第17講有理數及其運算全章復習目標導航目標導航課程標準1.掌握有理數定義及分類；2.掌握相反數、數軸、絕對值的含義及其應用；3.掌握有理數的加減乘除及其乘方運算；4.掌握有理數在實際中的應用.知識知識清單知識點01有理數的分類（1）按照性質分類：（2）按照符號分類：（3）小數分類：和統稱為非負數；和統稱為非正數.【答案】正數；0；負數；0.知識點02相反數（1）相反數的概念：只有_________不同的兩個數叫做互為相反數．（2）相反數的意義：掌握相反數是成對出現的，不能單獨存在，從數軸上看，除0外，互為相反數的兩個數，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．（3）多重符號的化簡：與“+”個數無關，有奇數個“﹣”號結果為負，有偶數個“﹣”號，結果為正．（4）規律方法總結：求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“﹣”，如a的相反數是﹣a，m+n的相反數是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號．（5）正數的相反數是____________，負數的相反數是____________，零的相反數是____________.（6）互為相反數的兩個數分別在原點的____________，并且到原點的____________相等.【注意】相反數等于它本身的數是_________.知識點03絕對值（1）一般地，數軸上表示數a的點與的距離叫做數a的絕對值，記作.【答案】原點；（2）絕對值的幾何意義：的幾何意義是到原點的距離；的幾何意義是a到b的距離.【例】的幾何意義表示到原點的距離；的幾何意義表示x到5的距離；的幾何意義表示x到的距離.（3）正數的絕對值是，負數的絕對值是，0的絕對值是.即當a>0時，是它的；當a<0時，是它的；當a=0時，是.【答案】本身；相反數；0【注意】①絕對值等于它本身的數是__________.②若，那么a就是非負數；若，那么a就是非正數.【答案】正數和0（4）“若幾個非負數的和為0，則每一個非負數必為0”，即若，則．知識點04有理數的加減乘除及其乘方運算1.有理數的加法法則（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）異號兩數相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；（3）互為相反數的兩個數相加得_____；（如果兩個數的和為_____，那么這兩個數互為相反數）（4）一個數同0相加，仍得這個數.【答案】0；02.有理數的減法法則減去一個數等于加上這個數的_______，即.【注意】計算過程中，一定要注意符號.【答案】相反數3.有理數的乘法法則（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.（2）任何數同0相乘，都得0.（3）多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．倒數：乘積是1的兩個有理數互為倒數.【注意】：①0沒有倒數；②倒數等于它本身的數有1和1.（4）有理數的乘法運算律①乘法交換律：；②乘法結合律：；③乘法分配律：．4.有理數的除法法則（1）除以一個不為0的數，等于乘以這個數的_______.（2）兩數相除（被除數不為0），同號得正，異號得負，并把絕對值相除.【注意】：0除以任何不為0的數，都得0.【答案】倒數5.有理數的乘方（1）正數的任何次冪都是正數；（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；（3）0的任何正整數次冪都是0；（4）有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值.考點精析考點精析考點一基礎知識過關考點一基礎知識過關1.有理數按照性質分類可分為整數和______，0是正數還是負數？（□正數□負數□都不是）2.一定是負數嗎？和都是______數，它們具有什么性質？在本章通常會考查什么題型？（試舉例說明）3.什么是無理數？寫幾個無理數.和有理數的區別是什么？4.數軸的三要素是______，______，______.5.數軸上的數的特點：（1）左邊的數______右邊的數（填＞或＜）；（2）越往左數越______，越往右數越______.6.數軸上計算兩點之間的距離的方法是____________，計算兩點的重點的方法是____________.7.相反數的性質是：若a、b互為相反數，則______.8.絕對值的幾何意義是？9.正數的絕對值是______，負數的絕對值是______，0的絕對值是______.10.相反數等于它本身的數有______，倒數等于它本身的數有______，絕對值等于它本身的數有______.11.若，那么a一定是______；若，那么a一定是______.由此我們可以得出若，那么一定是______；若，那么一定是______.12.去絕對值的方法是正數直接去，負數_________，0既可直接去亦可______.若，則______；若，則______.13.絕對值幾何意義的應用：（1）對于有最____值，是多少？_______；（2）對于有最____值，是多少？_______；（3）有最____值，是多少？_______；有最____值，是多少？_______；14.除法是否有分配率？（□有□沒得）15.對于數，在求精確到哪一位時，是否需要展開？（□需要□不需要）在求有效數字有幾個時，是否需要展開？（□需要□不需要）16.計算題要多練習，尤其要注意符號.計算過程中，能夠用簡便運算的要用簡便運算.【答案】略，不解釋考點二科學計數法考點二科學計數法1.

