模塊三重難點題型專項訓練專題34規律探究題專訓規律探索類問題的特征是給出若干個按照一定順序排列的具有某種特定變化規律的數、式或圖形，要求解題者通過觀察、分析、歸納和猜想等一系列活動找出蘊藏于其間的一般性規律。這類較為新穎的探索型問題不僅可以鍛煉學生的邏輯推理能力，培養創新意識和創新能力，而且還具有較強的綜合性和較高的區分度，因此成為近年各地中考數學中的一個考查熱點。例1（2022·西藏·統考中考真題）按一定規律排列的一組數據：，，，，，，…．則按此規律排列的第10個數是（）A． B． C． D．例2（2022·山東濟寧·統考中考真題）如圖，用相同的圓點按照一定的規律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規律，第一百幅圖中圓點的個數是（

）A．297 B．301 C．303 D．400例3（2022·新疆·統考中考真題）將全體正偶數排成一個三角形數陣：按照以上排列的規律，第10行第5個數是（

）A．98 B．100 C．102 D．104例4（2022·重慶·統考中考真題）把菱形按照如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數為（

）A．15 B．13 C．11 D．9例5（2022·重慶·統考中考真題）用正方形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數為（

）A．32 B．34 C．37 D．41例6（2022·內蒙古·中考真題）觀察下列等式：，，，，，，…根據其中的規律可得的結果的個位數字是（

）A．0 B．1 C．7 D．8例7（2021·云南·統考中考真題）按一定規律排列的單項式：，……，第n個單項式是（

）A． B． C． D．例8（2022·內蒙古鄂爾多斯·統考中考真題）按一定規律排列的數據依次為，，，……按此規律排列，則第30個數是_____．例9（2022·湖北恩施·統考中考真題）觀察下列一組數：2，，，…，它們按一定規律排列，第n個數記為，且滿足．則________，________．例10（2022·浙江舟山·中考真題）觀察下面的等式：，，，……(1)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）(2)請運用分式的有關知識，推理說明這個結論是正確的．例11（2022·安徽·統考中考真題）觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．例12（2021·山東青島·統考中考真題）問題提出：最長邊長為128的整數邊三角形有多少個？（整數邊三角形是指三邊長度都是整數的三角形．）問題探究：為了探究規律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結論．（1）如表①，最長邊長為1的整數邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1.按照（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為，有1個，所以總共有個整數邊三角形．表①最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式1111個1（2）如表②，最長邊長為2的整數邊三角形，最短邊長是1或2.根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，當最短邊長為1時，第三邊長只能是2，記為，有1個；當最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2，記為，有1個，所以總共有個整數邊三角形．表②最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式2112個121（3）下面在表③中總結最長邊長為3的整數邊三角形個數情況：表③最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式3112個22，231（4）下面在表④中總結最長邊長為4的整數邊三角形個數情況：表④最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式4113個22，23，241（5）請在表⑤中總結最長邊長為5的整數邊三角形個數情況并填空：表⑤最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式511______2，23____________4，251問題解決：（1）最長邊長為6的整數邊三角形有___________個．