長春市第八十七中學2025屆高二上數學期末統考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，過拋物線的焦點的直線依次交拋物線及準線于點，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.2．已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標原點，M，N兩點分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.3．已知直線過點，，則直線的方程為（）A. B.C. D.4．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為（）A. B.C. D.5．設，則“”是“直線與直線”平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件6．已知等比數列各項均為正數，且，，成等差數列，則（）A. B.C. D.7．動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定8．曲線的一個焦點F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，FB，O為坐標原點，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.9．等差數列的首項為正數，其前n項和為.現有下列命題，其中是假命題的有（）A.若有最大值，則數列的公差小于0B.若，則使的最大的n為18C.若，，則中最大D.若，，則數列中的最小項是第9項10．在空間直角坐標系中，為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，且，則（）A. B.C. D.11．已知雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標準方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝112．數列，，，，，中，有序實數對是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數列中，則q＝___14．數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個結論：①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3；其中，所有正確結論的序號是________15．已知，且，則的最小值為____________16．已知數列的前的前n項和為，數列的的前n項和為，則滿足的最小n的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設直線，的斜率分別為，，求證：為定值18．（12分）已知橢圓的標準方程為：，若右焦點為且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設，是上的兩點，直線與曲線相切且，，三點共線，求線段的長19．（12分）已知圓，直線的斜率為2，且過點（1）判斷與的位置關系；（2）若圓，求圓與圓的公共弦長20．（12分）設全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.21．（12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）（1）將V表示成r的函數V（r），并求該函數的定義域；（2）討論函數V（r）的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大22．（10分）某公司從2020年初起生產某種高科技產品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產.設第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.（1）用x表示，，并寫出與的關系式；.（2）若企業希望經過5年后，使企業剩余資金達3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精確到萬元）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】如圖根據拋物線定義可知，進而推斷出的值，在直角三角形中求得，進而根據，利用比例線段的性質可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過點，作準線的垂線，分別交準線于點，設，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D2、C【解析】由題意可得且，從而求出點的坐標，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點，設點在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得，過點作軸交軸于點，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C3、C【解析】根據兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.【詳解】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即故選：C4、D【解析】代入計算即可.【詳解】設B點的坐標為，由拋物線方程得，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為2米.故選：D5、D【解析】由兩直線平行確定參數值，根據充分必要條件的定義判斷【詳解】時，兩直線方程分別為，，它們重合，不平行，因此不是充分條件；反之，兩直線平行時，，解得或，由上知時，兩直線不平行，時，兩直線方程分別為，，平行，因此，本題中也不是必要條件故選：D6、A【解析】結合等差數列的性質求得公比，然后由等比數列的性質得結論【詳解】設的公比為，因為，，成等差數列，所以，即，，或（舍去，因為數列各項為正）所以故選：A7、A【解析】根據橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據橢圓定義可得，P點的軌跡為橢圓，故選：A8、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A9、B【解析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對于選項A，∵有最大值，∴等差數列一定有負數項，∴等差數列為遞減數列，故公差小于0，故選項A正確；對于選項B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項B錯誤；對于選項C，∵，，∴，，故中最大，故選項C正確；對于選項D，∵，，∴，，故數列中的最小項是第9項，故選項D正確.故選：B.10、B【解析】由已知條件得出，結合空間向量數量積的坐標運算可求得實數的值.【詳解】因為，則，解得.故選：B.11、D【解析】根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.12、A【解析】根據數列的概念，找到其中的規律即可求解.【詳解】由數列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序實數對是，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據等比數列的性質求得，再根據等比數列的通項公式求得答案.【詳解】等比數列中，故，，所以，故答案為：314、①②【解析】先根據圖像的對稱性找出整點，再判斷是否還有其他的整點在曲線上；找出曲線上離原點距離最大的點的區域，再由基本不等式得到最大值不超過；在心形區域內找到一個內接多邊形，該多邊形的面積等于3，從而判斷出“心形”區域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線，當時，；當時，；當時，；由于圖形的對稱性可知，沒有其他的整點在曲線上，故曲線恰好經過6個整點：,,,,,,所以①正確；②:由圖知，到原點距離的最大值是在時，由基本不等式，當時，，所以即，所以②正確；③:由①知長方形CDFE的面積為2，三角形BCE的面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區域的面積大于3，故③錯誤；故答案為：①②.【點睛】找準圖形的關鍵信息，比如對稱性，整點，內接多邊形是解決本題的關鍵.15、16【解析】根據，且，利用“1”的代換將，轉化為，再利用基本不等式求解.【詳解】因為，且，所以，當且僅當，，即時，取等號.所以的最小值為16.故答案為：16【點睛】本題主要考查基本不等式求最值，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.16、9【解析】由數列的前項和為，則當時，，所以，所以數列的前和為，當時，，當時，，所以滿足的最小的值為.點睛：本題主要考查了等差數列與等比數列的綜合應用問題，其中解答中涉及到數列的通項與的關系，推導數列的通項公式，以及等差、等比數列的前項和公式的應用，熟記等差、等比數列的通項公式和前項和公式是解答的關鍵，著重考查了學生的推理與運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】(1)聯立直線和拋物線方程，根據拋物線定義和焦半徑公式得到，根據韋達定理可得到最終結果；（2）代入點坐標可得到參數的值，設直線的方程為，聯立該直線和拋物線方程，，代入韋達定理可得到最終結果.【小問1詳解】設點，，點，，聯立，整理得，，由拋物線的定義知，解得，拋物線的方程為【小問2詳解】，為拋物線上一點，，即，設，，，，直線的方程為，由，消去得，，，，即為定值18、（1）；（2）.【解析】（1）根據橢圓的焦點、離心率求橢圓參數，寫出橢圓方程即可.（2）由（1）知曲線為，討論直線的存在性，設直線方程聯立橢圓方程并應用韋達定理求弦長即可.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，則，又，∴橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為當直線的斜率不存在時，直線，不合題意：當直線的斜率存在時，設，又，，三點共線，可設直線，即，由直線與曲線相切可得，解得，聯立，得，則，，∴.19、（1）與相切；（2）【解析】（1）求出圓C的圓心坐標，半徑和直線l的方程，根據圓心到直線的距離即可判斷直線與圓的位置關系；（2）圓與圓的方程相減，可求出公共弦所在的直線方程，然后根據圓M的圓心到公共弦所在直線的距離及圓M的半徑即可求出公共弦長.【小問1詳解】由圓，可得，所以圓心為，半徑，直線的方程為，即因為圓心到的距離為，所以與相切【小問2詳解】聯立方程可得，作差可得，即，即公共弦所在直線的方程為易知圓的半徑，圓心到直線的距離為，則公共弦長20、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分條件可得A?B，則，解得，故實數a的取值范圍是.【小問2詳解】由“x∈A”是“x∈B”的必要條件可得B?A，當時，2-a＞1+2a，即a＜時，滿足題意，當時，即a≥時，則，解得≤a≤1.綜上a≤1，故實數a的取值范圍是.21、（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）見解析【解析】（1）先由圓柱的側面積及底面積計算公式計算出側面積及底面積，進而得出總造價，依條件得等式，從中算出，進而可計算，再由可得；（2）通過求導，求出函數在內的極值點，由導數的正負確定函數的單調性，進而得出取得最大值時的值.（1）∵蓄水池的側面積的建造成本為元，底面積成本為元∴蓄水池的總建造成本為元所以即∴∴又