）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解:故選B．2.2021年5月11日上午，第七次全國人口普查主要數據結果正式發布．2020年11月1日零時，全國人口共141178萬人，與2010年的133972萬人相比，增加了7206萬人，增長5.38%;年平均增長率為0.53%．數據141178萬用科學記數法表示為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數．【詳解】解：141178萬．故選C．3.2020年，新冠病毒全球肆虐，據世界衛生組織公布的數據，截至2022年1月16日，美國累計確診病例超6670萬，這個數據用科學記數法表示為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】解：6670萬=66700000=6.67×107．故選：D．考點二近似數考點二近似數1.用四舍五入法，按括號內的要求對下列數取近似值．（1）0.008435（保留三個有效數字）≈_________；（2）12.975（精確到百分位）≈_________；（3）548203（精確到千位）≈_________；（4）5365573（保留四個有效數字）≈_________．【答案】

0.00844

12.98

【解析】【分析】（1）根據有效數字的定義（對于一個近似數，從左邊第一個不是零的數字起，往右到末位數字為止的所有數字，叫做這個近似數的有效數字）即可得；（2）根據精確度的定義（近似數與準確數的接近程度即近似程度，對近似程度的要求，叫做精確度）即可得；（3）根據精確度的定義（近似數與準確數的接近程度即近似程度，對近似程度的要求，叫做精確度）即可得；（4）根據有效數字的定義（對于一個近似數，從左邊第一個不是零的數字起，往右到末位數字為止的所有數字，叫做這個近似數的有效數字）即可得．【詳解】解：（1）保留三個有效數字：，（2）精確到百分位：，（3）精確到千位：，（4）保留四個有效數字：，故答案為：，，，．2.截止2021年1月10日14：26，美國新冠疫情累計確診人數為22699938，精確到萬位，用科學記數法表示為（

）A．22.699938×108B．22.7×1010C．2.27×108D．2.270×107【答案】D【解析】【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤∣a∣＜10，n為整數．【詳解】解：．故選：D．3.網聚正能量，構建同心圓．以“奮斗的人民，奮進的中國”為主題的2021中國正能量“五個一百”網絡精品征集評選展播活動進入火熱的展播投票階段．截至2021年11月26日18點，“五個一百”活動投票量累計13909615次，數據13909615用科學記數法表示并精確到百萬位為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】首先精確到百萬位，再用科學記數法表示．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數．【詳解】解：原數精確到百萬位為：13909615≈14000000，再用科學記數法表示為：14000000=1.4×107，故選D．4.精確到______位，有______個有效數字，32845676保留5個有效數字為______．【答案】

萬

四##4

3.2846×107【解析】【分析】近似數精確到哪一位，應當看末位數字實際在哪一位，根據有效數字的定義可得32845676保留5個有效數字的結果．【詳解】近似數3.280×107精確到萬位，有效數字是3，2，8，0四個，32845676保留5個有效數字為3.2846×107．故答案為：萬；四；3.2846×107．考點三有理數的分類考點三有理數的分類1.在數，0.4，，3.14，0.1010010001…（每兩個之間多一個0），120%，，100，這9個數中，有理數有______個．【答案】7【解答】解：根據有理數的定義，0.4，，3.14，120%，，100，，這7個是有理數.2，把下列各數填入相應的大括號內上：.有理數集合：{…}；整數集合：{…}；非正數集合：{…}.【答案】有理數集合：{}；整數集合：{}；非正數集合：{}.3.把下列各數填在相應的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．負數集合：{…}；整數集合：{…}；正有理數集合：{…}．【答案】見解析【解析】【分析】根據有理數的定義分類即可．