4）關于軸的對稱點的坐標是（，）．故選：D．5．在平面直角坐標系中，點關于x軸對稱點的點B所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質結合平面直角坐標中坐標的特點即可得出答案．【詳解】解：∵點A的坐標是．作點A關于x軸的對稱點，得到點B，∴點，∴點B所在的象限是第四象限，故選：D．考向二：線段和角的軸對稱性1.線段的垂直平分線：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．2.線段的軸對稱性（1）線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.（2）線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；

（3）線段垂直平分線的性質定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點在線段的垂直平分線3.角的軸對稱性（1）角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.（2）角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（3）角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.1．在聯歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當的位置是在的（

）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【答案】A【分析】根據題意得：當木凳所在位置到A、B、C三個頂點的距離相等時，游戲公平，再由線段垂直平分線的性質，即可求解．【詳解】解：根據題意得：當木凳所在位置到A、B、C三個頂點的距離相等時，游戲公平，∵線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，∴凳子應放的最適當的位置是在的三邊垂直平分線的交點．故選：A2．已知直線是線段的垂直平分線，并且垂足為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據線段垂直平分線的性質進行求解即可．【詳解】解：∵直線是線段的垂直平分線，并且垂足為，，∴，故選C．3．（2022·貴州·貴陽清鎮北大培文學校一模）如圖，，，則下列判斷正確的是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．與互相垂直平分 D．平分【答案】A【分析】根據全等三角形的性質得到，根據等腰三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：在與中，，，，垂直平分，故選：．4．已知（），用尺規作圖的方法在上確定一點P，使，則符合要求的作圖痕跡是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用線段垂直平分線的性質以及圓的性質分別分得出即可．【詳解】解：A、如圖所示：此時，則無法得出，故不能得出，故此選項錯誤；B、如圖所示：此時，則無法得出，故不能得出，故此選項錯誤；C、如圖所示：此時，則無法得出，故不能得出，故此選項錯誤；D、如圖所示：此時，故能得出，故此選項正確；故選：D．5．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周長是（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】D【分析】根據線段垂直平分線的定義得到AD=BD，即可求出答案．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∵AC=5cm，BC=4cm，∴△DBC的周長=CD+BD+BC=CD+AD+BC=AC+BC=9(cm)，故選：D．考向三：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.1．（2022·山東·濟南九中模擬）如圖，在中，點D是上的點，，將沿翻折得到，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據等邊對等角得到，根據翻折的性質以及三角形內角和定理得到，再利用外角性質得到，進一步求出．【詳解】解：∵，∴∵將沿翻折得到，∴，∵，∴，故選：A2．（2022·山東濟南·模擬）如圖，在中，，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結并延長交于點D，則下列說法中不正確的是（

