高三數學第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A.或x>2 B.或C. D.2.函數的部分圖象大致為（）A. B.C D.3.橢圓的兩焦點為，，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.4.已知的一段圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象的一個對稱中心為C.的單調遞增區間是D.函數的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數的圖象5.用一個邊長為4正方形紙片，做一個如圖所示的幾何體，圖中兩個圓錐等底、等高，則該幾何體體積的最大值為（）A. B. C. D.6.若，則的大小關系為（）A. B. C. D.7.元旦聯歡會會場中掛著如圖所示的兩串燈籠，每次隨機選取其中一串并摘下其最下方的一個燈箋，直至某一串燈籠被摘完為止，則右側燈籠先被摘完的概率為（）A. B. C. D.8.如圖，從1開始出發，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如從1移動到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一條移動路線．從1移動到數字的不同路線條數記為，從1移動到11的事件中，跳過數字的概率記為，則下列結論正確的是（）①，②，③，④．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9已知函數，則（）A.的圖象關于直線對稱B.的圖象關于點對稱C.在區間上單調遞減D.在區間的值域為10.已知點為拋物線焦點，為上不重合的兩個動點，為坐標原點，若直線（直線斜率存在且不為0）與僅有唯一交點，則（）A.的準線方程為B.若線段與的交點恰好為中點，則C.直線與直線垂直D.若，則11.如圖所示曲線被稱為雙紐線，該種曲線在生活中應用非常廣泛，其代數形式可表示為坐標中（為坐標原點）動點到點的距離滿足：，則（）A.OP的最大值是B.若是曲線上一點，且在第一象限，則C.與有1個交點D.面積的最大值是三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.設拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于，兩點，若，，則___________．13.若曲線在點處的切線與曲線相切，則________．14.某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進行多輪射擊對決．每輪射擊中，甲命中目標的概率為，乙命中目標的概率為．若每輪射擊中，命中目標的選手得1分，未命中目標的選手得0分，且各輪射擊結果相互獨立．則進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為__________．四、解答題：本題共5小題.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，且．（1）求角A的大小；（2）求面積的最大值．16.已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，an＋1＝2Sn＋2.（1）求數列{an}的通項公式；（2）若2bn＝3nan，求數列{bn}的前n項和Tn.17.在中，角的對邊分別為的面積為，已知.（1）求角；（2）若的周長為，求的最大值.18.正四棱柱中，點分別在上，且四點共面.（1）若，記平面與底面的交線為，證明：；（2）已知，若，求四邊形面積的最大值.19.在高中數學教材蘇教版選擇性必修2上闡述了這樣一個問題：假設某種細胞分裂（每次分裂都是一個細胞分裂成兩個）和死亡的概率相同，如果一個種群從這樣的一個細胞開始變化，那么這個種群最終滅絕的概率是多少？在解決這個問題時，我們可以設一個種群由一個細胞開始，最終滅絕的概率為，則從一個細胞開始，它有的概率分裂成兩個細胞，在這兩個細胞中，每個細胞滅絕的概率都是，兩個細胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得；我們也可以設一個種群由一個細胞開始，最終繁衍下去的概率為，那么從一個細胞開始，它有的概率分裂成兩個細胞，在這兩個細胞中，每個細胞繁衍下去的概率都是，兩個細胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得．根據以上材料，思考下述問題：一個人站在平面直角坐標系的點處，他每步走動都會有的概率向左移動1個單位，有的概率向右移動一個單位，原點處有一個陷阱，若掉入陷阱就會停止走動，以代表當這個人由開始，最終掉入陷阱的概率．（1）若這個人開始時位于點處，且．（ⅰ）求他在5步內（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最終掉入陷阱的概率；（ⅲ）已知，若，求；（2）已知是關于的連續函數．（ⅰ）分別寫出當和時，的值（直接寫出即可，不必說明理由）；（ⅱ）求關于的表達式．