【詳解】解：負數集合：{﹣1，﹣2，，﹣0.75…}；整數集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；正有理數集合：{3，0.5，，30%…}．故答案為：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．考點四數軸上點的距離和中點考點四數軸上點的距離和中點1.數軸上表示和3的兩點之間的距離是（）A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D2.已知點A在數軸上所對應的數為2，點A、B之間的距離為5，則點B在數軸上所對應的數是（）A．7 B．3 C．±5 D．3或7 【答案】D【解析】【分析】根據數軸上與點A的距離為5的分為兩種情況，在進行計算即可．【詳解】解：當點B在A的左邊時，即2﹣5＝﹣3，當點B在A的右邊時，即2+5＝7，故B點所表示的數為﹣3或7．故選：D．3.點A、B、C在同一條數軸上，其中點A、B表示的數分別為﹣3、1．若點B到點C的距離為6，則點A到點C的距離等于（）A．3 B．6 C．3或9 D．2或10 【答案】D【解析】【詳解】解：∵點A、B表示的數分別為﹣3、1，若點B到點C的距離為6，∴當C在B的左側時，點C表示的數是1﹣6＝﹣5，當C在B的右側時，點C表示的數是1＋6＝7，點A與點C的距離是﹣3﹣（﹣5）＝2或7﹣（﹣3）＝10．故選：D．4.數軸上點A和點B表示的數分別是1和3，點P到A、B兩點的距離之和為6，則點P表示的數是（）A．3 B．3或5 C．2 D．2或4 【答案】D【分析】根據AB的距離為4，小于6，分點P在點A的左邊和點B的右邊兩種情況分別列出方程，然后求解即可．【解答】解：∵AB=|3（1）|=4，點P到A、B兩點的距離之和為6，設點P表示的數為x，∴點P在點A的左邊時，1x+3x=6，解得：x=2，點P在點B的右邊時，x3+x（1）=6，解得：x=4，綜上所述，點P表示的數是2或4．故選：D．5.數軸上點M與點N表示的數分別是5和2，點P到點M、N兩點的距離之和為10，則點P所在的點表示的數是.【答案】6.5或3.5【分析】根據AB的距離為7，小于10，分點P在點A的左邊和點B的右邊兩種情況，然后求解即可．【解答】解：∵AB=|5（2）|=7，點P到A、B兩點的距離之和為10，所以P點可以等于6.5或3.56.數軸上點A表示的數是a，點B表示的數是b，則A、B兩點的距離是，A、B兩點的中點是．若a=2，b=4，那么A、B兩點的中點是.【答案】ab；；17.在數軸上，點A，B表示的數分別是和2，則線段AB的中點表示的數是(

)A． B． C． D． 【答案】A【解析】【分析】令AB的中點為M，根據兩點之間的距離求得AB，根據中點的性質求得BM，進而即可求解．【詳解】解：令AB的中點為M，，∴，∴AB的中點表示的數是，故選：A．考點五利用絕對值化簡考點五利用絕對值化簡1.有理數a、b、c在數軸上位置如圖，則的值為（

）．A．2a B．2a+2b2c C．0 D．2c 【答案】A【解析】【分析】根據數軸，確定每個數的屬性，每個代數式的屬性，后化簡即可．【詳解】根據數軸上點的位置得：，且，則，，，則．故選A．2.表示a，b，c三個數的點在數軸上的位置如圖所示，則代數式的值等于（

）A．2a2b2c B．2a C．2a2b D．2b 【答案】B【解析】【分析】判斷，是負數，是正數，根據正數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，0的絕對值是0，進行化簡；【詳解】解：原式=，，=．3.如圖，化簡代數式|ba||a1|+|b+2|的結果是_______.【答案】3．【分析】根據有理數a、b在數軸上的位置，可以得出ba，a1、b+2的符號，進而化簡即可．【解答】解：由有理數a、b、c在數軸上的位置，可得，1＜b＜0，1＜a＜2，所以有ba＜0，a1＞0，b+2＞0，因此|ba||a1|+|b+2|=ab（a1）+（b+2）=aba+1+b+2=3，故答案為：3．4.有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示：化簡：|a+b||b1||ac||1c|=_______.【答案】見試題解答內容【分析】根據數軸上點的位置判斷出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數意義化簡，去括號合并即可得到結果．【解答】解：根據數軸上點的位置得：b＜a＜0＜c＜1，∴a+b＜0，b1＜0，ac＜0，1c＞0，則原式=ab+b1+ac1+c=2．考點六非負數的應用考點六非負數的應用1.已知，則______，______.【答案】1；22.已知，則______，______.【答案】3；63.