專項33相似三角形-一線三等角模型綜合應用如圖，∽（一線三等角）如圖，∽（一線三直角）如圖，特別地，當是中點時：∽∽平分，平分。一線三等角輔助線添加：一般情況下，已知一條直線上有兩個等角（直角）或一個直角時，可構造“一線三等角”型相似。【類型1：標準“K”型圖】【典例1】已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【變式1-1】如圖，正方形ABCD中，點E在BC邊上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的邊長．【變式1-2】如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長線于點E．（1）求證：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．【類型2：做輔助線構造“K”型圖】【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且點E，F分別在矩形ABCD的邊AB，AD上．（1）如圖1，填空：當點G在CD上，且DG＝1，AE＝2，則EG＝；（2）如圖2，若F是AD的中點，FG與CD相交于點N，連接EN，求證：∠AEF＝∠FEN；（3）如圖3，若AE＝AD，EG，FG分別交CD于點M，N，求證：MG2＝MN?MD．【變式2-1】（2021春?永川區期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E為BC上一點，CE＝2BE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接DF，則線段DF的長為．【變式2-2】（2022秋?皇姑區校級月考）已知，如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點E是射線BC上一動點，將矩形ABCD沿直線AE翻折，點B落在點F處．（1）若點F恰好落在CD邊上，如圖1，求線段BE的長；（2）若BE＝1，如圖2，直接寫出點F到BC邊的距離；（3）若△CEF為直角三角形，直接寫出CE所有值．【類型2：特殊“K”型圖】【典例3】（2021秋?通許縣期中）感知：（1）數學課上，老師給出了一個模型：如圖1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因為∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，進而得到＝．我們把這個數學模型稱為“一線三等角”模型．應用：（2）實戰組受此模型的啟發，將三等角變為非直角，如圖2，在△ABC中，點D在邊BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．若BC＝a，AB＝b，求CE的長度（用含a，b的代數式表示）．拓展：（3）創新組突發奇想，將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3，在?ABCD中，E為邊BC上的一點，F為邊AB上的一點．若∠DEF＝∠B．求證：AB?FE＝BE?DE．【變式3-1】如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD．（1）若AP＝3，求BD的長；（2）若CP平分∠ACD，求證：PD2＝CD?BD．【變式3-2】（2022春?定海區校級月考）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點C，分別過A、B兩點作AE⊥l，BD⊥l，垂足分別為E、D．求證：△BDC∽△CEA．【嘗試應用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一點，過D作AD的垂線交AB于點E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的長．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，在BC上取點E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四邊形ABCD的面積．1．（2021秋?南京期末）如圖，在矩形ABCD中，E，F，G分別在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，則DG的長是（）A．4 B． C． D．52．（2022秋?二道區月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分別是BC，AB上的動點（點D與B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，則CD的長為．3．（2022?杭州模擬）如圖，點E是矩形ABCD邊BC上一點，沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點F處．設＝x（x＞1），（1）若點F恰為CD邊的中點，則x＝．（2）設＝y，則y關于x的函數表達式是．4．（2021?海州區校級二模）如圖，△DEF的三個頂點分別在等邊△ABC的三條邊上，BC＝4，∠EDF＝90°，＝，則DF長度的最小值是．5.如圖，在等邊三角形ABC中，點E，D分別在BC，AB上，且∠AED＝60°，求證：△AEC∽△EDB．6.如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）證明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，當AE＝ED時，求BD的長．7．（2022?安徽三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC為直徑的半⊙O與邊AD相切于點E．（1）求證：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的長．8．（2022?欽州一模）已知下列各圖中，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．【基本模型感知】如圖1，分別過A，C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為M、N．求證：△ABM∽△BCN；【基本模型應用】如圖2，點P是邊BC上一點，∠BAP＝∠C，，求tanC的值；【靈活運用】如圖3，點D是邊CA延長線上一點，AE＝AB，∠DEB＝90°，，，請直接寫出tan∠BEC的值．9．（2021?坪山區一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣3，0）、B，與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上求點P，使S△BCP＝2S△BCO，求點P的坐標；（3）如圖2，直線y＝x+3交拋物線于第一象限的點M，若N是拋物線y＝x2+bx+c上一點，且∠MAN＝∠OCB，求點N的坐標．