）A．是的平分線 B．C．點D在的中垂線上 D．【答案】D【分析】A根據作圖的過程可以判定是的角平分線；B利用角平分線的定義可以推知，則由直角三角形的性質來求的度數；C利用等角對等邊可以證得，由線段垂直平分線的判定可以證明點D在的中垂線上；D利用角所對的直角邊是斜邊的一半求出，進而可得．【詳解】解：根據作圖方法可得是的平分線，故A正確；∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，故B正確；∵，∴，∴點D在的中垂線上，故C正確；∵，∴，∵，∴，∴，故D錯誤，故選：D．3．如圖．在中，．若是的角平分線，則下列說法錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據等腰三角形的三線合一性質解題．【詳解】∵，是的角平分線，∴，，∴．故選D．4．（2022·寧夏·銀川市第九中學二模）將一把直尺和一個含45°角的一個直角三角板如圖放置，若，則的度數是（

）A．45° B．73° C．62° D．75°【答案】B【分析】根據等腰直角三角形的性質和外角的性質得到的度數，再由平行線的性質即可求解．【詳解】解：由題可知，，∴∵，∴故選：B．5．如圖在中，邊，的垂直平分線交于點，連結，，若，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，根據垂直平分線的性質得到，再根據等腰三角形的性質，即可得到，，得出，再根據三角形的內角和定理得到，得到，根據三角形內角和的性質即可求出的度數．【詳解】解：如圖，連接∵邊，的垂直平分線交于點，，∴，，，，在中，，，在中，．故選：A．1．（2022·山東·濟南九中模擬）下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸最多的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【詳解】A選項是軸對稱圖形，有4條對稱軸；B選項不是軸對稱圖形；C選項是軸對稱圖形，有6條對稱軸；D選項是軸對稱圖形，有1條對稱軸．故選：C2．到三個頂點距離相等的點是的（

）A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點C．三條高的交點 D．三條垂直平分線的交點【答案】D【分析】根據線段垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等解答即可．【詳解】解：設點P是三條垂直平分線的交點，根據垂直平分線的性質可知，點P到的三個頂點距離相等．故選D．3．（2022·山東·濟南市東方雙語實驗學校模擬）下列是國際數學家大會會徽中的部分圖案，屬于軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據軸對稱圖形的定義解答即可．【詳解】解：A.，不是軸對稱圖形，故不符合題意；B.，不是軸對稱圖形，故不符合題意；C.，不是軸對稱圖形，故不符合題意；D.，是軸對稱圖形，符合題意．故選：D4．如圖，在中，，則的值為（）A．7 B． C． D．8【答案】D【分析】作點關于的對稱點，連接，過點作于點，根據含30度角的直角三角形的性質求得，進而等面積法即可求解．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接，過點作于點，∵∴在的延長線上，，，∴，∵，∴，故選：D．5．（2022·貴州遵義·三模）如圖，在中，平分，，，，則的周長為（）A．2 B．24 C．27 D．3【答案】C【分析】根據題意在上截取，連接，由可證≌，可得，，可證，可得，進而即可求解．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，∵平分，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長＝，故選：C．6．如圖是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖，再沿折疊成圖，則圖中的的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行線的性質可得∠BFE=∠DEF=22°，則在圖a中，∠CFE=158°，進而可得在圖b中，∠BFC=136°，進而在圖c中即可求解．【詳解】解：∵，且，∴∠BFE=∠DEF=22°，∴在圖a中，∠CFE=180°∠BFE=158°，∴在圖b中，∠BFC=158°22°=136°，∴在圖c中，∠CFE=136°22°=114°，故選：B．7．如圖，是長方形紙片的對角線，E、F分別是邊上的點，連接，將紙片沿翻折，使得A、B的對應點分別是，且點在的延長線上，與相交于點G，連接，若恰好平分，且，則的度數為______°．【答案】135【分析】由折疊可知，，推出，所以，在四邊形中，，推出，所以，進而求出．【詳解】解：由折疊可知，，∵，∴，∴，在四邊形中，，∵平分，∴，∴，∴，故答案為：．8．如圖，△中沿將四邊形翻折，使點、點分別落在點和點處，再將△AEF沿AF翻折，使點落在點處，若，，則的度數為_____________．【答案】85°【分析】由折疊的性質，先求出，然后利用，求出，再利用三角形的外角性質，即可求出的度數．【詳解】解：根據題意，在中，，∴，∴，由折疊的性質，則，在中，，∵，∴，∴，∴；故答案為：85°9．