已知與互為相反數，則______.【答案】44.已知，則______，______.【答案】1；2考點七絕對值的幾何意義考點七絕對值的幾何意義1.若a為有理數，則|a3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2||a1|的最大值是_______．【答案】7；32.我們知道數形結合是解決數學問題的重要思想方法，例如|31|可表示為數軸上3和1這兩點的距離，而即則表示3和1這兩點的距離．式子的幾何意義是數軸上x所對應的點與1所對應的點之間的距離，而，所以的幾何意義就是數軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離．根據以上發現，試探索：（1）直接寫出____________．（2）結合數軸，找出所有符合條件的整數x，的所有整數的和．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數x，是否有最小值？如果有，請寫出最小值并說明理由；如果沒有，請說明理由．【答案】(1)10(2)3，2，1，0，1，2，和為3(3)有，10【解析】【分析】（1）根據有理數減法法則計算；（2）分析得到表示x與2的距離，表示x與3的距離，由，確定，進而解答；（3）設4表示點A，6表示點B，x表示點P，則，分三種情況：當P在點A左側時，當P在點B右側時，當P在A、B之間時，分別求出最小值解答．(1)10，故答案為10；(2)表示x與2的距離，表示x與3的距離，∵，∴，∴整數x=3，2，1，0，1，2，和為321+0+1+2=3；(3)有最小值10，理由如下：設4表示點A，6表示點B，x表示點P，則，當P在點A左側時，，當P在點B右側時，，當P在A、B之間時，，∴的最小值為10．3.閱讀下面材料：點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，在數軸上A、B兩點之間的距離AB＝|ab|．回答下列問題：（1）數軸上表示﹣3和1兩點之間的距離是，數軸上表示x和2的兩點之間的距離是；（2）數軸上表示a和1的兩點之間的距離為6，則a表示的數為；（3）若x表示一個有理數，則|x+2|+|x4|有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由．【答案】(1)4，(2)或(3)有最小值，6【解析】【分析】（1）根據在數軸上A、B兩點之間的距離為AB＝|a﹣b|即可求解；（2）根據在數軸上A、B兩點之間的距離為AB＝|a﹣b|即可求解；（3）根據絕對值的幾何意義，即可得解．(1)解：，故答案為：4，．(2)解：∵∴或，故答案為：或．(3)有最小值，6考點八概念辨析考點八概念辨析1.若兩個數之和為負數，則一定是（）A．這兩個加數都是負數B．這兩個加數只能一正一負C．兩個加數中，一個是負數，一個是0D．兩個加數中至少有一個是負數【答案】D【解析】【分析】兩個數之和為負數有三種情況：兩個數都是負數；一正一負，且負數的絕對值大于正數；一個負數，一個是0．【詳解】兩個數之和為負數有三種情況：兩個數都是負數；一正一負，且負數的絕對值大于正數；一個負數，一個是0．由此可知，若兩個數之和為負數，則兩個加數中至少有一個是負數．故答案為：D．2.下列說法正確的是（）A．兩個加數之和一定大于每一個加數B．兩數之和一定小于每一個加數C．兩個數之和一定介于這兩個數之間D．以上皆有可能【分析】利用有理數的加法法則判斷即可．【解答】解：A、兩個加數之和不一定大于加數，不符合題意；B、兩數之和不一定小于每一個加數，不符合題意；C、兩個數之和不一定介于這兩個數之間，不符合題意；D、以上皆有可能，符合題意，故選：D．3.下說法正確的是（）A．0減任何數的差都是負數 B．減去一個正數，差一定大于被減數 C．減去一個正數，差一定小于被減數D．兩個數之差一定小于被減數【分析】可通過舉反例說明不正確的，通過分類討論說明正確的．【解答】解：0減去負數的差就是正數，正數大于被減數0，故A、D都是不正確的；負數減去正數，差一定小于被減數，故選項B不正確；減去一個正數，差一定小于被減數，此選項正確．故選：C．4.關于有理數的減法，下列說法正確的是（）A．兩個有理數相減，差一定小于被減數B．兩個負數的差一定小于0 C．兩個負數相減，等于他們的絕對值相減 D．兩個有理數的差是正數，則被減數一定大于減數【分析】根據有理數的減法法則逐一判斷即可．有理數的減法法：減去一個數，等于加上這個數的相反數．【解答】解：A、兩個有理數相減，差不一定小于被減數，如2﹣（﹣1）＝3，故本選項不合題意；B、兩個負數的差不一定小于0，如﹣1﹣（﹣4）＝3，故本選項不合題意；C、兩個負數相減，根據減去一個數，等于加上這個數的相反數，而不是它們的絕對值相減，故本選項不合題意；D、兩個有理數的差是正數，則被減數一定大于減數，說法正確．