安徽省黃山市屯溪一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國(guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)據(jù)，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖，一位古人在從右到左（即從低位到高位）依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿(mǎn)六進(jìn)一，用6來(lái)記錄每年進(jìn)的錢(qián)數(shù)，由圖可得，這位古人一年收入的錢(qián)數(shù)用十進(jìn)制表示為（）A.180 B.179C.178 D.1772．某校初一有500名學(xué)生，為了培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣，學(xué)校要求他們從四大名著中選一本閱讀，其中有200人選《三國(guó)演義》，125人選《水滸傳》，125人選《西游記》，50人選《紅樓夢(mèng)》，若采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取40名學(xué)生分享他們的讀后感，則選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為（）A.5 B.10C.12 D.153．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.24．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)依次交拋物線(xiàn)及準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，若且，則拋物線(xiàn)的方程為（）A.B.C.D.5．已知數(shù)列滿(mǎn)足，其前項(xiàng)和為，，．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿(mǎn)足成立的的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.136．將直線(xiàn)2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個(gè)單位，所得直線(xiàn)與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實(shí)數(shù)λ值為()A.－3或7 B.－2或8C0或10 D.1或117．楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中就有出現(xiàn).在歐洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要遲了393年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開(kāi)始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數(shù)列中，第37項(xiàng)是A.153 B.171C.190 D.2108．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.9．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.10．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（）A. B.C D.11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線(xiàn)x－y+1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)12．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線(xiàn)相切，則圓的方程為A. B.或C. D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，則直線(xiàn)AD1與B1D所成角的余弦值為_(kāi)_.14．已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支于A，B兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則的面積為_(kāi)__________.15．已知三個(gè)數(shù)2，，6成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)______16．若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，則l的斜率取值范圍為_(kāi)________________；其傾斜角的取值范圍為_(kāi)________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程是(為參數(shù)（1）求直線(xiàn)和曲線(xiàn)的普通方程；（2）直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求18．（12分）某港口船舶?？康姆桨甘窍鹊较韧?，且每次只能?？恳凰掖?（1）若甲乙兩艘船同時(shí)到達(dá)港口，雙方約定各派一名代表猜拳：從1，2，3，4，5中各隨機(jī)選一個(gè)數(shù)，若兩數(shù)之和為奇數(shù)，則甲先?？?；若兩數(shù)之和為偶數(shù)，則乙先?？?，這種方式對(duì)雙方是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若甲、乙兩船在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的.如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.19．（12分）已知圓心為的圓過(guò)原點(diǎn)，且直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為，且直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn).①若，求弦的長(zhǎng)；②若圓上存在點(diǎn)，使得成立，求直線(xiàn)的斜率.20．（12分）已知圓C：，直線(xiàn)l：.（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線(xiàn)l與圓C相切；（2）當(dāng)直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.21．（12分）已知命題p：集合為空集，命題q：不等式恒成立（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，且，E為PD的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求二面角的大?。唬?）在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由于從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿(mǎn)六進(jìn)一，所以從右到左的數(shù)分別為、、，然后把它們相加即可.【詳解】（個(gè)）.所以古人一年收入的錢(qián)數(shù)用十進(jìn)制表示為個(gè).故選：D.2、B【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，可得選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為故選：B.3、D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：.故選：D4、D【解析】如圖根據(jù)拋物線(xiàn)定義可知，進(jìn)而推斷出的值，在直角三角形中求得，進(jìn)而根據(jù)，利用比例線(xiàn)段的性質(zhì)可求得，則拋物線(xiàn)方程可得.【詳解】如圖分別過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為故選：D5、A【解析】根據(jù)題意和對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式可證得為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出，進(jìn)而得到，利用裂項(xiàng)相消法求得，再解不等式即可.【詳解】由，又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，則，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值為10.