高三數學第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A.或x>2 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可知圖中的陰影部分表示，再根據交集，并集和補集的定義即可得解.【詳解】由題可知圖中的陰影部分表示，或，則，所以或x>2.故選：A.2.函數的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性的定義確定函數為偶函數，再根據余弦函數的性質可求解.【詳解】由題可知，的定義域為，又因為，所以，為偶函數．當時，，當時，，當時，.故選：C．3.橢圓的兩焦點為，，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是A，B，易得，，由此建立a，c的齊次式，進而可得結果.【詳解】設橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是A，B，易得，，∴，∴，∴，故選：D.4.已知的一段圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象的一個對稱中心為C.的單調遞增區間是D.函數的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數的圖象【答案】C【解析】【分析】首先根據函數圖像求出函數解析式，即可判斷A，再根據正弦函數的性質一一判斷即可；【詳解】解：由圖可知，，所以，解得，所以，又函數過點，即，所以，解得，因為，所以，所以，故A錯誤；因為，所以函數關于對稱，故B錯誤；令，解得，故函數的單調遞增區間為，故C正確；將函數的圖象向左平移個單位得為偶函數，故D錯誤；故選：C5.用一個邊長為4的正方形紙片，做一個如圖所示的幾何體，圖中兩個圓錐等底、等高，則該幾何體體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過圓錐側面展開圖的兩種情況①側面展開圖最大為半徑為2的半圓，②側面展開圖最大為半徑為的四分之一圓，計算比較即可.【詳解】根據題意有兩種方式可以得到這樣的幾何體，方式一：如圖①，可以得到圓錐的側面展開圖最大為半徑為2的半圓，因此一個圓錐的底面半徑為1，母線長為2，高為，所以兩個圓錐體積的最大值為．方式二：如圖②，可以得到圓錐的側面展開圖最大為半徑為的四分之一圓，因此一個圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，所以兩個圓錐體積的最大值為．，故選：A．6.若，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合結論若，則，證明，由此可得，再證明，由此可得結論.【詳解】若，則，且，所以，所以，因為，，所以，所以，故選：D．7.元旦聯歡會會場中掛著如圖所示的兩串燈籠，每次隨機選取其中一串并摘下其最下方的一個燈箋，直至某一串燈籠被摘完為止，則右側燈籠先被摘完的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意，得到摘取的次數為次，結合獨立重復實驗的概率計算公式，即可求解.【詳解】根據題意，直至某一串燈籠被摘完為止，可得摘取的次數為次，結合獨立重復實驗的概率計算公式，可得：當兩次摘完時，可得概率為；當三次摘完時，可得概率為；當四次摘完時，可得概率為，則.故選：D.8.如圖，從1開始出發，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如從1移動到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一條移動路線．從1移動到數字的不同路線條數記為，從1移動到11的事件中，跳過數字的概率記為，則下列結論正確的是（）①，②，③，④．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】根據題意分析，不難得到，按照規律寫出各項，即可判斷①，②正確；對于③，結合樹狀圖，考慮對立事件所包含的樣本點數，利用古典概型概率公式計算即得，同法求出即可判斷.【詳解】由題意可知，則，，則①正確；顯然，故②正確；因為，經過數字5的路線共有條.理由:如上樹狀圖所示，分別計算1-5的路線共有5條，5-11的路線共有13條，利用分步乘法計數原理可得，過數字5的路線共有條.則，故③正確；同理可得即有，故④錯誤.故選:A．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的圖象關于直線對稱B.的圖象關于點對稱C.區間上單調遞減D.在區間的值域為【答案】ABD【解析】【分析】根據正弦函數的性質逐一判斷即可.【詳解】因，選項A：，所以的圖象關于直線對稱，A說法正確；選項B：，所以的圖象關于點對稱，B說法正確；選項C：當時，，因為在單調遞增，所以在區間上單調遞增，C說法錯誤；選項D：當時，，因為在的值域為，所以在區間的值域為，D說法正確；故選：ABD10.已知點為拋物線的焦點，為上不重合的兩個動點，為坐標原點，若直線（直線斜率存在且不為0）與僅有唯一交點，則（）A.的準線方程為B.若線段與的交點恰好為中點，則C.直線與直線垂直D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】根據拋物線準線的定義即可判斷A；求出線段的中點坐標，代入拋物線方程，即可判斷B；設直線的方程為，聯立方程，根據，結合直線的斜率公式即可判斷C；根據焦半徑公式即可判斷D.【詳解】對于A，由拋物線拋物線，得的準線方程為，故A正確；對于B，F1,0，則線段的中點坐標為，則，解得，故B正確；對于C，設直線的方程為，聯立，消得，則，所以，則，所以直線與直線垂直，故C正確；對于D，設，則，所以，所以，所以，故D錯誤.故選：ABC.11.如圖所示的曲線被稱為雙紐線，該種曲線在生活中應用非常廣泛，其代數形式可表示為坐標中（為坐標原點）動點到點的距離滿足：，則（）A.OP的最大值是B.若是曲線上一點，且在第一象限，則C.與有1個交點D.面積的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】根據對稱性可知運動到軸上時，此時OP最大，即可求解A，根據特殊位置法即可求解B，利用與的交點，即可結合，求解C，利用判別式可得，即可求解D.【詳解】由雙紐線的對稱性可知：當運動到軸上時，此時OP最大，不妨設此時在軸的正半軸上，設此時，由，得，解得，故OP的最大值是，A正確，設Px,y，則，令，則，解得，而此時，不滿足，故B錯誤，聯立與，則，解得，故直線與曲線只有一個交點，而，，由A易知雙紐線中，根據對稱性，只需研究上與的交點情況，顯然只有原點這1個交點，C正確，對于D，由可得，令，則，該方程有實數根，故，解得，故，，故D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：根據與的交點，結合，，可判斷與的交點，由二次型方程的根，利用判別式可求解最大的縱坐標.