故選：D．5.列說法中正確的有（）①同號兩數相乘，符號不變；②異號兩數相乘，積取負號；③數a、b互為相反數，它們的積一定為負；④絕對值等于本身的數是正數．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【解題思路】根據有理數乘法法則和相反數，絕對值的性質進行判斷便可．【解答過程】解：①同號兩數相乘，符號為正號，不是符號不變，該小題說法錯誤；②異號兩數相乘，積取負號，這符合乘法法則，該小題說法正確；③數a、b互為相反數，它們的積不一定為負，如a、b都為0，它們互為相反數，但它們的積為0，不為負，該小題說法錯誤；④絕對值等于本身的數是非負數，包括正數和0，不一定是正數，該小題說法錯誤；故選：A．考點九因數符號判斷考點九因數符號判斷1.a、b是兩個有理數，若ab＜0，且a+b＞0，則下列結論正確的是（）A．a＞0，b＞0 B．a、b兩數異號，且正數的絕對值大C．a＜0，b＜0 D．a、b兩數異號，且負數的絕對值大【解題思路】根據有理數乘法積的符號判斷因數的符號，再根據有理數和的符號判斷絕對值的大小，進而得出答案．【解答過程】解：∵ab＜0，∴a、b異號，又∵a+b＞0，∴正數的絕對值較大，故選：B．2.已知a+b＞0，ab＜0，且a＞b，則a、b的符號是（）A．同為正 B．同為負 C．a正b負 D．a負b正 【解題思路】根據ab＜0可得a，b異號，再由a＞b即可判斷出答案．【解答過程】解；∵ab＜0，∴a，b異號又a+b＞0且a＞b，∴a正b負．故選：C．3.若a+b＞0，a﹣b＜0，0，則下列結論正確的是（）A．a＞b，b＞0B．a＜0，b＜0 C．a＜0，b＞0且|a|＜|b| D．a＞0，b＜0且|a|＞|b|【解題思路】直接利用有理數的除法運算、加法、減法運算法則以及絕對值的性質分別分析得出答案．【解答過程】解：∵a﹣b＜0，∴a＜b，∵ab∴a＜0＜b，∵a+b＞0，∴|a|＜|b|．故選：C．4.在下列各題中，結論正確的是（）A．若a＞0，b＜0，則B．若a＞b，則a﹣b＞0 C．若a＜0，b＜0，則ab＜0D．若a＞b，a＜0，則【解題思路】根據有理數的乘法法則和除法法則進行判斷．【解答過程】解：A．兩數相除，異號得負，該選項錯誤，不符合題意；B．∵a＞b，∴a﹣b＞0，該選項正確，符合題意；C．兩數相乘，同號得正，該選項錯誤，不符合題意；D．∵a＞b，a＜0，∴1＜ba，∴故選：B．考點十有理數的計算考點十有理數的計算1.計算下列各題：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）4；（3）0；（4）2.計算下列各題：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）1；（2）0；（3）3；（4）103.計算：（1）（2）（1）【分析】利用乘法分配律進行計算即可得解．【解答】解：，，，，．（2）【分析】根據乘法分配律，可得答案．【解答】解：原式．4.用簡便方法計算：（1）（2）【分析】原式各項變形后，利用乘法分配律計算即可得到結果．【解答】解：（1）原式；（2）原式．5.計算：（1）（2）【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】（1）除法變乘法，再用乘法分配律即可求解；（2）先算括號內的，然后再進行除法運算即可．【詳解】（1）=62+95=8；（2）原式=．6.計算下列各題：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）7.計算：（1）（2）【答案】(1)7(2)7【解析】【分析】（1）利用乘法分配律，根據有理數的混合運算法則計算即可．（2）根據有理數的混合運算法則計算即可．(1)原式=．(2)原式．考點十一有理數的運算（含絕對值）考點十一有理數的運算（含絕對值）1.如果|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，則ab的值是_________.【答案】見試題解答內容【分析】首先根據絕對值的意義求得a，b的值，再由|a+b|=a+b確定出a與b的對應值有兩種可能性，然后分別代入ab，根據有理數的減法法則計算即可．【解答】解：∵|a|=4，|b|=2，∴a=±4，b=±2，∵|a+b|=a+b，∴a+b＞0，∴a、b同正即a=4，b=2，或a=4，b=2．當a=4，b=2時，ab=42=2；當a=4，b=2時，ab=4（2）=4+2=6．故ab的值為：2或6．2.如果|a|＝4，|b|＝7，且a＜b，求a+b的值．