如圖，等腰中，，，，，當的值最小時，的面積為__．【答案】【分析】過點作，使，連接，證明，得出，得出A、、三點共線時，的值最小，即的值最小，證明，得出，過點作于，得出，最后利用三角形的面積公式求出結果即可．【詳解】解：過點作，使，連接，∵，，，，，，∵在和中，，，，連接交于，在中，由三角形三邊關系可得，則A、、三點共線時，的值最小，即的值最小，∵，，在和中，，，過點作于，，，的面積為．故答案為：．10．在平面坐標系中點與點關于y軸對稱，則_____．【答案】【分析】根據對稱性，即可求得a和b的值，然后代入即可得解．【詳解】解：由點與點關于軸對稱，可知，∴，∴，故答案為：．11．（2022·寧夏·固原市原州區三營中學一模）如圖，在中，，，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線交于點D，連接，則_______．【答案】【分析】利用基本作圖得到垂直平分，則根據線段垂直平分線的性質得到，所以，然后計算即可．【詳解】解：由作法得垂直平分，∴，∴，∴．故答案為：．12．如圖所示，中，，，的垂直平分線交于點E，交于點F，求證：．【答案】見解析【分析】連接，先根據等腰三角形的性質求出及的度數，再由線段垂直平分線的性質得出，，由此可得出的度數，由直角三角形的性質即可得出結論．【詳解】證明：連接，如圖所示：∵在中，，，∴，∵的垂直平分線交于點E，∴，∴，∴，∵，∴，∴．13．（2022·山東濟南·模擬）如圖，已知于點C，于點D，交于點E．求證：．【答案】見解析【分析】利用證明，可得，即可求證．【詳解】證明：∵，，∴，即均為直角三角形，∵，，∴，∴，∴．14．（2022·吉林長春·一模）如圖，線段上兩點C，D，，，，連接并延長至點M，連接并延長至點N，、交于點P，．求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】先根據“”證明≌，再根據全等三角形的性質得，然后根據平行線的性質得，，即可得出，最后根據“等角對等邊”得出答案．【詳解】證明：∵，∴，即．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形．15．如圖，在中，，在邊上截取，連接，過點D作交于點E．(1)求證：；(2)若，在不添加字母和線段的前提下，直接寫出圖中所有的等腰三角形（不用證明）．【答案】(1)見解析(2)、、【分析】（1）由等邊對等角可得，且，，即可得到，再由等角對等邊即可得出結論；（2）①由（1）可得是等腰三角形；②，即可得出結論；③是等邊三角形，則，則根據三角形的外角定理，即可得出結論．【詳解】（1）證明：，，，，，，，；（2）①由（1）可得是等腰三角形；②，可得是等腰三角形；③，，是等邊三角形，則，，是等腰三角形．所以等腰三角形是、、．16．如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1，的頂點都在格點上，已知點A的坐標為．請按要求分別完成下列各小題：(1)畫出關于y軸對稱的并直接寫出點A的對應點的坐標；(2)若點D為y軸上一點，且的面積為，求點D的坐標．【答案】(1)見解析，(2)或【分析】（1）根據軸對稱的性質分別作出關于軸的對稱點，寫出點的坐標即可；（2）根據三角形面積求出的長，則結果可得．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．點A1的坐標為；（2）解：∵點A的坐標為，∴點到軸的距離為，∵的面積為，∴，∴點D的坐標為或．17．如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的頂點在格點上．請用無刻度尺按要求作圖：(1)作△ABC的高AH；(2)①找一格點D使AD⊥AC且AD＝AC；②連接CD，在CD上畫出一點F，連AF，使AF將四邊形ABCD的面積平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據三角形的高的定義畫出圖形即可，注意高線是實線；（2）①根據要求作出圖形即可；②取格點T連接BT，AT，CT，則BT∥AC，推出△ACB與△ATC的面積相等，作出△ADT的中線AF即可（取P，Q，連接PQ交DT于點F)．【詳解】（1）解：如圖（1）所示，線段AH即為所求，（2）①如圖所示，線段AD即為所求；②如圖所示，線段AF即為所求；18．如圖，已知△ABC的頂點都在圖中方格的格點上．(1)畫出△ABC關于x軸對稱的△A′B′C′，并直接寫出A′、B′、C′三點的坐標．(2)△A′B′C′的面積是；(3)在y軸上找一點P使得PA+PB最小，畫出點P所在的位置（保留作圖痕跡，不寫畫法）【答案】(1)，，，圖見解析(2)10.5(3)見解析【分析】（1）確定點A，B，C關于x軸的對稱點，，，再連接即可得出對稱圖形，然后確定點的坐標即可；（2）根據三角形的面積=矩形的面積3個直角三角形的面積計算即可；（3）點A關于y軸的對稱點為，可知，要求最小，即求最小，根據兩點之間線段最短可知連接與y軸的交點符合題意．【詳解】（1）如圖所示，即為所求．，，．（2）．故答案為：10.5；（3）如圖，點P即為所求．