編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數學第二學期研發，供中等及以上學生使用。思路設計：重在培優訓練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎差的學生選做每種類型題的前4題；基礎中等的學生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題03運算能力之解一元一次不等式難點綜合專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．關于的不等式在條件且下的解（）A． B． C．任一個數 D．無解【標準答案】C【思路指引】根據題意，先確定的值，進而解不等式即可．【詳解詳析】，，，，即由已知條件，即恒成立．不等式的解與的值無關，則關于的不等式的解為任意一個數故選C．【名師指路】本題考查了不等式的解集，非負數的性質，求得是解題的關鍵．2．在數軸上表示不等式﹣1≤x＜3，正確的是（）A． B．C． D．【標準答案】D【思路指引】把不等式組的解集在數軸上表示出來即可．【詳解詳析】解：∵﹣1≤x＜3，

∴在數軸上表示為：

故選：D．【名師指路】本題考查了在數軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法則是解題的關鍵．3．已知x＝2不是關于x的不等式2x﹣m＞4的整數解，x＝3是關于x的不等式2x﹣m＞4的一個整數解，則m的取值范圍為（）A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2【標準答案】B【思路指引】由2xm＞4得x＞，根據x=2不是不等式2xm＞4的整數解且x=3是關于x的不等式2xm＞4的一個整數解得出≥2、＜3，解之即可得出答案．【詳解詳析】解：由2xm＞4得x＞，∵x=2不是不等式2xm＞4的整數解，∴≥2，解得m≥0；∵x=3是關于x的不等式2xm＞4的一個整數解，∴＜3，解得m＜2，∴m的取值范圍為0≤m＜2，故選：B．【名師指路】本題主要考查了一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是根據不等式整數解的情況得出關于m的不等式．4．適合|2a+7|+|2a﹣1|＝8的整數a的值的個數有（）A．2 B．4 C．8 D．16【標準答案】B【思路指引】先分別討論絕對值符號里面代數式值，然后去絕對值，解一元一次方程即可求出a的值．【詳解詳析】解：（1）當2a+7≥0，2a﹣1≥0時，可得，2a+7+2a﹣1＝8，解得，a＝解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣，a≥，所以a≥，而a又是整數，故a＝不是方程的一個解；（2）當2a+7≤0，2a﹣1≤0時，可得，﹣2a﹣7﹣2a+1＝8，解得，a＝﹣解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣，a≤，所以a≤﹣，而a又是整數，故a＝﹣不是方程的一個解；（3）當2a+7≥0，2a﹣1≤0時，可得，2a+7﹣2a+1＝8，解得，a可為任何數．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣，a≤，所以﹣≤a≤，而a又是整數，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）當2a+7≤0，2a﹣1≥0時，可得，﹣2a﹣7+2a﹣1＝8，可見此時方程不成立，a無解．綜合以上4點可知a的值有四個：﹣3，﹣2，﹣1，0．故選：B．【名師指路】本題主要考查去絕對值及解一元一次方程的方法：解含絕對值符號的一元一次方程要根據絕對值的性質和絕對值符號內代數式的值分情況討論，即去掉絕對值符號得到一般形式的一元一次方程，再求解．5．設m為整數，若方程組的解x、y滿足，則m的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【標準答案】B【思路指引】先把m當做常數，解一元二次方程，然后根據得到關于m的不等式，由此求解即可【詳解詳析】解：把①×3得：③，用③+①得：，解得，把代入①得，解得，∵，∴，即，解得，∵m為整數，∴m的最大值為5，故選B．