【分析】先求出ab、的值，再代入計算即可．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝7，∴a＝±4，b＝±7，又∵a＜b，∴a＝4，b＝7或a＝﹣4，b＝7，當a＝4，b＝7時，a+b＝4+7＝11，當a＝﹣4，b＝7時，a+b＝﹣4+7＝3，因此a+b的值為3或11．3.已知|a|＝2，|b|＝3，且|a+b|＝|a|+|b|，則a+b的值為（）A．5 B．±5 C．1 D．±1 【分析】根據題意，利用絕對值的代數意義確定出a與b的值，即可求出原式的值．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，且|a+b|＝|a|+|b|，∴a＝2，b＝3；a＝﹣2，b＝﹣3，則a+b＝±5，故選：B．4.已知，，若，求ab的值．【答案】8或25.已知，，且，求的值．【考點】有理數的加法；有理數的乘法；絕對值【分析】根據絕對值的性質可求出與的值，然后代入即可求出答案．【解答】解：，，，，，，或，，當，時，原式，當，時，原式，綜上所述，．6.已知，，回答下列問題：（1）由，，可得，；（2）若，求的值；（3）若，求的值．【考點】有理數的減法；有理數的加法；有理數的乘法；絕對值【分析】（1）利用絕對值的意義即可得出結論；（2）利用已知條件求得，的值，再代入計算即可；（3）利用已知條件求得，的值，再代入計算即可．【解答】解：（1），，，．故答案為：，；（2），，，當，時，；當，時，；綜上，或8．（3），，或，．當，時，；當，時，；．考點十二比較大小（含數軸）考點十二比較大小（含數軸）1.已知a>0，b<0，且|a|<|b|，則下列關系正確的是（）A．b<﹣a<a<﹣b B．﹣a<b<a<﹣b C．﹣a<b<﹣b<a D．b<a<﹣b<﹣a 【答案】A【分析】根據：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：a＜0，b＞0，a＜b，據此判斷出a、a、b、b的大小關系即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，∴a＜0，b＞0，a＜b，∴b＜a＜a＜b．故選：A．2.有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，把a、b、a、b、0按照從小到大的順序排列，正確的是（）A．a<a<0<b<b B．a<a<0<b<b C．b<a<0<a<b D．a<0<a<b<b 【答案】C【分析】根據正數大于負數和0，0大于負數，兩個負數，絕對值大的反而小，即可解答．【解答】解：根據數軸可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，則b＜a＜0＜a＜b．故選：C．3.若0＜m＜1，m、m2、的大小關系是（）A． B． C． D． 【答案】B考點十三比較大小（含絕對值）考點十三比較大小（含絕對值）1.已知a，b互為相反數，c，d互為倒數，x的絕對值等于2，求的值．【答案】見試題解答內容【分析】根據a，b互為相反數，c，d互為倒數，x的絕對值等于2，可以求得a+b，cd，x的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a，b互為相反數，c，d互為倒數，x的絕對值等于2，∴a+b=0，cd=1，x=±2，當x=2時，原式=23+1×220=8+1×40=8+40=12；當x=2時，原式=（2）3+1×（2）20=8+1×40=8+40=4，由上可得，原式的值為12或4．2.若a與b互為相反數，c與d互為倒數，|m|=2，求代數式的值．【答案】見試題解答內容【分析】直接利用相反數以及倒數和絕對值的性質分別分析得出答案．【解答】解：∵a與b互為相反數，c與d互為倒數，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，當m=2時，∴原式=02+2×23=14；當m=2時，∴原式=02+2×（2）3=18，綜上所述：代數式的值為14或18．3.若a、b互為相反數，b、c互為倒數，并且m是絕對值等于它本身的數．求值．【答案】見試題解答內容【分析】利用相反數，倒數，以及絕對值的意義求出a+b，cd，m的值，代入原式計算即可得到結果.【解答】解：由題意得：a+b=0，bc=1，m為非負數，則原式=1.4.已知a、b互為相反數且a≠0，c、d互為倒數，|m|是最小的正整數，求的值．【答案】1或3．【分析】先根據相反數的性質、倒數的定義和絕對值的性質得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分別代入計算即可．