（2）在整數邊三角形中，設最長邊長為，總結上述探究過程，當為奇數或為偶數時，整數邊三角形個數的規律一樣嗎？請寫出最長邊長為的整數邊三角形的個數．（3）最長邊長為128的整數邊三角形有__________個．拓展延伸：在直三棱柱中，若所有棱長均為整數，則最長棱長為9的直三棱柱有___________個．一、遞進式變化規律遞進變化類的規律題通常給出若干個按照某種特定的遞進變化規律(遞增或遞減)排列的數、式或圖形等內容，要求從這些已知量的觀察分析中找出變化的一般規律。學生很容易看出題目呈現的是一列遞進變化的量，但較難歸納出一個統一的表達式來表示變化的一般規律，而變化的一般規律常常與已知量的排列序號有關聯。因此在解決此類問題時，首先要按照題目中的排列順序給已知量編上序號；然后找出已知量中變化和不變的部分，分析序號和變化部分之間的數量關系，猜想和歸納出第n個量的含有n的表達式，得出一般規律；最后將序號代回表達式算出結果，比較所得結果與對應數值是否一致，驗證猜想的正確性，得出最終結果。1、數與式的遞進變化規律這類規律題通常呈現出一列按照某種特定的遞進變化規律排列的數字、等式或代數式等，要求變化的一般規律。解決這類題目的關鍵在于根據前若干項已知量(若沒直接給出則需根據題目的信息求出來)的變化部分找出與它們對應的排列序號之間的數量關系，從而得出變化的一般規律。2、圖形變化中的數量遞進變化規律與圖形有關的遞進變化規律題歸根結底考查的也是圖形在變化過程中圖案的個數、圖形的周長或面積、線段的長度等這些量的變化規律。解決這類問題要仔細觀察并找出圖形變化與不變的部分，研究變化部分的圖形變化和數量變化的規律，找出不變部分的固定數量，分析變化部分的數量與對應的圖形排列序號之間的數量關系，從而得出變化的一般規律。3、圖表中的數字遞進變化規律這類題目的規律蘊藏在圖表中的數字變化中，解題的關鍵在于尋找圖表中每行、每列中的數字之間關系和排列順序，以及行與行之間、列與列之間的聯系，此外還應觀察圖表中的數與它所處的列數和行數間的數量變化規律。【變式1】（2022·重慶銅梁·銅梁中學校校考模擬預測）下列中國結圖形都是邊長為“”的正方形按照一定規律組成，第個圖形中共有個邊長為“”的正方形，第個圖形中共有個邊長為“”的正方形，第個圖形中共有個邊長為“”的正方形，，依此規律，第個圖形中邊長為“”的正方形的個數是（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·重慶·重慶八中校考二模）把黑色圓點按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有6個黑色圓點，第③個圖案中有8個黑色圓點，…，按此規律排列下去，則第⑦個圖案中黑色圓點的個數為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【變式3】（2022·山西·山西實驗中學校考模擬預測）如圖是一組有規律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依此規律，第_________個圖案中有2021個涂有陰影的小正方形．【變式4】（2022·山東泰安·模擬預測）我國古代數學的許多成就都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例，例如，在三角形中第三行的三個數，，，恰好對應展開式中的系數；第四行的四個數，，，，恰好對應著展開式中的系數；請根據規律直接寫出的展開式______．【變式5】（2022·浙江臺州·統考二模）浙江從3月6日至3月20日新增新冠確診人數和無癥狀人數情況如下表，根據表中數據繪制出如下的折線統計圖，請根據統計圖表分析：日期67891011121314151617181920確診1616182454154328383223303無癥狀34883334311371712822242617(1)在統計的這段時期內，新增確診和無癥狀感染者總人數在60人以上的天數有______天；(2)3月6日至3月20日平均每天有多少個確診的新冠病人？(3)請比較分析這段時間確診人數與無癥狀感染人數的整體水平與變化規律，并對下階段防疫工作提出一條合理化的建議．例1（2022·山東煙臺·統考中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規律作下去，第6個正方形的邊長為（）A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6例2（2020·山東煙臺·統考中考真題）如圖，為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規律作下去，則OAn的長度為（

