第六章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2024重慶高三月考)(x+1)8的綻開式的各項系數和為()A.256 B.257 C.254 D.255解析令x=1,則(1+1)8=28=256,即(x+1)8的綻開式的各項系數的和為256.故選A.答案A2.把編號為1,2,3,4,5的5位運動員排在編號為1,2,3,4,5的5條跑道中,要求有且只有兩位運動員的編號與其所在跑道的編號相同,共有不同排法的種數是()A.10 B.20 C.40 D.60解析先選出兩位運動員的編號與其所在跑道編號相同,有C52,剩余的有2種排法,共有2×C52=答案B3.(2024河南高二月考)從4名男同學和3名女同學中選出3名參與某項活動,則男女生都有的不同的選法種數是()A.18 B.24 C.30 D.36解析由于選出的3名學生男女生都有,所以可分成兩類:第1類,3人中是1男2女,共有C41C32=4×3=第2類,3人中是2男1女,共有C42C31=6×3=所以男女生都有的不同的選法種數是12+18=30.答案C4.(2024浙江高三專題練習)已知A3m-C32+0!=4,A.0 B.1 C.2或3 D.3解析∵A3m-C32+0!=當m=2時成立;當m=3時也成立.故選C.答案C5.(2024黑龍江牡丹江一中高三期末)張、王夫婦各帶一個小孩兒到游樂園游玩,購票后依次入園,為平安起見,首尾肯定要排兩位爸爸,另外兩個小孩要排在一起,則這6個人的排法種數是()A.12 B.24 C.36 D.48解析先支配首尾兩個位置的男家長,共有A22種方法;將兩個小孩作為一個整體,與剩下的另兩位家長支配在兩位男家長的中間,共有A22A33種方法.由分步乘法計數原理可得全部的排法有A2答案B6.(2024全國1高考)x+y2x(x+y)5的綻開式中x3y3A.5 B.10 C.15 D.20解析因為(x+y)5的通項公式為C5k·x5-k·yk(k=0,1,2,3,4,5),所以當k=1時,y2x·C51x4y=5x3y3,當k=3時,x·C53x2y3=10x3y3,所以x答案C7.如圖所示,要給①②③④四塊區域分別涂上五種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色運用多次,但相鄰區域必需涂不同顏色,則不同的涂色方法種數為()A.320 B.160 C.96 D.60解析依據分步乘法計數原理,區域①有5種顏色可供選擇,區域③有4種顏色可供選擇,區域②和區域④只要不選擇區域③的顏色即可,故有4種顏色可供選擇,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320(種).答案A8.(2024山東濟南高三模擬)某學校實行新課程改革,即除語文、數學、外語三科為必考科目外,還要在物理、化學、生物、歷史、地理、政治六科中選擇三科作為選考科目.已知某生的高考志愿為某高校環境科學專業,依據該高校上一年高考招生選考科目要求,物理、化學必選,為該生支配課表(上午四節、下午四節,每門課每天至少一節),已知該生某天最終兩節為自習課,且數學不排下午第一節,語文、外語不相鄰(上午第四節和下午第一節不算相鄰),則該生該天課表有()A.444種 B.1776種 C.1440種 D.1560種解析物理、化學、生物、歷史、地理、政治六選三,且物理、化學必選,所以只需在生物、歷史、地理、政治中四選一,有C41=4(種對語文、外語排課進行分類,第1類,語文、外語有一科在下午第一節,則另一科可以支配在上午四節課中的隨意一節,剩下的四科可全排列,有C21C4第2類,語文、外語都不在下午第一節,則下午第一節可在除語文、數學、外語三科的另三科中選擇,有C31=3(語文和外語可都支配在上午,即上午第一、三節,上午第一、四節,上午其次、四節,有3×A22=6(也可一科在上午任一節,一科在下午其次節,有C41A2其他三科可以全排列,有C31(6+8)A33=綜上,共有4×(192+252)=1776(種).故選B.答案B二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分)9.(2024江蘇揚中高級中學高二期中)某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目,下列說法錯誤的是()A.若隨意選擇三門課程,選法總數為AB.若物理和化學至少選一門,選法總數為CC.若物理和歷史不能同時選,選法總數為CD.若物理和化學至少選一門,且物理和歷史不能同時選,選法總數為C解析若隨意選擇三門課程,選法總數為C73,故A若物理和化學至少選一門,選法總數為C21C52若物理和歷史不能同時選,選法總數為C73-C2若物理和化學至少選一門,且物理和歷史不能同時選,選法總數為C21C52+C2答案ABD10.(2024江蘇豐縣中學高二期中)下列等式中,成立的有()A.Anm=C.Cnm=Cn解析Anm=n(n-1)…(n-m+1)=n!(n依據組合數性質知B,C正確;Anm=n!(n-m)!答案BCD11.(2024山東高二期中)若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8且a1+a2+…+a8=255,則實數m的值可以為()A.-3 B.-1 C.0 D.1解析因為(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=1,得(1+m)8=a0+a1+a2+…+a8,令x=0,得a0=1.因為a1+a2+…+a8=255,所以(1+m)8-1=255,所以(1+m)8=256=28,所以1+m=2或1+m=-2,解得m=1或m=-3.故選AD.答案AD12.(2024山東寧陽第四中學高二期中)已知(ax2+1x)n(a>0)的綻開式中第5項與第7項的二項式系數相等,A.綻開式中奇數項的二項式系數和為256B.綻開式中第6項的系數最大C.綻開式中存在常數項D.綻開式中含x15的項的系數為45解析由二項式的綻開式中第5項與第7項的二項數系數相等,可知n=10.又因為綻開式的各項系數之和為1024,即當x=1時,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二項式為(x二項式系數和為210=1024,則奇數項的二項式系數和為12×1024=512,故A錯誤由n=10可知綻開式共有11項,故第6項的二項式系數最大,因為x2與x-12的系數均為1,則該二項綻開式的二項式系數與相應各項的系數相同,所以第6項的系數最大,故若綻開式中存在常數項,由通項Tk+1=C10kx2(10-k)x-12k可得2(10-k)-12k=0,由通項Tk+1=C10kx2(10-k)x-12k可得2(10-k)-12k=15,解得k=2,所以系數為C102答案BCD三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.(2024上海高二期末)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員先后搶4個不相同的紅包,每人最多搶一個紅包,且紅包全被搶光,則甲、乙兩人都搶到紅包的狀況有種.