專項33相似三角形-一線三等角模型綜合應用如圖，∽（一線三等角）如圖，∽（一線三直角）如圖，特別地，當是中點時：∽∽平分，平分。一線三等角輔助線添加：一般情況下，已知一條直線上有兩個等角（直角）或一個直角時，可構造“一線三等角”型相似。【類型1：標準“K”型圖】【典例1】已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【解答】（1）證明：由折疊的性質可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP與PA的比為1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，設AB＝x，則DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【變式1-1】如圖，正方形ABCD中，點E在BC邊上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的邊長．【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵AB＝BC，∴，∴，∴CE＝4，∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，∴正方形ABCD的邊長為6．【變式1-2】如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長線于點E．（1）求證：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面積＝DE?DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面積為9【類型2：做輔助線構造“K”型圖】【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且點E，F分別在矩形ABCD的邊AB，AD上．（1）如圖1，填空：當點G在CD上，且DG＝1，AE＝2，則EG＝；（2）如圖2，若F是AD的中點，FG與CD相交于點N，連接EN，求證：∠AEF＝∠FEN；（3）如圖3，若AE＝AD，EG，FG分別交CD于點M，N，求證：MG2＝MN?MD．【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AE＝FD＝2，∴FG＝，∴EG＝FG＝，故答案為：；（2）證明：延長EA、NF交于點M，∵點F為AD的中點，∴AF＝DF，∵AM∥CD，∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，∴△MAF≌△NDF（AAS），∴MF＝FN，∵EF⊥MG，∴ME＝GE，∴∠MEF＝∠FEN；（3）證明：如圖，過點G作GP⊥AD交AD的延長線于P，∴∠P＝90°，同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF＝PG，PF＝AE，∵AE＝AD，∴PF＝AD，∴AF＝PD，∴PG＝PD，∵∠P＝90°，∴∠PDG＝45°，∴∠MDG＝45°，在Rt△EFG中，EF＝FG，∴∠FGE＝45°，∴∠FGE＝∠GDM，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴，∴MG2＝MN?MD．【變式2-1】（2021春?永川區期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E為BC上一點，CE＝2BE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接DF，則線段DF的長為．【解答】解：過點F作FN⊥BC，垂足為N，延長NF交AD于點M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝90°，AD∥BC，∴FM⊥AD，∴∠AMF＝∠FNE＝∠DMF＝90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴AM＝BN，∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝2，由折疊得：BE＝FE＝2，AB＝AF＝6，∠B＝∠AFE＝90°，∴∠AFM+∠EFN＝90°，∵∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠FEN＝∠AFM，∴△ENF∽△FMA，∴＝＝＝，設EN＝x，則FM＝3x，∴AM＝BN＝BE+EN＝2+x，在Rt△AFM中，AM2+FM2＝AF2，∴（2+x）2+（3x）2＝36，∴x＝或x＝﹣2（舍去），∴AM＝2+x＝，FM＝3x＝，∴DM＝AD﹣AM＝，在Rt△DMF中，DF＝＝＝，故答案為：．【變式2-2】（2022秋?皇姑區校級月考）已知，如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點E是射線BC上一動點，將矩形ABCD沿直線AE翻折，點B落在點F處．（1）若點F恰好落在CD邊上，如圖1，求線段BE的長；（2）若BE＝1，如圖2，直接寫出點F到BC邊的距離；（3）若△CEF為直角三角形，直接寫出CE所有值．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝3，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折疊的性質得：BE＝FE，AF＝AB＝5，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD﹣DF＝5﹣4＝1，設BE＝FE＝x，則CE＝BC﹣BE＝3﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2+CE2＝FE2，即12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，即線段BE的長為；（2）如圖2，過F作FG⊥BC于G，延長GF交AD于H，則∠FGE＝90°，四邊形ABGH是矩形，∴HG＝AB＝5，BG＝AH，∠AHF＝90°＝∠FGE，由折疊的性質得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，∴∠AFH+∠EFG＝90°，∵∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠EFG＝∠FAH，∴△EFG∽△FAH，∴＝＝，∴AH＝5FG，設FG＝x，則BG＝AH＝5x，∴EG＝BG﹣BE＝5x﹣1，在Rt△EFG中，由勾股定理得：x2+（5x﹣1）2＝12，解得：x＝或x＝0（不符合題意舍去），∴FG＝，即點F到BC邊的距離為；（3）分三種情況：①∠CFE＝90°時，如圖3，∵∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠CFE＝180°，∴A、F、C三點共線，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠ECF＝∠CAD，AC＝＝＝，由折疊的性質得：AF＝AB＝5，FE＝BE，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠CFE＝90°＝∠D，CF＝AC﹣AF＝﹣5，∴△CEF∽△ACD，∴＝，即＝，解得：CE＝；②點F在CD上，∠ECF＝90°時，如圖4，由（1）可知，BE＝，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣＝；③∠CEF＝90°時，如圖5，由折疊的性質得：∠AEB＝∠AEF＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝5，∴CE＝BE﹣BC＝5﹣3＝2；④點F在CD延長線上，∠ECF＝90°時，如圖6，由折疊的性質得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，∵∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD+DF＝5+4＝9，∵∠CFE+∠CEF＝90°，∠CFE+∠DFA＝90°，∴∠CEF＝∠DFA，∵∠ECF＝∠ADF＝90°，∴△CEF∽△DFA，∴＝＝＝3，∴CE＝3DF＝12；綜上所述，若△CEF為直角三角形，則CE的值為或或2或12．【類型2：特殊“K”型圖】【典例3】（2021秋?通許縣期中）感知：（1）數學課上，老師給出了一個模型：如圖1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因為∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，進而得到＝．我們把這個數學模型稱為“一線三等角”模型．應用：（2）實戰組受此模型的啟發，將三等角變為非直角，如圖2，在△ABC中，點D在邊BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．若BC＝a，AB＝b，求CE的長度（用含a，b的代數式表示）．拓展：（3）創新組突發奇想，將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3，在?ABCD中，E為邊BC上的一點，F為邊AB上的一點．若∠DEF＝∠B．求證：AB?FE＝BE?DE．【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，∴，故答案為：；（2）解：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠EDC＝∠BAD，∵DA＝DE，在△ADB與△DEC中，，∴△ADB≌△DEC（AAS），∴EC＝BD，AB＝DC＝b，∴BD＝BC﹣DC＝a﹣b，即CE＝a﹣b；（3）解：∵∠DEF＝∠B，∴∠BFE+∠BEF＝∠BEF+∠DEC，∴∠BFE＝∠DEC，作CG∥FE交DE于點G，如圖：∴∠DEF＝∠EGC，∴∠B＝∠EGC，∴△FBE∽△EGC，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠EGC+∠DGC＝180°，∵∠B＝∠EGC，∴∠DGC＝∠BCD，∵∠EDC＝∠CDG，∴△DGC∽△DCE，∴，∴，∴DC?FE＝BE?DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，∴AB?FE＝?BE?DE．解法二：延長BC到M，使得DC＝DM．∵DC＝DM，∴∠DCM＝∠M，∵DC∥AB，∴∠DCM＝∠B，∴∠B＝∠M，∵∠BFE＝∠DEM，∴△BFE∽△MED．∴＝，∵AB＝CD＝DM，∴AB?FE＝?BE?DE．【變式3-1】如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD．（1）若AP＝3，求BD的長；（2）若CP平分∠ACD，求證：PD2＝CD?BD．【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∴∠ACP＝∠BPD，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴BD的長為；（2）證明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP，∵∠ACP＝∠DPB，∴∠PCD＝∠DPB，∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD，∴＝，∴PD2＝CD?BD．【變式3-2】（2022春?定海區校級月考）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點C，分別過A、B兩點作AE⊥l，BD⊥l，垂足分別為E、D．求證：△BDC∽△CEA．【嘗試應用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一點，過D作AD的垂線交AB于點E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的長．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，在BC上取點E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴ACE+∠CAE＝90°．∴∠BCD＝∠CAE．∵BD⊥DE，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠AEC．∴△BDC∽△CEA．（2）解：過點E作EF⊥BC于點F．由（1）得△EDF∽△DAC．∴．∵AD⊥DE，，AC＝20，∴，∴DF＝16．∵BE＝DE，∴BF＝DF．∴BD＝2DF＝32．（3）解：過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC的延長線于點N．∴∠AMB＝∠DNC＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠B＝∠DCN．∴△ABM≌△DCN（AAS）．∴BM＝CN，AM＝DN．∵AB＝AE，AM⊥BC，∴BM＝ME，∵，設AM＝b，BE＝4a，EC＝3a．∴BM＝ME＝CN＝2a，EN＝5a．∵∠AED＝90°，由（1）得△AEM∽△EDN．∴，∴，∴，∵，∴（2a）2+b2＝14，∴a＝1，．∴平行四邊形ABCD的面積＝．1．（2021秋?南京期末）如圖，在矩形ABCD中，E，F，G分別在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，則DG的長是（）A．4 B． C． D．5【答案】B【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故選：B．2．（2022秋?二道區月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分別是BC，AB上的動點（點D與B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，則CD的長為．