）A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1例3（2022·黑龍江·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，……在x軸上且，，，……按此規律，過點，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．例44．（2022·遼寧錦州·統考中考真題）如圖，為射線上一點，為射線上一點，．以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；延長交射線于點，以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；延長交射線于點，以為邊在其右側作菱形，且與射線交于點，得；…，按此規律進行下去，則的面積___________．例5（2022·黑龍江綏化·統考中考真題）如圖，，點在射線上，且，過點作交射線于，在射線上截取，使；過點作交射線于，在射線上截取，使.按照此規律，線段的長為________．循環變化規律循環類規律題中的數、式、圖形或坐標等內容的變化中有著循環規律，它們有著一定的排列順序和固定的循環周期，并根據特定的循環周期間隔出現。解決此類問題首先應發現題目中的循環規律并找出循環周期，明確循環周期中的量的個數和變化規律，然后根據實際問題求出循環周期的個數及余數，最后結合題目的要求和所得數據解出答案。1、數與式的循環變化規律這類題目中有著一列存在著循環規律排列的數字或代數式。計算并觀察題目規律中前若干項的結果，當發現這些數字或代數式存在循環規律時，找出循環周期并結合題目要求算出循環周期的個數及余數是解決此類問題的關鍵。2、圖形變化中的坐標循環變化規律這類規律題通常要求某個連續變化的圖形中某點的坐標，在某點的變化過程中對應坐標的數字存在著循環變化的規律。解題的重點在于仔細觀察圖形變化的特點，計算和分析某點變化中橫坐標或縱坐標的規律，找出循環周期并結合題目要求算出循環周期的個數及余數，進而得出要求的坐標。【變式1】（2022·山東濟寧·校考二模）如圖，在正方形中，，與直線所夾銳角為，延長交直線于點，作正方形，延長交直線于點，作正方形，延長交直線于點，作正方形，依次規律，則線段（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學校考模擬預測）如圖，在圖1中，、、分別是等邊的邊、、的中點，在圖2中，，，分別是的邊、、的中點，…，按此規律，則第n個圖形中菱形的個數共有（

）個．A． B． C． D．【變式3】（2022·甘肅嘉峪關·校考一模）如圖，平面直角坐標系內，動點P按圖中箭頭所示方向依次運動，第1次從點運動到點，第二次運動到點，第3次運動到點，按這樣的運動規律，動點P第次運動到的點的坐標是_______．【變式4】（2022·貴州遵義·校考三模）在平面直角坐標系中，若干個邊長為1個單位長度的等邊三角形，按下圖中的規律擺放．點P從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“……”的路線運動．設第n秒運動到點（n為正整數），則點的坐標是_______________．【變式5】（2020·江西南昌·模擬預測）已知拋物線（n為正整數，且）與x軸的交點為和．當時，第1條拋物線與x軸的交點為和，其他以此類推．（1）求的值及拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點的坐標為（_______，_______）；以此類推，第條拋物線的頂點的坐標為（______，_______）；所有拋物線的頂點坐標滿足的函數關系式是_________．（3）探究以下結論：①是否存在拋物線，使得為等腰直角三角形？若存在，請求出拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．②若直線與拋物線分別交于點，則線段的長有何規律？請用含有m的代數式表示．【培優練習】1．（2022秋·全國·七年級期末）有一個數字游戲，第一步：取一個自然數，計算得，第二步：算出的各位數字之和得，計算得，第三步算出的各位數字之和得，計算得；以此類推，則的值為（

）A．7 B．52 C．154 D．3102．（2022秋·江蘇泰州·七年級校考階段練習）是不為2的有理數，我們把稱為的“哈利數”．如：3的“哈利數”是，的“哈利數”是，已知，是的“哈利數”，是的“哈利數”，是的“哈利數”，，依此類推，則等于（）A． B． C． D．53．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖所示，點，，，，，根據這個規律，可得點的坐標是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·山東泰安·九年級統考期末）斐波那契螺旋線．也稱“黃金螺旋線”，它可以通過分別以為半徑，依次作圓心角為的扇形弧線畫出來（如圖）．第1步中扇形的半徑是，按如圖所示的方法依次畫，第8步所畫扇形的弧長為（

）A． B． C． D．5．（2021秋·重慶·九年級重慶實驗外國語學校校考階段練習）下列圖形都是由大小相同的小圓按一定規律組成的，其中第①個圖形中有2個小圓，第②個圖形中有8個小圓，第③個圖形中有16個小圓…，按此規律排列下去，第⑦個圖形中的小圓個數為（

）A．38 B．52 C．68 D．866．（2021秋·廣東茂名·八年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點O出發，按向右，向上，向右，向下的方向依次不斷移動，每次移動1m．其行走路線如圖所示，第1次移動到A1，第2次移動到A2，…第n次移動到An．則△OA6A2018的面積是（