19．在平面直角坐標系中，已知，，．(1)如圖1，若，于點，軸交于點，則__；(2)如圖2，若，的平分線交于點，過上一點作，交于點，是的高，探究與的數量關系；(3)如圖3，在（1）的條件下，上點滿足，直線交軸于點，求點的坐標．【答案】(1)6(2)，證明見解析(3)點【分析】（1）證明是等邊三角形，從而得到是含的直角三角形，進而得到，列式計算即可得解；（2）根據，得到是等腰直角三角形，作，交于，交的延長線于，證明，得到，進而得到：，再證明，得到，即可得解；（3）過點作于，于，連接，根據已知條件，證明平分，得到，利用直角三角形斜邊上的中線，得到，，得到，進而得到，通過三角形內角和定理，以及對頂角相等，得到，利用互余關系得到，進而得到，即可得解．【詳解】（1）解：，．，且，，，是等邊三角形，，，軸，，，，，，，，解得，，故答案為：6；（2），證明如下：，，，且，，，，，是直角三角形，且，，平分，，，，如圖2，作，交于，交的延長線于，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，過點作于，于，連接，由（1）可知，，，，，，，，且，，，，，，平分，，，，，，，，，點．20．已知點，，在同一直線上，、均為等邊三角形．(1)問題發現：如圖1，若點、在直線的同側時，求證：；(2)拓展探究：如圖2，若點、在直線的異側時，連接并延長交于點，連接，求；(3)解決問題：如圖3，點、在直線的異側，點在線段上運動時，過點作，垂足為點，且與點不重合，若，，則的長為_____（直接用含、的式子寫出結論）．【答案】(1)證明見解析(2)(3)或【分析】（1）根據和都是等邊三角形得出，，利用可證明；（2）在上截取，連接，如圖2，證出為等邊三角形，由等邊三角形的性質得出，，證明，由全等三角形的性質得出，由三角形內角和定理可得出答案；（3）分兩種情況，當F在線段的延長線上時或當點F在線段上時，由全等三角形的性質及直角三角形的性質可得出答案．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即．在和中，，∴；（2）解：在上截取，連接，如圖2，由（1）得：，∴，又∵，∴，∴為等邊三角形，∴，，在等邊中，，，∴，即，∴，∴，又∵，∴；（3）解：如圖2，當在線段的延長線上時，由（2）可知，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，同理可得，∴，∴；如圖3，當點在線段上時，同理可得，∴，∴，綜上所述，的長為或．故答案為：或．1．（2022·江蘇南通·中考真題）下面由北京冬奧會比賽項目圖標組成的四個圖形中，可看作軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D．是軸對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．2．（2022·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標系中，點A與點關于軸對稱，點A與點關于軸對稱．已知點，則點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用關于x，y軸對稱點的性質分別得出A，點坐標，即可得出答案．【詳解】解：∵點的坐標為（1，2），點A與點關于軸對稱，∴點A的坐標為（1，2），∵點A與點關于軸對稱，∴點的坐標是（1，﹣2）．故選：D．3．（2022·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【詳解】解：當3是腰時，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，此時等腰三角形的周長為3＋3＋5＝11（cm），當5是腰時，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，此時等腰三角形的周長為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D4．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝4，EC＝2，則BC的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到EB＝EA＝4，結合圖形計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝4，∴EB＝EA＝4，∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，故選：C．5．（2022·江蘇鎮江·中考真題）如圖，有一張平行四邊形紙片，，，將這張紙片折疊，使得點落在邊上，點的對應點為點，折痕為，若點在邊上，則長的最小值等于_________．【答案】2【分析】根據題意，，當點與點重合時，符合題意，據此即可求解．【詳解】解：∵將這張紙片折疊，使得點落在邊上，點的對應點為點，∴，而,當點與點重合時，，此時的長最小，∴．故答案為：2．6．