【答案】6【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠C+∠B+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，又∵2∠ADE+∠BAC＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠BDE+∠ADC＝180°﹣∠ADE，∠CAD+∠ADC＝180°﹣∠C，∴∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，解得CD＝6．故答案為：6．3．（2022?杭州模擬）如圖，點E是矩形ABCD邊BC上一點，沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點F處．設＝x（x＞1），（1）若點F恰為CD邊的中點，則x＝．（2）設＝y，則y關于x的函數表達式是．【解答】解：（1）∵點F為CD邊的中點，∴DC＝2DF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折疊得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF＝DC＝2DF，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝＝2，∴＝2，∴x＝2，故答案為：2；（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，∵△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴x＝1+，∴x＝1+，∴y＝，故答案為：y＝．4．（2021?海州區校級二模）如圖，△DEF的三個頂點分別在等邊△ABC的三條邊上，BC＝4，∠EDF＝90°，＝，則DF長度的最小值是．【答案】【解答】解：過點F作FH⊥BC，垂足為H，∵∠EDF＝90°，tan∠EFD＝＝，∴∠EFD＝60°，∴∠AFE+∠DFC＝120°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝∠A＝60°，AC＝BC＝4，∴∠AFE+∠AEF＝120°，∴∠AEF＝∠DFC，∴△AEF∽△CFD，∴＝，∵∠EDF＝90°，∠EFD＝60°，∴cos∠EFD＝＝，∴＝2，∴設CD＝a，則AF＝2a，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣2a，在Rt△CFH中，∠C＝60°，∴CH＝CF＝2﹣a，∴FH＝CH＝2﹣a，∴DH＝CD﹣CH＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，在Rt△DFH中，DF2＝DH2+FH2＝（2a﹣2）2+（2﹣a）2＝7a2﹣20a+16＝7（a﹣）2+，∴DF2的最小值為，∴DF的最小值為：．5.如圖，在等邊三角形ABC中，點E，D分別在BC，AB上，且∠AED＝60°，求證：△AEC∽△EDB．【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°∵∠AED＝60°，∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED＝∠CAE，∴△AEC∽△EDB．6.如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）證明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，當AE＝ED時，求BD的長．【解答】（1）證明：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝45°+∠EDC，而∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝45°+∠EDC，∴∠AED＝∠ADC．∴∠DEC＝∠ADB（等角的補角相等）．而∠B＝∠C＝45°，∴△ABD∽△DCE．故△ABD∽△DCE得證．（2）解：當AE＝DE時，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3．7．（2022?安徽三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC為直徑的半⊙O與邊AD相切于點E．（1）求證：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的長．【解答】（1）證明：連接OE，∵半⊙O與邊AD相切于點E，∴∠OEA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠OEA＝90°，∴OE∥CD，∴∠ECD＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠BCE＝∠DCE；（2）解：連接BE，∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OC，∴AE＝DE，設DE＝AE＝x，則AD＝AB＝2x，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BEC＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴，∴，解得：，∴DE的長為．8．（2022?欽州一模）已知下列各圖中，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．【基本模型感知】如圖1，分別過A，C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為M、N．求證：△ABM∽△BCN；【基本模型應用】如圖2，點P是邊BC上一點，∠BAP＝∠C，，求tanC的值；【靈活運用】如圖3，點D是邊CA延長線上一點，AE＝AB，∠DEB＝90°，，，請直接寫出tan∠BEC的值．【解答】（1）證明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°．∴∠BAM+∠ABM＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°．∴∠BAM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠CNB，∴△ABM∽△BCN．（2）解：如圖2，過點P作PF⊥AP交AC于點F，過點F作FQ⊥BC交BC于點Q，在Rt△AFP中，tan∠PAC＝＝＝，與（1）同理得，△ABP∽△PQF．∴＝＝＝．設AB＝a，PQ＝2a（a＞0），∵∠BAP＝∠C＝∠FPQ，∴PF＝CF，且FQ⊥BC．∴PQ＝CQ＝2a．∴BC＝BP+PQ+CQ＝BP+2a+2a＝4a+BP．∵∠BAP＝∠C，∠B＝∠B＝90°，∴△ABP∽△CBA．∴＝．∴BP?BC＝AB2，即BP