PAGEPAGE4山西省山西高校附屬中學2024-2025學年高二數學下學期5月月考試題理考試時間：120分鐘滿分150考查內容：選修2-2，選修4-4一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分。每題的四個選項中只有一個選項是正確的）1．若復數的實部與虛部相等，則實數等于（）A． B． C． D．2．定義的運算分別對應下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的所對應的運算結果可能是()A．B．C． D．3．設是虛數單位，表示復數z的共軛復數．若，則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限4．已知整數的數對如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…則第60個數對是()A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7)5.視察，由歸納推理可得：若定義在上的函數滿意，記為的導函數，則等于()A． B． C． D．6．定義，則由函數的圖象與x軸、直線所圍成的封閉圖形的面積為A． B． C． D．7．已知函數，且在上的最大值為，則實數的值為()A． B．1 C． D．28．用數學歸納法證明不等式“”過程中，由到時，不等式的左邊（）A．增加了一項 B．增加了兩項C．增加了兩項，又削減了一項D．增加了一項，又削減了一項 9．若函數與的圖象存在公切線,則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10.函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A. B.C.D.11．已知，若存在，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12.已知定義在上的可導函數的導函數為，滿意，且為偶函數，，則不等式的解集為（）A.B.___C.D.填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分）13.計算定積分：.14.在極坐標系中，直線與圓交于兩點，則_________.15.已知函數，,若,使得成立，則實數的取值范圍是．16.設函數有兩個不同的極值點，，且對不等式恒成立，則實數的取值范圍是．三、解答題:(本題共6個小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本題10分）已知都是實數，求證：.18．（本題12分）在極坐標系中，已知曲線，過極點作射線與曲線交于點，在射線上取一點，使.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）以極點為直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標系，若直線與（1）中的曲線相交于點（異于點），與曲線（為參數）相交于點，求的值.19.（本題12分）設函數SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）求SKIPIF1<0的單調區間.20．（本題12分）在直角坐標系中，直線（為參數，），在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）已知點，若直線與曲線交于兩點，且，求.21．（本題12分）已知函數.（1）若，求函數的極值；（2）若，記為的從小到大的第個極值點，證明：．22．（本題12分）已知函數．（1）若，求函數的單調遞增區間；（2）若，，證明：.山西高校附中2024—2025學年其次學期高二年級5月模塊診斷數學試題答案一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分。每題的四個選項中只有一個選項是正確的）1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】D 5.【答案】D6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】C10.【答案】A11．【答案】A12.【答案】B【解析】因為為偶函數，所以，，構造函數，，所以函數是R上的減函數.依據題意：，因為所以，解之得，.填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分）13.【答案】14.【答案】215.【答案】16.【答案】分析：因為,故得不等式,即,由于,令得方程,因,故，代入前面不等式,并化簡得,解不等式得或，因此,當或時,不等式成立,故答案為.三、解答題:(本題共六個小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本題10分）已知都是實數，求證：.【答案】證明∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，…………3分三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，…………5分∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.∴a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2；…………7分∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥ab＋bc＋ca＋2(ab＋bc＋ca)，…………9分∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)．∴原命題得證．…………10分18．（本題12分）在極坐標系中，已知曲線，過極點作射線與曲線交于點，在射線上取一點，使.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）以極點為直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標系，若直線與（1）中的曲線相交于點（異于點），與曲線（為參數）相交于點，求的值.19.（本題12分）設函數SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，（Ⅰ）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）求SKIPIF1<0的單調區間.20．（本題12分）在直角坐標系中，直線（為參數，），在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）已知點，若直線與曲線交于兩點，且，求.【答案】（Ⅰ），得到，因為則曲線的直角坐標方程為.（Ⅱ）將代入，得到.又因為，則，所以解得：，或，則或.21．（本題12分）已知函數.(Ⅰ)若，求函數的極值；(Ⅱ)若，記為的從