（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．【答案】6【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根據三角形三邊關系即可得出結果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3∴AB=AC當AB=AC=2BC時，△ABC是“倍長三角形”；當BC=2AB=2AC時，AB+AC=BC，根據三角形三邊關系，此時A、B、C不構成三角形，不符合題意；所以當等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．故答案為6．7．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，在四邊形中，．設，則______（用含的代數式表示）．【答案】【分析】由等腰的性質可得：∠ADB=，∠BDC=，兩角相加即可得到結論．【詳解】解：在△ABD中，AB=BD∴∠A=∠ADB=在△BCD中，BC=BD∴∠C=∠BDC=∵∴====故答案為：．8．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖．在中，，．若，則______．【答案】54°【分析】首先根據等腰三角形的性質得出∠A=∠AEF，再根據三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度數，最后根據三角形的內角和定理求出∠B的度數即可．【詳解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°∠A∠C=54°．故答案為：54°．9．（2021·江蘇無錫·中考真題）已知：如圖，，相交于點O，，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）根據AAS，即可證明；（2）根據全等三角形的性質得OB=OC，進而即可得到結論．【詳解】證明：（1）在與中，∵，∴（AAS）；（2）∵，∴OB=OC，∴．10．（2020·江蘇淮安·中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為、、，測得，，千米，求、兩點間的距離．（參考數據：，，結果精確到1千米）．【答案】、兩點間的距離約為11千米．【分析】如圖（見解析），先根據直角三角形的性質、勾股定理可求出CD、AD的長，再根據等腰直角三角形的判定與性質可得BD的長，然后根據線段的和差即可得．【詳解】如圖，過點C作于點D在中，，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、兩點間的距離約為11千米．1．（2022·江蘇·鹽城市初級中學一模）垃圾分類可以有效減少垃圾對環境的污染，因此我們應增強環保意識，積極參與垃圾分類，共享低碳生活．下列有關垃圾分類的圖標，是軸對稱圖形的有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據軸對稱圖形的定義逐項判斷即可．【詳解】解：將A圖沿過中心豎直的直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；圖B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．故選：A．2．（2022·江蘇·南京師范大學附屬中學樹人學校二模）如圖，在中，，，P是上的一個動點，則的度數可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意利用等腰三角形性質求出以及角的度數，從而得知的取值范圍即可進行判斷【詳解】∵，，∴，∵，∴，在這個范圍的角度只有故選：C．3．（2022·江蘇·蘇州工業園區金雞湖學校一模）已知直線一塊含45°角的直角三角板如圖放置．若，則的度數為（）A．54° B．63° C．64° D．72°【答案】B【分析】由等腰直角三角形可得，由平行線的性質得，再由三角形的外角性質可求得，根據對頂角相等得的度數．【詳解】解：如圖，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴．故選：B．4．（2022·江蘇南京·二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC．為證明“等邊對等角”這一結論，常添加輔助線AD，通過證明△ABD和△ACD全等從而得到角相等．下列輔助線添加方法和對應全等判定依據有錯誤的是（