）A．505 B．504.5C．504 D．5037．（2021秋·河南新鄉·九年級新鄉市第一中學校考期末）如圖，頂角為的等腰三角形，其底邊與腰之比等k，這樣的三角形稱為黃金三角形，已知腰AB=1，為第一個黃金三角形，為第二個黃金三角形，為第三個黃金三角形以此類推，第3個黃金三角形的周長（）A． B． C． D．8．（2021秋·山東日照·七年級日照港中學校考期中）將正方形ABCD(如圖1)作如下劃分，第1次劃分：分別連接正方形ABCD對邊的中點(如圖2)，得線段HF和EG，它們交于點M，此時圖2中共有5個正方形；第2次劃分：將圖2左上角正方形AEMH再劃分，得圖3，則圖3中共有9個正方形；若把左上角的正方形依次劃分下去，則第n次劃分后，圖中共有（

）個正方形．A． B． C． D．9．（2022秋·山東臨沂·九年級統考期中）若關于x的一元二次方程，當時，相應的一元二次方程的兩根分別記為則的值為_________．10．（2022秋·四川成都·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，將繞點A順時針旋轉到的位置，點B、O分別落在點、處，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉到的位置，點在x軸上，將繞點順時針旋轉到的位置，點在x軸上，依次進行下去…．若點，，則點的坐標為_______．11．（2022秋·北京西城·九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，菱形中，已知，，對角線交點D，將菱形繞點D順時針方向旋轉，每次旋轉60°，則旋轉2次后，點D的坐標是___________，旋轉2022次后，點D的坐標是___________．12．（2022秋·北京西城·八年級北京市第十三中學分校校考期中）如圖，圖中的方格均是邊長為1的正方形，每一個正方形的頂點都稱為格點.圖①⑥中，這些多邊形的頂點都在格點上，且其內部沒有格點，像這樣的多邊形我們稱為“內空格點多邊形”（1）當內空格點多邊形邊上的格點數為10時，此多邊形的面積為______；（2）設內空格點多邊形邊上的格點數為L，面積為S，請用等式表示L與S的關系______13．（2022秋·江蘇泰州·七年級泰州市第二中學附屬初中校考階段練習）如圖①，將正方體骰子（相對面上的點數分別為1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上．在圖②中，將骰子向右翻滾，然后在桌面上按逆時針方向旋轉，則視作完成一次變換．若骰子的初始位置為圖①所示的狀態，那么按上述規則連續完成2022次變換后，骰子朝上一面的點數是__________．14．（2022秋·九年級單元測試）如圖，矩形的兩邊、分別在軸、軸上，點與原點重合，點，將矩形沿軸向右翻滾，經過一次翻滾點對應點記為，經過第二次翻滾點對應點記為依此類推，的坐標__，經過2022次翻滾后點對應點的坐標為________．15．（2022秋·湖南岳陽·九年級校考階段練習）如圖，點在反比例函數（）的圖象上，點在y軸上，且，直線與雙曲線交于點，，，則的坐標是_____．16．（2022秋·遼寧鞍山·七年級統考期中）觀察下面三行數：，4，，16，，……；①，5，，17，，……；②，8，，32，，……；③(1)第①行的第8個數是______；(2)第②行的第個數是______；（為正整數）(3)取每一行的第7個數，計算這三個數的和．17．（2022秋·山東濟南·七年級統考期中）十一期間，泉城廣場的一個公共區域用盆栽進行了美化，盆栽按如圖的方式擺放，圖中的盆栽被折線隔開分成若干層，第一層有1個盆栽，第二層有3個盆栽，第三層有5個盆栽，第四層有7個盆栽，……，以此類推．請觀察圖形規律，解答下列問題：(1)第10層有個盆栽，第a層有個盆栽，前n層共有個盆栽；(2)計算：；(3)拓展應用：求的值．18．（2022秋·九年級課時練習）如圖幾何體是由若干棱長為1的小立方體按一定規律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規律．(1)第1個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有______個；第2個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有______個；第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有______個．(2)求出第10個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數．(3)求出前100個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數的和．19．（2022秋·八年級單元測試）閱讀理解：材料：小華在學習分式運算時，通過具體運算：，，，，…，發現規律：（為正整數），并證明了此規律成立．應用規律，快速計算：．根據材料，回答問題：在學習二次根式運算時，小華根據分式學習積累的活動經驗，類比探究二次根式的運算規律，并解決問題．請將