【解答】解：根據題意知a+b=0，cd=1，|m|=1，當m=1時，原式=2×1+01=1；當m=1時，原式=2×（1）+01=3；綜上，原式的值為1或3．考點十四定義新運算考點十四定義新運算1.對于有理數a、b，定義一種新運算“”如下：，則_______．【答案】2.定義一種新運算“☆”，規則為：m☆n=mn+mnn，例如：2☆3=23+2×33=8+63=11，解答下列問題：（1）（2）☆4；（2）（1）☆[（5）☆2]．【答案】（1）4；（2）27．【分析】（1）根據m☆n=mn+mnn，可以求得所求式子的值；（2）根據m☆n=mn+mnn，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）∵m☆n=mn+mnn，∴（2）☆4=（2）4+（2）×44=16+（8）+（4）=4；（2）∵m☆n=mn+mnn，∴（1）☆[（5）☆2]=（1）☆[（5）2+（5）×22]=（1）☆（25102）=（1）☆13=（1）13+（1）×1313=（1）+（13）+（13）=27．3.已知a，b為有理數，如果規定一種新的運算“※”，規定：a※b=2b3a，例如：1※2=2×23×1=43=1，計算：（2※3）※5=__________．【答案】10．【分析】根據a※b=2b3a，可以計算出所求式子的值．【解答】解：∵a※b=2b3a，∴（2※3）※5=（2×33×2）※5=（66）※5=0※5=2×53×0=100=10，故答案為：10．4.規定一種新運算a*b=ab2，則4*[5*（2）]=__________．【答案】3．【分析】根據a*b=ab2，可以求得所求式子的值【解答】解：∵a*b=ab2，∴4*[5*（2）]=4*[5（2）2]=4*（54）=4*1=412=41=3，故答案為：3．考點十五有理數的實際應用考點十五有理數的實際應用1.某天早上，一輛交通巡邏車從A地出發，在東西向的馬路上巡視，中午到達B地，如果規定向東行駛為正，向西行駛為負，行駛紀錄如下．（單位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次+15﹣8+6+12﹣4+5﹣10（1）巡邏車在巡邏過程中，第次離A地最遠．（2）B地在A地哪個方向，與A地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，問這一天交通巡邏車所需汽油費多少元？【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據有理數的加法運算，分別計算出每次距A地的距離，可得離A地最遠距離；（2）根據有理數的加法運算，可得正數或負數，根據向東記為正，向西記為負，可得答案；（3）根據行車就耗油，可得耗油量，再根據總價=單價×數量即可求解．【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：158=7千米，第三次距A地：7+6=13千米，第四次距A地：13+12=25千米，第五次距A地：254=21千米，第六次距A地：21+5=26千米，第七次距A地：2610=16千米，26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡邏車在巡邏過程中，第6次離A地最遠；（2）158+6+124+510=16（千米），答：B地在A地東方，與A地相距16千米；（3）|+15|+|8|+|+6|+|+12|+|4|+|+5|+|10|=60（千米），60×0.2=12（升），12×7=84（元）．答：這一天交通巡邏車所需汽油費84元．故答案為：6．2.在抗洪搶險中，解放軍戰士的沖鋒舟加滿油沿東西方向的河流搶救災民，早晨從A地出發，晚上到達B地，約定向東為正方向，當天的航行路程記錄如下（單位：千米）：+15，8，+9，6，+14，5，+13，4．（1）B地位于A地的什么方向？距離A地多少千米？（2）若沖鋒舟每千米耗油0.6升，油箱容量為30升，求沖鋒舟當天救災過程中至少還需補充多少升油？（3）救災過程中，沖鋒舟離出發點A最遠時，距A地多少千米？【答案】見試題解答內容【分析】（1）把題目中所給數值相加，若結果為正數則B地在A地的東方，若結果為負數，則B地在A地的西方；（2）先求出這一天航行的總路程，再計算出一共所需油量，減去油箱容量即可求出途中還需補充的油量；（3）分別計算出各點離出發點的距離，取數值較大的點即可．【解答】解：（1）∵158+96+145+134=28，∴B地在A地的東邊28千米；（2）這一天走的總路程為：15+|8|+9+|6|+14+|5|+13|+|4|=74千米，應耗油74×0.6=44.4