【名師指路】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式和求不等式的整數解，解題的關鍵在于能夠熟練掌握解二元一次方程組的方法．6．不等式的非負整數解有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】C【思路指引】首先利用不等式的基本性質解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的正整數即可．【詳解詳析】解：不等式43x≥2x6，整理得，5x≤10，∴x≤2；∴其非負整數解是0、1、2．故選C．【名師指路】本題考查了一元一次不等式的整數解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關鍵．解不等式應根據不等式的基本性質．7．若關于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，則關于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（）A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜ D．x＞【標準答案】A【思路指引】根據不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，則，，，即可求出不等式的解集.【詳解詳析】解：∵關于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，∴，，，∴，解不等式，∴，∴；故選：A.【名師指路】本題考查了解一元一次不等式，以及不等式的性質，解題的關鍵是熟練掌握解不等式的方法和步驟.8．若關于x的方程x＋k＝2x﹣1的解是負數，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 D．k≤﹣1【標準答案】B【思路指引】求出方程的解（把k看作已知數），得出不等式k＋1＜0，求出即可．【詳解詳析】解：x＋k＝2x﹣1，整理得：x＝k＋1，∵關于x的方程x＋k＝2x﹣1的解是負數，∴k＋1＜0，解得：k＜﹣1．故選：B．【名師指路】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，關鍵是得出關于k的一元一次不等式是本題的關鍵．9．如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集為x＜1，則m必須滿足的條件是（）A．m＜﹣2 B．m≤﹣2 C．m＞﹣2 D．m≥﹣2【標準答案】A【思路指引】根據解集中不等號的方向發生了改變，得出m+2＜0，求出即可．【詳解詳析】解：∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，∴m+2＜0，∴m＜﹣2，故選：A．【名師指路】本題考查了一元一次不等式，解題關鍵是明確不等式性質，列出不等式求解．10．已知關于x的不等式組恰有4個整數解，則a的取值范圍是（）A．﹣1＜a＜﹣ B．﹣1≤a≤﹣ C．﹣1＜a≤﹣ D．﹣1≤a＜﹣【標準答案】D【思路指引】先分別求得每個一元一次不等式的解集，再根據題意得出2a的取值范圍即可解答．【詳解詳析】解：解不等式組得：，∵該不等式組恰有4個整數解，∴－2≤2a＜－1，解得：﹣1≤a＜﹣，故選：D．【名師指路】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法，得出2a的取值范圍是解答的關鍵．二、填空題11．已知關于x，y的方程組，的解滿足x﹣y＞0，則k的最大整數值是______________．【標準答案】0【思路指引】方程組兩方程相減表示出，代入已知不等式即可求出的范圍，進而確定出最大整數值即可．【詳解詳析】解：，②①得：，∵x﹣y＞0，∴，解得：，∴的最大整數值為0．故答案為：0．【名師指路】此題考查了解一元一次不等式以及解二元一次方程組，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．12．如果的值不是正數，則________．【標準答案】【思路指引】根據題意得，從而轉化為求關于x的不等式，解這個不等式即可求出x的取值范圍．【詳解詳析】的值不是正數，，，，故答案為：．【名師指路】本題考查了解一元一次不等式，解題的關鍵是找出關于x的一元一次不等式．13．關于的不等式的解集為_____．【標準答案】【思路指引】由已知可得，＜0，根據不等式基本性質可求解．【詳解詳析】解：∵∴∵∴故答案為：【名師指路】考核知識點：解一元一次不等式．理解不等式的基本性質是關鍵．14．若關于的不等式的解集為，則的值為____．【標準答案】0【思路指引】根據已知條件結合不等式的性質，求得解集，進而解關于的方程即可求解．【詳解詳析】的解集為，則，即即解得或者