解析第1步,甲、乙搶到紅包,有A42=4×3=12(種),第2步,其余三人搶剩下的兩個紅包,有A32=3×2=6(種),所以甲、乙兩人都搶到紅包的狀況有12×6=答案7214.將5位志愿者分成3組,其中兩組各2人,另一組1人,分赴某大型展覽會的三個不同場館服務,不同的安排方案有種.

解析先分組C52C32C11A22,再把三組安排答案9015.(2024安徽高三模擬)(x2+2)(2x-1x)6解析因為2x-1x6的綻開式中含1x2的項為C64(2x)2(-1x)4=60x2,(2x-1x)6的綻開式中含常數項C63(2答案-26016.(2024浙江高三專題練習)某學校要支配2名高二的同學、2名高一的同學和1名初三的同學去參與電視節目,有五個鄉村小鎮A,B,C,D,E(每名同學選擇一個小鎮),由于某種緣由高二的同學不去小鎮A,高一的同學不去小鎮B,初三的同學不去小鎮D和E,則共有種不同的支配方法.

解析假如初三學生去A,則高二學生選1人去B,另外三人去C,D,E,故不同的支配方法有C21A3假如初三學生去B,則高一學生選1人去A,另外三人去C,D,E,故不同的支配方法有C21A3假如初三學生去C,則高二學生選1人去B,高一學生選1人去A,另外兩人去D,E,故不同的支配方法有C21C21故共有不同的支配方法12+12+8=32(種).答案32四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2024黑龍江海林朝鮮族中學高二期末)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.解(1)依據所給的等式求得常數項a0=1.令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1.則a1+a2+…+a7=-2.(2)在所給的等式中,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1.①令x=-1,則a0-a1+a2-a3+…-a7=37.②(①-②)÷2,可得a1+a3+a5+a7=-1094.(3)由(2),(①+②)÷2,可得a0+a2+a4+a6=1093.(4)在所給的等式中,令x=-1,可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0-a1+a2-a3+…-a7=37=2187.18.(12分)(2024安徽六安中學高二期中)某醫院有內科醫生8名、外科醫生6名,現選派4名參與抗擊新冠肺炎疫情醫療隊.(1)甲、乙兩人至少有一人參與,有多少種選法?(2)隊中至少有一名內科醫生和一名外科醫生,有幾種選法?解(1)不考慮甲、乙兩人,從全部14名醫生中選派4名共有C144=1001(種);甲、乙兩人都沒被選派共有C124=495(種).故甲、乙兩人至少有一人參與,有1001-495=(2)此時4名醫生的組成可分為三類:第1類,1名內科醫生、3名外科醫生,共有C81C6第2類,2名內科醫生、2名外科醫生,共有C82C6第3類,3名內科醫生、1名外科醫生,共有C83C61故隊中至少有一名內科醫生和一名外科醫生,有160+420+336=916(種)選法.19.(12分)(2024四川仁壽其次中學高二月考(理))在3x-123xn的綻開式中,(1)求綻開式的第四項;(2)求綻開式的常數項;(3)求綻開式中各項的系數和.解通項為Tk+1=(-由已知,(-12)0Cn0,12Cn1,122Cn2成等差數列,得(1)令k=3,得T4=(-12)(2)令8-2k=0,得k=4,故T5=358(3)令x=1,得各項的系數和為128=1256.20.(12分)(2024江蘇高二期中)有7本不同的書:(1)全部分給6個人,每人至少一本,有多少種不同的分法?(2)全部分給5個人,每人至少一本,有多少種不同的分法?解(1)依據題意,將7本書分給6個人,且每人至少1本,則必需是其中1個人2本,其他人每人1本,則分兩步:第1步,將7本書,分為6組,其中1組2本,其他組每組1本,有C72=21(種)第2步,將分好的6組對應6人,將6組進行全排列即可,有A66=720(種)一共有21×720=15120(種)不同的分法.(2)分兩類:第1類,1人得3本,其余4人各得一本,方法數為C73第2類,2人各得2本,其余3人各得1本,方法數為12C7所以所求分法種數為4200+12600=16800.21.(12分)(2024河南南陽中學高二月考)已知(3x+x2)2n的綻開式的二項式系數和比(3x-1)n的綻開式的二項式系數和大992(1)二項式系數最大的項;(2)系數的肯定值最大的項.解由題意22n-2n=992,解得n=5.(1)(2x-1x)10的綻開式中第6項的二項式系數最大,即T6=T5+1=C105·(2x(2)設第k+1項的系數的肯定值最大,Tk+1=C10k·(2x)10-k·(-1x)k=(-1)k·C10k·210-k即C解得83≤k≤113,故k=系數的肯定值最大的項為T4=C103(2x)7(-1x22.(12分)(2024江蘇徐州高二月考)從1到9的九個數字中取三個偶數四個奇數,試問:(1)能組成多少個沒有重復數字的七位數?(2)在(1)中的七位數中,三個