第二章二次函數單元綜合檢測學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________基礎達標卷一、選擇題1．（2021—2022遼寧大連九年級月考）下列函數中，是二次函數的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】二次函數滿足的三個要求：函數關系式右邊是整式；自變量的最高次數是2次；二次項系數不等于0，根據要求分析判斷即可得到正確答案．【詳解】解：A、函數右邊是分式，不是二次函數，選項不符合題意；B、函數是反比例函數，不是二次函數，選項不符合題意；C、函數是二次函數，符合題意；D、函數是一次函數，選項不符合題意．故選：C【點睛】本題考查二次函數識別，牢記相關知識點并能夠靈活應用是解題關鍵．2．（2021—2022山東臨沂市九年級月考）拋物線的頂點坐標是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題目中的拋物線解析式，可以直接寫出該拋物線的頂點坐標，本題得以解決．【詳解】解：∵拋物線的解析式為，∴該拋物線的頂點坐標為（2，2），故選：C．【點睛】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確二次函數的性質，由頂點式可以直接寫出頂點坐標．3．（2021—2022山東臨沂市九年級月考）關于拋物線y＝x2﹣2x＋1，下列說法錯誤的是（）A．開口向上 B．與x軸有兩個重合的交點C．對稱軸是直線x＝1 D．當x＞1時，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據a=1＞0，得出開口向上，即可判斷A項；根據判別式，可得，即可判斷B項；先將一般式化為頂點式，得到，根據二次函數的性質得出頂點坐標是（1，0），對稱軸是直線x=1，再結合開口方向即可判斷C、D選項．【詳解】解：∵，∴頂點坐標（1，0），對稱軸：直線x=1，故C項正確；∵a=1＞0，∴開口向上，拋物線的頂點在x軸上，故A項正確；當x＞1時，y隨x的增大而增大，故D項錯誤；∵，∴與x軸有兩個重合的交點，故B項正確；故選：D．【點睛】本題考查二次函數的性質、解題的關鍵是熟練掌握配方法全等拋物線的頂點坐標，對稱軸，屬于中考常考題型．4．（2021—2022山東九年級10月月考）要得到拋物線，可以將拋物線（）．A．向左平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度B．向右平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度C．向左平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度D．向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度【答案】B【分析】找到兩個拋物線的頂點，根據拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．【詳解】解：∵y=2（x4）21的頂點坐標為（4，1），y=2x2的頂點坐標為（0，0），∴將拋物線y=2x2向右平移4個單位，再向下平移1個單位，可得到拋物線y=2（x4）21．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，解答時注意抓住點的平移規律和求出關鍵點頂點坐標．5．（2021—2022安徽合肥市九年級月考）如表給出了二次函數y＝x2+2x﹣5中x，y的一些對應值，則可以估計一元二次方程x2+2x﹣5＝0的一個近似解（精確到0.1）為（）x…1.21.31.41.51.6…y…﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76…A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6【答案】B【分析】根據表格可知，方程的根在之間，而當時，更接近于0，據此分析可得近似解．【詳解】時，，時，，則方程的根在之間，而當時，更接近于0，原方程的一個近似解為故選B【點睛】本題考查了二次函數與軸的交點問題，求近似解，理解二分法求近似解的值是解題的關鍵．6．（2021—2022河北青縣九年級月考）如圖，鉛球的出手點距地面米，出手后的運動路線是拋物線，出手后秒鐘達到最大高度米，則鉛球運行路線的解析式為（）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據拋物線的圖象可知頂點為，設頂點式，根據的坐標求得解析式即可．【詳解】依題意，拋物線的圖象可知頂點為，設解析式為，，則，解得，故拋物線的解析式為．故選C．【點睛】本題考查了實物拋物線，根據圖象設頂點式是解題的關鍵．7．