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.設拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于，兩點，若，，則___________．【答案】##【解析】【分析】設Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】設Ax1,y1，Bx2,因為，，根據拋物線的定義可得，，過點作軸于點，過點作軸于點，則，所以，所以，即，解得．故答案為：．13.若曲線在點處的切線與曲線相切，則________．【答案】【解析】【分析】根據導數的幾何意義求出切線方程，再聯立切線方程與，消元，根據計算可得.【詳解】由，所以，則，所以曲線在點處的切線為，即；又與曲線相切，由，可得，則，解得或（舍去），故答案為：14.某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進行多輪射擊對決．每輪射擊中，甲命中目標的概率為，乙命中目標的概率為．若每輪射擊中，命中目標的選手得1分，未命中目標的選手得0分，且各輪射擊結果相互獨立．則進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為__________．【答案】【解析】【分析】利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得答案.【詳解】則進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，且．（1）求角A的大小；（2）求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理邊化角，然后利用兩角和的余弦公式及誘導公式變形可得答案；（2）先利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，進而可得面積的最大值.【小問1詳解】，，，，，；【小問2詳解】由余弦定理可得：，即，則，，當且僅當時，等號成立．，面積的最大值為．16.已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，an＋1＝2Sn＋2.（1）求數列{an}的通項公式；（2）若2bn＝3nan，求數列{bn}的前n項和Tn.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由的關系可得，求出，再由的關系，得到，進而根據等比定義求得{an}的通項公式；（2），由錯位相減法可求得{bn}的前n項和Tn．小問1詳解】,為首項是3，公比為3的等比數列，，當時，，當時，，符合上式，【小問2詳解】，，，.17.在中，角的對邊分別為的面積為，已知.（1）求角；（2）若的周長為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等變換即可求解；(2)由余弦定理及三角形的面積公式得，再由基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以，即，由正弦定理，得，因為，所以，因為，所以，所以，又，所以.【小問2詳解】由余弦定理，得，即，所以，即，因為，，所以，所以，又（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），即的最大值為.18.正四棱柱中，點分別在上，且四點共面.（1）若，記平面與底面的交線為，證明：；（2）已知，若，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）連接，利用已知可得四邊形是平行四邊形，進而可得平面，由線面平行的性質可得；（2）以為坐標原點，為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得四邊形是平行四邊形，進而可得，結合已知計算可求四邊形面積的最大值.【小問1詳解】連接，由正四棱柱，可得，，，又因為，所以由勾股定理可得，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面平面，所以，所以；【小問2詳解】以為坐標原點，為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，又底面是正方形，所以，又，所以，所以，所以，所以，，由正四棱柱，可得平在面，又四點共面，過有唯一平面，又平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形是平行四邊形，又，所以，所以，又，所以，解得，所以，所以四邊形面積的最大值為.19.在高中數學教材蘇教版選擇性必修2上闡述了這樣一個問題：假設某種細胞分裂（每次分裂都是一個細胞分裂成兩個）和死亡的概率相同，如果一個種群從這樣的一個細胞開始變化，那么這個種群最終滅絕的概率是多少？在解決這個問題時，我們可以設一個種群由一個細胞開始，最終滅絕的概率為，則從一個細胞開始，它有的概率分裂成兩個細胞，在這兩個細胞中，每個細胞滅絕的概率都是，兩個細胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得；我們也可以設一個種群由一個細胞開始，最終繁衍下去的概率為，那么從一個細胞開始，它有的概率分裂成兩個細胞，在這兩個細胞中，每個細胞繁衍下去的概率都是，兩個細胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得．根據以上材料，思考下述問題：一個人站在平面直角坐