故答案為：0【名師指路】本題考查了已知不等式的解集求參數，根據已知條件解不等式是解題的關鍵．15．已知不等式的解集是，則不等式的解集是____．【標準答案】【思路指引】根據已知不等式的解集確定出m與n的關系，用m表示出n，代入所求不等式求出解集即可．【詳解詳析】因為不等式的解集是，所以，所以，因為所以所以故答案為：【名師指路】考核知識點：此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的基本性質是解本題的關鍵．16．不等式x﹣2x＞1的解集是___．【標準答案】或【思路指引】先根據不等式的基本性質求得，再根據二次根式的分母有理化計算即可．【詳解詳析】解：∵x﹣2x＞1，∴(﹣2)x＞1，∴，∵，∴，故答案為：．【名師指路】本題考查了解一元一次不等式以及二次根式的分母有理化，熟練掌握不等式的基本性質以及二次根式的運算法則是解決本題的關鍵．17．若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，兩邊同除以（m﹣3），得x＞1，則m的取值范圍為_____．【標準答案】m>3【思路指引】由不等式的基本性質知，據此可得答案．【詳解詳析】解：若不等式，兩邊同除以，得，則，解得．故答案為：．【名師指路】本題考查了解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握不等式的基本性質．18．如果｜x｜＞3，那么x的范圍是___________【標準答案】或【思路指引】首先算出|x|=3的解，然后根據“大于取兩邊”的口訣得解．【詳解詳析】解：由絕對值的意義可得：x=3或x=3時，|x|=3，∴根據“大于取兩邊”即可得到｜x｜＞3的解集為：x>3或x<?3（如圖），

故答案為：x>3或x<?3．【名師指路】本題考查絕對值的意義及不等式的求解，熟練掌握有關不等式的求解方法是解題關鍵．19．已知實數x，y滿足x＋y＝3，且x＞﹣3，y≥1，則x﹣y的取值范圍____．【標準答案】【思路指引】先設x﹣y=m，利用x＋y＝3，構造方程組，求出用m表示x、y的代數式，再根據x＞﹣3，y≥1，列不等式求出m的范圍即可．【詳解詳析】解：設x﹣y=m，∴，②+①得，②①得，∵y≥1，∴，解得，∵x＞﹣3，∴，解得，∴，x﹣y的取值范圍．故答案為．【名師指路】本題考查方程與不等式綜合問題，解題關鍵是設出x﹣y=m，與x＋y＝3，構造方程組從中求出，，再出列不等式．20．已知關于x的一元一次不等式的解集為，那么關于y的一元一次不等式的解集為___________．【標準答案】【思路指引】設則化為：整理可得：，從而可得的解集是不等式的解集，從而可得答案.【詳解詳析】解：關于x的一元一次不等式的解集為，設則化為：兩邊都乘以得：即的解集為：的解集，故答案為：【名師指路】本題考查的是求解一元一次不等式的解集，掌握“整體法求解不等式的解集”是解本題的關鍵.三、解答題21．已知是關于的不等式的解，求的取值范圍．【標準答案】a＜4【思路指引】先根據不等式，解此不等式，再對a分類討論，即可求出a的取值范圍．【詳解詳析】解得(14?3a)x>6當a<,x>,又x=3是關于x的不等式的解,則<3，解得a<4；當a>,x<,又x=3是關于x的不等式的解,則>3,解得a<4(與所設條件不符,舍去)；綜上得a<4.故a的取值范圍是a<4.22．解不等式組：，并把解集在數軸上表示出來．【標準答案】3＜x≤2.【詳解詳析】試題分析：先求出每個不等式的解集，再根據找不等式組解集的規律找出不等式組的解集即可．試題解析：∵解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x≤2，∴不等式組的解集為3＜x≤2，在數軸上表示不等式組的解集為：．考點：1.解一元一次不等式組；2.