（2021—2022上海市實驗學校九年級月考）已知拋物線y＝ax2+3x+（a﹣2），a是常數且a＜0，下列選項中可能是它大致圖像的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據a＜0，可以確定拋物線開口以及（a﹣2）的正負，進而得出正確答案．【詳解】解：∵a＜0，∴a﹣2＜0，對稱軸直線∴拋物線開口向下，與y軸交點在負半軸，對稱軸在y軸右側，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵是確定二次函數系數的符號，得出函數圖像的大致位置．8．（2021—2022河南信陽市九年級月考）拋物線與x軸的一個交點坐標是（1，0）則另一個交點坐標是（）A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（0，2）【答案】C【分析】將（1，0）代入拋物線，求得，再令，求解即可．【詳解】解：將（1，0）代入拋物線，得，解得即拋物線為將代入得，即，解得，所以另一個交點坐標是（3，0）故選C【點睛】此題考查了二次函數的性質以及一元二次方程的求解，掌握二次函數的有關性質以及一元二次方程的求解方法是解題的關鍵．9．（2021—2022山東九年級月考）A（，y1）（，y2）（，y3）為二次函數y＝x2＋4x－5的圖像上三點，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【答案】B【分析】求出拋物線的對稱軸，根據二次函數的增減性，結合A、B、C三點橫坐標的大小判斷其縱坐標的大小即可．【詳解】解：∵二次函數y=x2+4x5=（x+2）29，∴當x＞2時，y隨x的增大而增大，∵，∴y2＜y3＜y1，故選：B．【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的圖形和性質，掌握二次函數的增減性是正確解答的關鍵．10．（2021—2022遼寧臺安九年級月考）如圖所示，二次函數的圖象經過點，其對稱軸為直線，有下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】①觀察函數圖象的開口方向、對稱軸、圖象與軸的交點即可判斷；②根據點關于直線的對稱點為，當時，即可判斷；③根據對稱軸方程得與的關系，即可判斷；④根據圖象與軸有兩個交點，即可判斷．【詳解】解：①觀察二次函數圖象可知：，，，∴，∴①正確；②二次函數的圖象經過點，其對稱軸為直線，關于直線的對稱點為，∴二次函數的圖象經過點，當時，，即，∴②錯誤；③已知對稱軸，即得，∴，∴③正確；④因為拋物線與軸有兩個交點，∴，即，∴．∴④錯誤．正確的結論有兩個，故選B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征，解決本題的關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系．二、填空題11．（2021—2022江蘇蘇州市九年級月考）已知函數是二次函數，則k=___________．【答案】3【分析】根據二次函數的定義：形如的函數函數，即，求解即可得出答案．【詳解】根據題意得：，且，，解得：或，．故答案為3．【點睛】本題考查了二次函數的定義，熟練掌握二次項系數不為0且最高次數為2是解題的關鍵．12．（2021—2022遼寧九年級月考）二次函數的最大值為______．【答案】1【分析】把二次函數解析式配方為頂點式即可求得函數的最大值．【詳解】配方得：∵∴函數有最大值，且最大值為1故答案為：1．【點睛】本題考查了二次函數的最值，求二次函數的最值，一般是把二次函數的一般式化成頂點式．13．（2021—2022廣東湛江市九年級月考）已知函數的圖象與軸有交點，則的取值范圍為______．【答案】k≤4【分析】分為兩種情況：①當k3≠0時，（k3）x2+2x+1=0，求出Δ=b24ac=4k+16≥0的解集即可；②當k3=0時，得到一次函數y=2x+1，與x軸有交點；即可得到答案．【詳解】解：①當k3≠0時，（k3）x2+2x+1=0，Δ=b24ac=224（k3）×1=4k+16≥0，解得：k≤4；②當k3=0時，y=2x+1，與x軸有交點；故k的取值范圍是k≤4，故答案為：k≤4．【點睛】本題主要考查對拋物線與x軸的交點，根的判別式，一次函數的性質等知識點的理解和掌握，能進行分類求出每種情況的k是解此題的關鍵．14．（2021—2022上海虹口九年級月考）拋物線y＝﹣2x2+3向左移動a（a＞0）個單位后經過點（﹣1，﹣5），則a的值為____．【答案】3【分析】函數圖象的平移規律，右加左減，上加下減，設平移后的拋物線解析式為，將代入即可求得的值．【詳解】根據題意，設平移后的拋物線解析式為，將代入得，解得故答案為：3【點睛】本題考查了二次函數的平移，根據平移的規律設平移后的解析式是解題的關鍵．15．