湖南省長沙同升湖實驗學校2025屆高二上數學期末學業質量監測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列通項公式中，對應數列是遞增數列的是（）A B.C. D.2．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值可能為（）A.96 B.97C.98 D.993．按照小李的閱讀速度，他看完《三國演義》需要40個小時.2021年12月20日，他開始閱讀《三國演義》，當天他讀了20分鐘，從第二天開始，他每天閱讀此書的時間比前一天增加10分鐘，則他恰好讀完《三國演義》的日期為（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日4．已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點，則圓C方程為（）A. B.C. D.5．若函數在上為單調減函數，則的取值范圍（）A. B.C. D.6．若構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，7．若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（）A.或11 B.或10C.或12 D.或118．設點關于坐標原點的對稱點是B，則等于（）A.4 B.C. D.29．已知等比數列中，，，則公比（）A. B.C. D.10．在平面區域內隨機投入一點P，則點P的坐標滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.11．已知空間向量，則（）A. B.C. D.12．“”是“函數在上無極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若“”是真命題，則實數的最小值為_____________.14．已知三棱錐中，平面BCD，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_____.15．已知圓關于直線對稱，則________16．如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長為3的正方形，是中點，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的下焦點為、上焦點為，其離心率．過焦點且與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點（1）求實數m的值；（2）求△ABO(O為原點)面積的最大值20．（12分）已知函數（1）當時，求曲線在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍21．（12分）已知數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）是否存在正實數a，使得不等式對一切正整數n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.22．（10分）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上（1）求橢圓的標準方程；（2）若過定點的直線交橢圓于不同的兩點、(點在點、之間)，且滿足，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據數列單調性的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，B選項對應數列是遞減數列．對于C選項，，故數列是遞增數列．對于D選項，由于．所以數列不是遞增數列故選：C.2、D【解析】根據程序框圖得出的變換規律后求解【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，可得輸出的T關于t的變換周期為4，而，故時，輸出的值為，故選：D3、B【解析】由等差數列前n項和列不等式求解即可.【詳解】由題知，每天的讀書時間為等差數列，首項為20，公差為10，記n天讀完.則40小時=2400分鐘，令，得或（舍去），故，即第21天剛好讀完，日期為2022年1月9日.故選：B4、C【解析】設出圓心坐標，根據垂直直線的斜率關系求得圓心坐標，結合兩點距離公式得半徑，即可得圓方程【詳解】設圓心為，則圓心與點的連線與直線l垂直，即，則點，所以圓心為，半徑，所以方程為，故選：C5、A【解析】分析可知對任意的恒成立，利用參變量分離法結合二次函數的基本性質可求得實數的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，則，當時，在上單調遞減，在上單調遞減，所以，，故.故選：A.6、B【解析】由空間向量內容知，構成基底的三個向量不共面，對選項逐一分析【詳解】對于A：，因此A不滿足題意；對于B：根據題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內，與向量不共面，因此B正確；對于C：，故C不滿足題意；對于D：顯然有，選項D不滿足題意.故選：B7、A【解析】利用平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為兩條平行線與之間的距離是2，所以，或，故選：A8、A【解析】求出點關于坐標原點的對稱點是B，再利用兩點之間的距離即可求得結果.【詳解】點關于坐標原點的對稱點是故選：A9、C【解析】利用等比中項的性質可求得的值，再由可求得結果.【詳解】由等比中項的性質可得，解得，又，，故選：C.10、A【解析】根據題意作出圖形，進而根據幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】根據題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.11、A【解析】求得，即可得出.【詳解】，，，.故選：A.12、B【解析】根據極值的概念，可知函數在上無極值，則方程的，再根據充分、必要條件判斷，即可得到結果.【詳解】由題意，可得，若函數在上無極值，所以對于方程，,解得.所以“”是“函數在上無極值”的必要不充分條件.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】若“”是真命題，則大于或等于函數在的最大值因為函數在上為增函數，所以，函數在上的最大值為1，所以，，即實數的最小值為1.所以答案應填:1.考點：1、命題；2、正切函數的性質.14、【解析】由題意可知三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，進而求出三棱柱的外接球的半徑即可得出結果.【詳解】因為，，所以，故，又因為平面BCD，因此三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，如圖：取的中點，則為外接圓的圓心，取的中點，則為外接圓的圓心，則的中點即為外接球的球心，因此，,因此，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：.15、1【解析】根據題意，圓心在直線上，進而求得答案.【詳解】由題意，圓心在直線上，則.故答案為：1.16、【解析】化簡橢圓的方程為標準形式，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，方程可化為，因為方程表示焦點在軸上的橢圓，可得，解得，實數的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據線面垂直的判定定理，結合面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式，結合線面角定義進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小問2詳解】∵平面平面，交AD于點F，平面，平面平面，∴平面，以為原點，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）答案見解析（2）【解析】(1)求函數的定義域及導函數，根據導數與函數的單調性關系判斷函數的單調性；(2)結合已知條件，根據函數的單調性，極值結合零點存在性定理列不等式求實數的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，當時，恒成立，上單調遞增，當時，在遞減，在遞增【小問2詳解】當時，恒成立，上單調遞增，所以至多存一個零點，不符題意，故舍去.當時，在遞減，在遞增；所以有極小值為構造函數，恒成立，所以在單調遞減，注意到①當時，，則函數至多只有一個零點，不符題意，舍去.②當時，函數圖象連續不間斷，的極小值為，又函數在單調遞減，所以在上存在唯一一個零點；，令，構造函數，恒成立.在單調遞增，所以，即，所以函數在單調遞增，所以在上存在唯一一個零點；當時，函數怡有兩個零點，即在上各有一個零點.綜上，函數有兩個不同的零點，實數的取值范圍為.【點睛】函數零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間[a，b]上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.19、（1）2；（2）﹒【解析】(1)根據已知條件得，，結合離心率，即可解得答案(2)設直線的方程，與橢圓方程聯立，利用弦長公式以及三角形的面積公式，基本不等式即可得出答案【小問1詳解】由題意可得，，，∵離心率，∴，∵，∴，解得【小問2詳解】由(1)知，橢圓，上焦點，設，，，，直線的方程為：，聯立，得，∴，，∴，∴，∴，當且僅當，即時等號成立，∴為原點)面積的最大值為20、（1）（2）【解析】（1）利用導數求出切線斜率，即可求出切線方程；（2）把題意轉化為：存在，使得不等式成立，構造新函數，對m進行分類討論，利用導數求，解不等式，即可求出m的范圍.【小問1詳解】當時，,定義域為R，.所以，.所以曲線在點（0，f（0））處的切線方程為：，即.【小問2詳解】不等式可化為：，即存在，使得不等式成立.構造函數，則.①當時，恒成立，故在上單調遞增，故，解得：，故；②當時，令，解得：令，解得：故在上單調遞減，在上單調遞增，又，故，解得：，這與相矛盾，舍去；③當時，恒成立，故在上單調遞減，故，不符合題意，應舍去.綜上所述：m的取值范圍為：.21、（1）（2）【解析】（1）通過構造新數列求解；（2）由（1）得，再研究其單調性，從而得到最值，再解不等式即可求解.【小問1詳解】由，假設其變形為，則有，所以，又.所以，即.【小問2詳解】由（1），所以，令，則，所以，所