在數軸上表示不等式的解集．23．已知一元一次不等式mx3＞2x+m．（1）若它的解集是x＜，求m的取值范圍；（2）若它的解集是x，試問：這樣的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，請說明理由．【標準答案】（1）m＜2；（2）m值不存在,理由見解析．【思路指引】（1）求出不等式的解集，根據已知得出關于m的不等式，求出不等式的解集即可；（2）根據已知和不等式的解集得出=和m2＞0，求出即可．【詳解詳析】（1）不等式mx3＞2x+m，移項合并得：（m2）x＞m+3，由解集為x＜，得到m2＜0，即m＜2；（2）由解集為x＞，得到m2＞0，即m＞2，且=，解得：m=18＜0，不合題意，則這樣的m值不存在．【名師指路】本題考查了解一元一次不等式，能得出關于m的不等式是解此題的關鍵．24．解下列不等式：（1）3（x﹣2）≤5x+4（2）≥【標準答案】（1）x≥﹣5；（2）x≤8【思路指引】（1）去括號，移項，合并同類項，系數化為1即可求解．（1）去分母，再去括號，移項，合并同類項，系數化為1即可求解．【詳解詳析】解：（1）3（x﹣2）≤5x+4，3x﹣6≤5x+4，3x﹣5x≤4+6，﹣2x≤10，x≥﹣5；（2），3（2+x）≥2（2x﹣1），6+3x≥4x﹣2，3x﹣4x≥﹣2﹣6，﹣x≥﹣8，x≤8．【名師指路】本題主要考查了一元一次不等式的求解，準確計算是解題的關鍵．25．已知方程組的解滿足x為非正數，y為負數．（1）求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解為x＞1，請寫出整數m的值．【標準答案】（1）﹣2＜m≤3；（2）﹣1【思路指引】（1）先求出二元一次方程組的解為，然后根據x為非正數，y為負數，即x≤0，y＜0，列出不等式求解即可；（2）先把原不等式移項得到（2m+1）x＜2m+1．根據不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解為x＞1，可得2m+1＜0，由此結合（1）所求進行求解即可．【詳解詳析】解：（1）解方程組用①+②得：，解得③，把③代入②中得：，解得，∴方程組的解為：．∵x為非正數，y為負數，即x≤0，y＜0，∴．解得﹣2＜m≤3；（2）（2m+1）x﹣2m＜1移項得：（2m+1）x＜2m+1．∵不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解為x＞1，∴2m+1＜0，解得m．又∵﹣2＜m≤3，∴m的取值范圍是﹣2＜m．又∵m是整數，∴m的值為﹣1．【名師指路】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解一元一次不等式，解題的關鍵在于能夠熟知相關求解方法．26．已知關于的不等式的解集為，求關于的一元一次不等式的解集．【標準答案】【思路指引】結合題意，根據不等式的性質，得a＜3b，2a+3b＝0；根據代數式的性質，得a＞0，b＜0，再根據一元一次不等式的性質計算，即可得到答案．【詳解詳析】∵關于的不等式的解集為∴a+3b＜0，∴a＜3b，8a＝12b，即2a+3b＝0∵a+3b＜0，，∴a＞0，b＜0∴的解集為：故答案為：．【名師指路】本題考查了一元一次不等式、代數式的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元一次不等式的性質，從而完成求解．27．若不等式（組）①的解集中的任意解都滿足不等式（組）②，則稱不等式（組）①被不等式（組）②覆蓋．特別地，若一個不等式（組）無解，則它被其他任意不等式（組）覆蓋．例如：不等式被不等式覆蓋；不等式組無解，被其他任意不等式（組）覆蓋．（1）下列不等式（組）中，能被不等式覆蓋的是______．a．b．c．d．（2）若關于的不等式被覆蓋，求的取值范圍．（3）若關于的不等式被覆蓋，直接寫出的取值范圍：_____．【標準答案】（1）c，d；（2）；（3）或．【思路指引】（1）根據題意分別解出不等式（組），再判斷a,b,c,d是否符合題意；（2）根據題意，列出關于m的不等式，即可求解；（3）分兩種情況討論，①不等式組無解；②不等式有解，滿足題目中的定義，據此列出不等式組，即可求解．