）A．角平分線AD，全等依據SAS B．中線AD，全等依據SSSC．垂直平分線AD，全等依據HL D．高線AD，全等依據HL【答案】C【分析】根據角平分線、中線、高線和垂直平分線的性質以及全等三角形的判定逐項分析即可．【詳解】解：A、∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SAS），即添加方法和對應全等判定依據正確；B、∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），即添加方法和對應全等判定依據正確；C、作輔助線時，不能直接說BC的垂直平分線經過了點A，即添加方法和對應全等判定依據錯誤；D、∵AD是BC邊上的高線，∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，∴在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（HL），即添加方法和對應全等判定依據正確；故選：C．5．（2022·江蘇徐州·二模）如圖，在中，，．分別以點A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E兩點，直線DE交BC于點F，連接AF．以點A為圓心，AF為半徑畫弧，交BC延長線于點H，連接AH．若，則的周長為（

）A．8 B．6 C．4 D．【答案】A【分析】直接利用基本作圖方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC，即可得出答案．【詳解】解：由基本作圖方法得出：DE垂直平分AB，則AF＝BF，可得AF＝AH，AC⊥FH，∴FC＝CH，∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4，∴△AFH的周長為：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝8．故本題選擇A．6．（2022·江蘇·南通市陳橋中學一模）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面積為10，BD平分∠ABC，若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值為（

）A．4 B．5 C．4.5 D．6【答案】B【分析】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M'，過點M'作M'N'⊥BC于點N'，根據角平分線的性質可得M'N'=M'E，從而得到CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN的最小值，求出CE，即可求解．【詳解】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M'，過點M'作M'N'⊥BC于點N'，如圖：∵BD平分∠ABC，M'E⊥AB，M'N'⊥BC，∴M'N'=M'E，∴CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN的最小值，此時M與M'重合，N與N'重合，∵三角形ABC的面積為10，AB=4，∴，∴CE=5．即CM+MN的最小值為5．故選：B．7．（2022·江蘇·江陰市第一初級中學一模）如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE外部時，則∠A與∠1、∠2之間的數量關系是（

）A．2∠A=∠1∠2 B．3∠A=2（∠1∠2）C．3∠A=2∠1∠2 D．∠A=∠1∠2【答案】A【分析】根據折疊的性質可得，根據平角等于用表示出，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用與表示出，然后利用三角形的內角和等于列式整理即可得解．【詳解】解：是沿折疊得到，，又，，，即，整理得：．故選：A．8．（2022·江蘇·射陽縣第六中學二模）在直角坐標系中，點關于x軸的對稱點為，將點向左平移3個單位得到點，則的坐標為______．【答案】【分析】直接利用關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數，得出點坐標，再利用平移的性質得出的坐標．【詳解】解：∵點關于x軸的對稱點為，∴，∵將點向左平移3個單位得到點，∴的坐標為．故答案為：．9．（2022·江蘇·建湖縣匯杰初級中學三模）如圖，在平面直角坐標系中，等腰的底邊在x軸上，頂點C在y軸上，若點，則點A的坐標為___________．【答案】【分析】根據等腰三角形的“三線合一”可得，即可求解．【詳解】解：∵是等腰三角形，，且，∴，∵點，∴，∴點A的坐標為．故答案為：10．（2022·江蘇徐州·二模）如圖，直線，含30°角的三角板的直角頂點C在上，頂點A在上，邊BC與交于點D，如果，，那么點D到AB的距離為______．【答案】2【分析】過點D作DE⊥AB于E，利用30°角的性質得到DE=．【詳解】解:過點D作DE⊥AB于E，∵l1∥l2，∴∠DAC=∠1=30°，又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=∠BAC∠DAC=30°，在直角△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=30°，∴DE=，故答案為2．11．（2022·江蘇無錫·二模）把一張邊長為8cm的正方形紙片按如圖所示的方法對折兩次后剪去兩個角，打開后得到一個正多邊形．（1）如果打開后得到一個正方形，則這個正方形的邊長為______．（2）有以下5個正多邊形：①正五邊形；②正六邊形；③正八邊形；④正十邊形；⑤正十二邊形，其中打開后可以得到是______．（只填序號）【答案】