（2021—2022安徽合肥市九年級月考）如圖，是一個迷宮游戲盤的局部平面簡化示意圖，該矩形的長、寬分別為5cm，3cm，其中陰影部分為迷宮中的擋板，設擋板的寬度為xcm，小球滾動的區域（空白區域）面積為ycm2．則y關于x的函數關系式為：___（化簡為一般式）．【答案】【分析】根據題意，將陰影部分平移，進而根據題意列出y關于x的函數關系式即可．【詳解】根據題意，將陰影部分平移，如圖，則．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的應用，根據題意列出y關于x的函數關系式是解題的關鍵．16．（2021—2022江蘇九年級月考）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，以下結論：①abc>0；②其頂點坐標為（，2）；③2a+b>0；④當x＜時，y隨x的增大而減小；⑤a+b+c>0，正確的有___________．【答案】①③④【分析】根據二次函數的性質和二次函數的圖象可以判斷題目中各個小題的結論是否成立，從而可以解答本題．【詳解】解：由圖象可知，拋物線開口向上，則a＞0，頂點在y軸右側，則b＜0，與y軸交于負半軸，則c＜0，∴abc＞0，故①正確，由拋物線過點（﹣1，0），（0，﹣2），（2，0），可得，，得，∴y＝x2﹣x﹣2＝，∴頂點坐標是（，﹣），故②不正確，由②可知，拋物線對稱軸為，則﹣b＝a，2a+b＝﹣b＞0，故③正確，當x＜時，y隨x的增大而減小，故④正確，當x＝1時，y＝a+b+c＜0，故⑤錯誤，故答案為：①③④，【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，解答本題的關鍵是明確二次函數的性質，利用數形結合的思想解答．三、解答題17．（2021—2022遼寧九年級月考）如圖，平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求頂點的坐標；（2）求的面積．【答案】（1）頂點的坐標為；（2）【分析】（1）把一般式配方為頂點式，即可求得頂點坐標；（2）分別求出A、B、C三點的坐標，即可求得△ABC的面積．【詳解】（1）．頂點的坐標為．（2）令，即．即．∴．∴，．，．．令，則．．．．【點睛】本題考查了二次函數的一般式化為頂點式，求圖象與坐標軸的坐標及圖形的面積等知識，這是二次函數學習中最基礎的內容，務必掌握．18．（2021—2022安徽合肥九年級月考）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB＝xm，花園的面積為S．（1）求S與x之間的函數表達式；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積的最大值．【答案】（1）S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）；（2）195m2．【分析】（1）根據長方形的面積公式可得S關于x的函數解析式；（2）由樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m求出x的取值范圍，再結合二次函數的性質可得答案．【詳解】解：（1）∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m．則S＝AB?BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x．即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．（2）由題意可知，，解得6≤x≤13．由（1）知，S＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196．∵當6≤x≤13時，S隨x的增大而增大，∴當x＝13時，S最大值＝195，即花園面積的最大值為195m2．【點睛】此題主要考查了二次函數的應用以及二次函數最值求法，得出S與x的函數關系式是解題關鍵．19．（2021—2022北京市九年級月考）對于拋物線．（1）它與軸交點的坐標為，與軸交點的坐標為，頂點坐標為；（2）在坐標系中畫出此拋物線的圖象；（3）當時，的取值范圍是．【答案】（1），；；；（2）畫圖見解析；（3）【分析】（1）解方程得拋物線與軸的交點坐標；計算自變量為0對應的函數值得到拋物線與軸的交點坐標；把一般式化為頂點式得到拋物線的頂點坐標；（2）通過列表：描點、連線畫出二次函數圖象；（3）根據圖象可得，包含，所以這部分圖象對應的最小值是在時取得，又因為比距離更遠，所以當時取得最大值，綜合可求得結果．【詳解】解：（1）當時，，解得，，則拋物線與軸的交點坐標為，；當時，，則拋物線與軸的交點坐標為，∵，∴拋物線的頂點坐標為；（2）拋物線圖象如下：（3）由（2）的圖中可得與分別在對稱軸兩側，∵當時，；當時，，∴，∴當時，．故答案為：，；；；．