【詳解詳析】（1）由，解得：，故a不符合題意；由，解得：，故b不符合題意；由，解得：，故c符合題意；由解得：，無解，故d符合題意；故選：c，d；（2）由，解得：，∵關于的不等式被覆蓋，∴，即，故填：；（3）①無解，即：，解得：；②有解，即，解得：，且不等式被覆蓋，即，解得：，∴；綜上所述，或，故填：或．【名師指路】本題考查解一元一次不等式（組），解題關鍵是明確題意，根據題意列出不等式（組）．28．閱讀理解：例1．解方程|x|＝2，因為在數軸上到原點的距離為2的點對應的數為±2，所以方程|x|＝2的解為x＝±2．例2．解不等式|x﹣1|＞2，在數軸上找出|x﹣1|＝2的解（如圖），因為在數軸上到1對應的點的距離等于2的點對應的數為﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解為x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集為x＜﹣1或x＞3．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程|x﹣2|＝3的解為；（2）解不等式：|x﹣2|≤1．（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8．（4）對于任意數x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范圍．【標準答案】（1）x=1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜3；（4）a≥6【思路指引】（1）利用在數軸上到2對應的點的距離等于3的點對應的數求解即可；（2）先求出|x2|=3的解，再求|x2|≤3的解集即可；（3）先在數軸上找出|x4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x4|+|x+2|＞8的解集；（4）原問題轉化為：a大于或等于|x+2|+|x4|最大值，進行分類討論，即可解答．【詳解詳析】解：（1）∵在數軸上到2對應的點的距離等于3的點對應的數為1或5，∴方程|x2|=3的解為x=1或x=5；（2）在數軸上找出|x2|=1的解．∵在數軸上到2對應的點的距離等于1的點對應的數為1或3，∴方程|x2|=1的解為x=1或x=3，∴不等式|x2|≤1的解集為1≤x≤3．（3）在數軸上找出|x4|+|x+2|=8的解．由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數軸上到4和2對應的點的距離之和等于8的點對應的x的值．∵在數軸上4和2對應的點的距離為6，∴滿足方程的x對應的點在4的右邊或2的左邊．若x對應的點在4的右邊，可得x=5；若x對應的點在2的左邊，可得x=3，∴方程|x4|+|x+2|=8的解是x=5或x=3，∴不等式|x4|+|x+2|＞8的解集為x＞5或x＜3．（4）原問題轉化為：a大于或等于|x+2|+|x4|最大值．當x≥4時，|x+2|+|x4|=x+2+x4=2x2，當2＜x＜4，|x+2|+|x4|=x+2x+4=6，當x≤2時，|x+2|+|x4|=x2x+4=2x+2，即|x+2|+|x4|的最大值為6．故a≥6．【名師指路】本題主要考查了絕對值，方程及不等式的知識，是一道材料分析題，通過閱讀材料，同學們應當深刻理解絕對值得幾何意義，結合數軸，通過數形結合對材料進行分析來解答題目．29．如圖，點A和點B在數軸上分別對應數a和b，其中a和b滿足（a+4）2＝﹣|8﹣b|，原點記作O．（1）求a和b；（2）數軸有一對動點A1和B1分別從點A和B出發沿數軸正方向運動，速度分別為1個單位長度/秒和2個單位長度/秒．①經過多少秒后滿足AB1＝3A1B？②另有一動點O1從原點O以某一速度出發沿數軸正方向運動，始終保持在與之間，且滿足，運動過程中對于確定的m值有且只有一個時刻t滿足等式：AO1+BO1＝m，請直接寫出符合條件m的取值范圍．【標準答案】（1）；（2）①或；②【思路指引】（1）先把條件化為：再利用非負數的性質可得：；（2）①先表示對應的數分別為：再求解再結合已知AB1＝3A1B，列方程，再解方程即可；②設的速度為每秒個單位，則對應的數為再表示代入可得：再表示再結合已知可得答案.【詳解詳析】解：（1）解得：（2）①由（1）得：對應的數分別為動點A1和B1分別從點A和B出發沿數軸正方向運動，速度分別為1個單位長度/秒和2個單位長度/秒，對應的數分別為：如圖，AB