第八章

成對數據的統計分析8.1成對數據的相關關系8.1.1變量的相關關系你知道“烏鴉叫,沒好兆”這樣的迷信說法的原因嗎?日常生活中類似這樣的諺語,如“名師出高徒”“龍生龍,鳳生鳳,老鼠的孩子會打洞”又能說明什么樣的相關關系呢?問題導學我們知道,如果變量y是變量x的函數,那么由x就可以唯一確定y.然而,現實世界中還存在這樣的情況:兩個變量之間有關系,但密切程度又達不到函數關系的程度.例如,人的體重與身高存在關系,但由一個人的身高值并不能確定他的體重值,那么,該如何刻畫這兩個變量之間的關系呢?下面我們就來研究這個問題.我們知道,一個人的體重與他的身高有關系,一般而言,個子高的人往往體重值較大,個子矮的人往往體重值較小,但身高并不是決定體重的唯一因素,例如生活中的飲食習慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素,像這樣,兩個變量有關系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關系稱為相關關系(correlation).兩個變量具有相關關系的事例在現實中大量存在,例如:1.子女身高y與父親身高x之間的關系,一般來說,父親的個子高,其子女的個子也會比較高;父親個子矮,其子女的個子也會比較矮,但影響子女身高的因素,除父親身高外還有其他因素,例如母親身高、飲食結構、體育鍛煉等,因此父親身高又不能完全決定子女身高.2.商品銷售收人y與廣告支出x之間的關系,一般來說,廣告支出越多,商品銷售收入越高,但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素,商品銷售收入還與商品質量、居民收入等因素有關。3.空氣污染指數y與汽車保有量x之間的關系,一般來說,汽車保有量增加,空氣污染指數會上升,但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素,氣象條件、工業生產排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數的因素。4.糧食畝產量y與施肥量x之間的關系,在一定范圍內,施肥量越大,糧食畝產量就越高,但施肥量并不是決定糧食畝產量的唯一因索,糧食畝產量還要受到土壤質量、降水量、田間管理水平等因素的影響。因為在相關關系中,變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定,所以我們無法直接用函數去描述變量之間的這種關系,對上述各例中兩個變量之間的相關關系,我們往往會根據自己以往積累的經驗作出推斷.“經驗之中有規律”,經驗的確可以為我們的決策提供一定的依據,但僅憑經驗推斷又有不足,例如,不同經驗的人對同一情形可能會得出不同結論,不是所有的情形都有經驗可循等.因此,在研究兩個變量之間的相關關系時,我們需要借助數據說話。即通過樣本數據分析,從數報中提取信息,并構建適當的模型,再利用模型進行估計或推斷。1.相關關系概念：像這樣，兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.相關關系是一種不確定性關系;相關關系是相對于函數關系而言的.知識概念相關關系概念辨析相關關系與函數關系的異同點關系項目函數關系相關關系

相同點不同點都是兩個變量間的關系是一種確定關系是一種非確定關系是一種因果關系不一定是因果關系,也可能是伴隨關系下列變量之間是什么關系？（1）.球的體積與該球的半徑;（2）.糧食的產量與施肥量;（3）.小麥的畝產量與光照;（4）.大氣壓力與海拔高度;（5）.人的身高與鞋碼（1）函數關系（確定關系）（2）相關關系（不確定關系）（3）相關關系（不確定關系）（4）函數關系（確定關系）（5）相關關系（不確定關系）探究1:在對人體的脂肪的含量和年齡之間關系的研究中,科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數據,如表所示,表中每個編號下的年齡和脂肪含量數據都是對同一個體的觀測結果,它們構成了成對數據.問題探究編號1234567年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2編號891011121314年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根據以上數據,你能推新人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎?以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數據對應的圖形嗎？2.散點圖：成對樣本數據都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成了統計圖.我們我們把這樣的統計圖叫做散點圖.由散點圖可以發現，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應的脂肪含量值呈現增高的趨勢.這樣，由成對樣本數據的分布規律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關關系.3.變量相關關系的分類(1)正相關和負相關如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關.

當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現減少的趨勢，稱這兩個變量負相關.知識概念散點圖+正相關、負相關①線性相關散點圖是描述成對數據之間關系的一種直觀方法.一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關O一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.②非線性相關知識概念線性相關+非線性相關【診斷分析】

判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個變量具有相關關系就是指的具有函數關系.(

)(2)若散點不是落在一條直線附近,就說明兩個變量沒有相關性. (

)(3)當散點落在一條折線附近,這兩個量也具有相關性. (

)(4)散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區域所呈現的是正相關.(

)(5)散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區域所呈現的是負相關.(

)××[解析]只能說明這兩個變量不是線性相關,但并不一定能說明有沒有相關性,若散點落在一條折線附近,則稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.√√√概念辨析例1.某公司的利潤y(單位:千萬元)與銷售總額x(單位位:千萬元)之間有如下表對應數據：x10151720252832y11.31.822.62.73.3(1)畫出散點圖；(2)判斷y與x是否具有線性相關關系X30252015100535Y0.511.522.533.5·······解：(1)散點圖如右圖所示：

(2)由圖可知,所有數據點接近直線排列，因此，認為y與x有線性相關關系，且為正相關.典例分析典例分析例2：5個學生的數學和物理成績如下表：A