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數，，是常數，與軸的交點坐標問題轉化解關于的一元二次方程即可求得交點橫坐標．將二次函數化成頂點式可求得二次函數的頂點坐標；利用列表描點連線的方法可以作圖，同時也可以根據圖象可求得在已知范圍內的函數值范圍．20．（2021—2022黑龍江哈爾濱市九年級月考）某商店銷售一種成本為40元/千克的水產品，若按50元/千克銷售，一個月可售出500千克，銷售價每漲價1元，月銷售量就減少10千克．設售價為x（單位：元），月銷售量為y（單位：千克），月銷售利潤為W（單位：元）．（1）直接寫出y與x之間的函數解析式以及自變量x的取值范圍；（2）當月銷售利潤為6750元時，售價為多少元？（3）當售價定為多少元時月銷售利潤最大？并求出最大月銷售利潤．【答案】（1）y=10x2+1400x40000；（2）當月銷售利潤為6750元時，售價為65元或75元；（3）當售價定為70元時會獲得最大利潤，最大利潤是9000元【分析】（1）根據題意可以得到月銷售利潤y（單位：元）與售價x（單位：元/千克）之間的函數解析式；（2）當y=6750時，代入求出即可；（3）根據（1）中的關系式化為頂點式即可解答本題；【詳解】解：（1）由題意可得，y=（x40）[500（x50）×10]=10x2+1400x40000，即月銷售利潤y（單位：元）與售價x（單位：元/千克）之間的函數解析式是y=10x2+1400x40000；（2）當y=6750時，10x2+1400x40000=6750解得，所以，當月銷售利潤為6750元時，售價為65元或75元；（3）∵y=10x2+1400x40000=10（x70）2+9000，∴當x=70時，y取得最大值，此時y=9000，答：當售價定為70元時會獲得最大利潤，最大利潤是9000元【點睛】本題考查了利潤率問題的數量關系的運用，二次函數的解析式的運用，二次函數的性質的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．21．（2021—2022福建龍巖市第五中學九年級月考）如圖，二次函數y＝（x﹣2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數圖象的對稱軸對稱的點，已知一次函數y＝kx+b的圖象經過該二次函數圖象上的點A（1，0）及點B（1）求二次函數與一次函數的解析式；（2）拋物線上是否存在一點P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1，y＝x﹣1；（2）存在，點P（5，8）【分析】（1）先將點A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m求出m的值，根據點的對稱性確定B點坐標，然后根據待定系數法求出一次函數解析式；（2）S△ABP＝S△ABC，則過點C作直線CP交拋物線于點P，則點P為所求點，進而求解．【詳解】（1）將點A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m得（1﹣2）2+m＝0，解得m＝﹣1．所以二次函數解析式為y＝（x﹣2）2﹣1①；當x＝0時，y＝4﹣1＝3，所以C點坐標為（0，3），由于C和B關于對稱軸對稱，而拋物線的對稱軸為直線x＝2，所以B點坐標為（4，3），將A（1，0）、B（4，3）代入y＝kx+b得，解得．所以一次函數解析式為y＝x﹣1；（2）假設存在點P，∵S△ABP＝S△ABC，則過點C作直線CP交拋物線于點P，則點P為所求點，∵CP∥AB，故直線CP的表達式為y＝x+3②，聯立①②得：（x﹣2）2﹣1＝x+3，解得x＝0（舍去）或5，故點P（5，8）．【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數與一次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．22．（2021—2022四川江油外國語學校九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點左側，B點的坐標為（4，0），與y軸交于C（0，﹣4）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．（1）求這個二次函數的表達式；（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）二次函數的表達式為：y=x23x4；（2）存在，P點的坐標為（，2）．【分析】（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．【詳解】解：（1）將B、C兩點的坐標代入得，解得：，所以二次函數的表達式為：y=x23x4；（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形；設P點坐標為（x，x23x4），若四邊形P