故選：A6、A【解析】根據(jù)直線(xiàn)平移的規(guī)律，由直線(xiàn)2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個(gè)單位得到平移后直線(xiàn)的方程，然后因?yàn)榇酥本€(xiàn)與圓相切得到圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圓心坐標(biāo)為（﹣1，2），半徑為，直線(xiàn)2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個(gè)單位后所得的直線(xiàn)方程為2（x+1）﹣y+λ=0，因?yàn)樵撝本€(xiàn)與圓相切，則圓心（﹣1，2）到直線(xiàn)的距離d==r=，化簡(jiǎn)得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故選A考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系7、C【解析】根據(jù)“楊輝三角”找出數(shù)列1，2，3，3，6，4，10，5，…之間的關(guān)系即可?！驹斀狻坑深}意可得從第3行起的每行第三個(gè)數(shù)：，所以第行的第三個(gè)數(shù)為在該數(shù)列中，第37項(xiàng)為第21行第三個(gè)數(shù)，所以該數(shù)列的第37項(xiàng)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納、推理的能力，屬于中等題。8、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D，故選：B9、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B10、A【解析】由橢圓的定義可得；利用基本不等式，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，，即，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故選：A11、D【解析】設(shè)出點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線(xiàn)x－y+1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(a,b),則，解得：，故選：D12、D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得或，進(jìn)而求得答案【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳A與直線(xiàn)相切，所以由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求圓的方程，屬于一般題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出，的坐標(biāo)，由向量夾角公式可得答案.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸的正方向建立如圖的坐標(biāo)系，∵AB＝BC＝2，CC1＝1，∴，，，，則，，則，，則cos＜，＞＝＝，即AD1與B1D所成角的余弦值為，故答案為：.14、【解析】根據(jù)題意可知，，再結(jié)合，即可求出各邊，從而求出的面積【詳解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面積為故答案為：15、【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)2，，6成等比數(shù)列，所以，解得故答案為：16、①.②.【解析】根據(jù)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，利用斜率公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解；設(shè)其傾斜角為，，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)l經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設(shè)其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）4【解析】（1）根據(jù)，即可將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；消參數(shù)，即可求出曲線(xiàn)的普通方程；（2）由題意易知，求出直線(xiàn)的參數(shù)方程，將其代入曲線(xiàn)的普通方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，即可求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】解：直線(xiàn)極坐標(biāo)方程為，即，又，可得的普通方程為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程是(為參數(shù)，消參數(shù)，所以曲線(xiàn)的普通方程為【小問(wèn)2詳解】解：在中令得，，傾斜角，的參數(shù)方程可設(shè)為，即（為參數(shù)），將其代入，得，，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，，異號(hào)，.18、（1）不公平，理由見(jiàn)解析.（2）【解析】（1）通過(guò)計(jì)算概率來(lái)進(jìn)行判斷.（2）利用幾何概型計(jì)算出所求概率.【小問(wèn)1詳解】?jī)蓴?shù)之和為奇數(shù)的概率為，兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率為，兩個(gè)概率不相等，所以不公平.【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲到的時(shí)刻為，乙到的時(shí)刻為，則，若它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出，則或，畫(huà)出可行域如下圖陰影部分所示，所以所求的概率為：.19、（1）；（2）①，②.【解析】（1）圓心在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，圓心也在過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)上，聯(lián)立求圓心，進(jìn)而得半徑即可；（2）①垂徑定理即可求弦長(zhǎng)；②圓上存在點(diǎn)，使得成立，即四邊形是平行四邊形，又，有都是等邊三角形，進(jìn)而得圓心到直線(xiàn)的距離為，列方程求解即可.試題解析：（1）由已知得，圓心在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，圓心也在過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)上，由得圓心，所以半徑，所以圓的方程為；（2）①由題意知，直線(xiàn)的方程為，即，∴圓心到直線(xiàn)的距離為，∴；②∵圓上存在點(diǎn)，使得成立，∴四邊形是平行四邊形，又，∴都是等邊三角形，∴圓心到直線(xiàn)的距離為，又直線(xiàn)的方程為，即，∴，解得.20、（1）；（2）或.【解析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線(xiàn)與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線(xiàn)距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長(zhǎng)、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線(xiàn)與圓相切，則圓心到直線(xiàn)距離，即，可得：.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：圓心到直線(xiàn)的距離，因?yàn)椋矗獾茫海?，整理得：，解得：或，則直線(xiàn)為或.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)判別式小于0可得；（2）根據(jù)復(fù)合命題的真假可知，p和q有且只有一個(gè)真命題，然后根據(jù)相應(yīng)范圍通過(guò)集合運(yùn)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榧蠟榭占?，所以無(wú)實(shí)數(shù)根，即，解得，所以p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】由解得：，即命題q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，易知p為假時(shí)，a的取值范圍為，q為假時(shí)，a的取值范圍為.因?yàn)闉檎婷}，為假命題，則p和q有且只有一個(gè)真命題，當(dāng)p為假q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；當(dāng)p為真q為假時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為22、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在；【解析】（1）作出輔助線(xiàn)，證明線(xiàn)面垂直，進(jìn)而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解二面角；（3）