③⑤【分析】由題意折疊后有4層紙，可知展開圖的正多邊形的邊長數目應為4的倍數，同時通過簡單的動手操作也可得出相關結論．【詳解】解：（1）分別過兩直角邊中點，構造等腰直角三角形，按照如圖紅線位置進行裁剪可得正方形．折疊兩次后三角形的直角邊長為，裁剪后展開的正方形邊長為．（2）過直角的角平分線與斜邊的交點，構造頂角為等腰三角形，按照如圖紅線位置進行裁剪可得正八邊形．過直角三等分線與斜邊的交點，構造頂角為的等腰三角形，按照如圖紅線位置進行裁剪可得正十二邊形．

故答案為：，③⑤12．（2022·江蘇·常州市朝陽中學一模）如圖，在中，，點E、F分別是邊上，且．若，則_________°．【答案】54°【分析】根據等腰三角形的性質以及外角知識求出的度數，根據直角三角形中兩銳角互補可求答案．【詳解】解：是的一個外角在中，故答案為：54°．13．（2022·江蘇·徐州市樹人初級中學二模）如圖，在中，，，，的平分線交AC于點D，，垂足為，則____________cm．【答案】4【分析】先求出AC的長，然后利用角平分線的性質得到AC即可．【詳解】解：∵在中，，，，，（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），又∵AD是的角平分線，，（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），，故答案為：4．14．（2022·江蘇·鹽城市第四中學（鹽城市藝術高級中學、鹽城市逸夫中學）三模）如圖，已知直線∥，直線分別與、交于點A，B．請用尺規作圖法，在線段AB上求作一點P，使點P到、的距離相等（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【分析】利用線段的垂直平分線的尺規作圖和作一個角等于已知角的尺規作圖即可．【詳解】利用線段的垂直平分線的尺規作圖和作一個角等于已知角的尺規作圖,作圖如下：則點P即為所求．15．（2022·江蘇·靖江市教師發展中心二模）如圖，在中，，，點在上，且．(1)尺規作圖：請在的延長線上找一點，使得；（不寫作圖，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下探索與的數量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）先作的BC邊上的高AG，再作，從而有．（2）設，，運用已知條件推導出，從而得出．【詳解】(1)解：作圖如下，(2)解：設，，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴，即．16．（2022·江蘇無錫·二模）如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，點D在BC上，∠BAC＝∠DAE．(1)求證△ABD≌△ACE；(2)當∠B等于多少度時，ABEC？證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)60°，證明見解析【分析】（1）根據∠BAC＝∠DAE證得∠BAD＝∠CAE，再依據SAS即可證明三角形全等；（2）根據全等三角形的性質及等腰三角形的性質證得∠B=∠ACB=∠ACE，再由平行線的性質即可求得∠B度數．【詳解】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE；（2）解：∠B＝60°，證明如下：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠ACB＝∠B＝60°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠B＋∠BCE＝180°，∴AB∥EC．17．（2022·江蘇宿遷·三模）如圖，在中，，，通過尺規作圖，得到直線和射線，仔細觀察作圖痕跡，完成下列問題：(1)直線是線段的________線，射線是的________線；(2)求的度數．【答案】(1)線段垂直平分；角平分；(2)23°【分析】（1）根據作圖痕跡判斷即可；（2）根據角平分線的性質、線段垂直平分線的性質進行求解即可；【詳解】（1）解：根據作圖痕跡可知，直線是線段的線段垂直平分線；射線是的角平分線；（2）∵垂直平分∴∴∵∴∴∵平分∴18．（2022·江蘇·射陽縣第四中學三模）已知：如圖，，，AC和BD相交于點O．點M是BC的中點，連接OM．(1)求證：；(2)求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據邊邊邊直接證明兩三角形全等即可；（2）根據全等三角形的性質可得，進而證明是等腰三角形，根據三線合一可得，即可求得．【詳解】（1）證明：在和中，，∴（SSS）．（2）解：由（1）得：，∴OB=OC∴