第第頁人教版九年級數學下冊《28.1銳角三角函數》同步測試題及答案任務一求銳角三角函數值子任務1利用參數法求銳角三角函數值母題1如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3AC,則tanB=()A.1B.3C.10D.3變式練1：在直角三角形ABC中,若2AB=AC,則cosC的值為()A.12或B.12或C.32或D.32或子任務2構造直角三角形求銳角三角函數值母題2如圖,已知鈍角三角形ABC,點D在BC的延長線上,連接AD,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D,AD=2,AC=32,求tanD的值變式練2：如圖,△ABC與△BDC均為直角三角形,若∠ACB=30°,∠DBC=45°,求∠ADB的正切值.母題3如圖,在△ABC中,CA=CB=4,cosC=14,則sinB的值為()A.102 B.C.64 D.變式練3：如圖,在Rt△BAD中,延長斜邊BD到點C,使DC=12BD,連接AC.若tanB=53,則tan∠CAD的值為子任務3利用等角轉換法求銳角三角函數值母題4如圖,在半徑為3的☉O中,直徑AB與弦CD相交于點E,連接AC,BD,若AC=2,則tanD=()A.22 B.2C.13 D.【關鍵點撥】變式練4：如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=12∠BAC,求sin∠子任務4利用網格求銳角三角函數值母題5如圖,這是由邊長相同的小正方形組成的網格,A,B,P,Q四點均在正方形網格的格點上,線段AB,PQ相交于點M,則圖中∠QMB的正切值是.【關鍵點撥】變式練5：如圖,點A,B,C在正方形網格的格點上,則sin∠BAC=()A.13B.6C.26D.26子任務5在折疊問題中求銳角三角函數值母題6如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,將△ABC折疊,使點A落在BC邊上的點D處,EF為折痕,若AE=3,則sin∠BFD的值為.【關鍵點撥】變式練6：直角三角形紙片ABC,兩直角邊BC=4,AC=8,現將△ABC紙片按圖中方式折疊,使點A與點B重合,折痕為DE,則tan∠CBE的值是()A.12 B.34 C.1 D任務二由一個銳角的三角函數值求三角形的邊長母題7在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,AC=8cm,則BC的長度為()A.3cm B.4cmC.5cm D.6cm變式練7：已知∠A是銳角,sinA=35,則cosA的值為()A.35 B.45 C.34 任務三由一個銳角的三角函數值求三角形的面積母題8已知△ABC中,tanB=23,BC=6,過點A作BC邊上的高,垂足為點D,且滿足BD∶CD=2∶1,則△ABC面積的所有可能值為變式練8：在△ABC中,AB=36,AC=6,∠B=45°,則BC=.任務四銳角三角函數的探究問題母題9如圖1,在Rt△ABC中,以下是小亮探究asinA與∵sinA=ac,sinB=bc,∴c=asin∴asinA=根據你掌握的三角函數知識,在圖2的銳角三角形ABC中,探究asinA圖1圖2變式練9：把(sinα)2記作sin2α,根據圖完成下列各題:圖1圖2(1)如圖1,sin2A1+cos2A1=,sin2A2+cos2A2=sin2A3+cos2A3=.(2)觀察上述等式后猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,總有sin2A+cos2A=.(3)如圖2,在Rt△ABC中證明(2)題中的猜想.(4)已知在△ABC中,∠A+∠B=90°,且sinA=1213,求cosA的值參考答案母題1A提示:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3AC∴tanB=ACBC=AC3AC故選A.變式練1C提示:①當AC為直角邊時∵2AB=AC∴BC=AB2+A∴cosC=ACBC=2AB5②當AC為斜邊時∵2AB=AC∴BC=AC2-A∴cosC=BCAC=3AB2綜上,cosC=255或故選C.母題2解:∵∠ACB=∠D+∠CAD,∠ACB=2∠D∴∠CAD=∠D∴CA=CD.∵∠DAB=90°∴∠B+∠D=90°,∠BAC+∠CAD=90°∴∠B=∠BAC∴AC=CB∴BD=2AC=2×32=3在Rt△ABD中,∵∠DAB=90°,AD=2∴AB=32-∴tanD=ABAD=5變式練2解:如圖,過點A作DB延長線的垂線,垂足為點E則∠E=90°,∠ABE=45°,AE=BE.設AE=BE=x,則AB=2x,BC=6x,BD=CD=3x∴DE=3x+x,∴tan∠ADB=AEDE=x(3+1)x=母題3D提示:如圖,過點A作AD⊥BC,垂足為D在Rt△ACD中,CD=CA·cosC=1∴AD=AC2-C在Rt△ABD中,BD=CB-CD=3,AD=15.∴AB=BD2+AD∴sinB=ADAB=104.變式練315提示:如圖,延長AD,過點C作CE⊥AD,垂足為在Rt△BAD中,tanB=ADAB=5可設AD=5x,則AB=3x.∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD∴△CDE∽△BDA∴CEAB=DEAD=CD∴CE=32x,DE=5∴AE=AD+DE=152∴在Rt△AEC中,tan∠CAD=CEAE=1故答案為15母題4A提示:如圖,連接BC.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°.∵☉O的半徑為3,∴AB=6∴BC=AB2-AC2∴tanD=tanA=BCAC=422=故選A.變式練4解:如圖,作AD⊥BC于點D.∵AB=AC=5,BC=8∴BD=CD=4,∠BAD=12∠∵∠ADB=90°,∴sin∠BAD=BDAB=4又∵∠BPC=12∠∴∠BPC=∠BAD∴sin∠BPC=45母題52提示:如圖,過點Q作QC∥BA,連接PC∴∠QMB=∠CQP.由題意得CQ2=22+22=8PC2=42+42=32PQ2=22+62=40∴PC2+CQ2=PQ2∴△PCQ是直角三角形∴∠PCQ=90°∴tan∠CQP=PCCQ=42∴tan∠QMB=tan∠CQP=2.故答案為2.變式練5D提示:如圖,延長AC到點D,連接BE交CD于點O∴BE⊥CD,AB=22+32=13,OB=1∴sin∠BAC=OBAB=2213故選D.母題613提示:∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=∴∠A=∠B.由折疊的性質得到△AEF≌△DEF∴∠EDF=∠A∴∠EDF=∠B∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°∴∠CDE=∠BFD.又∵AE=DE=3∴CE=4-3=1.在直角△ECD中,sin∠CDE=CEED=∴sin∠BFD=13故答案為13變式練6B提示:根據題意,BE=AE.設BE=x,則CE=8-x.在Rt△BCE中,x2=(8-x)2+42解得x=5∴CE=8-5=3∴tan∠CBE=CECB=3故選B.母題7D提示:∵sinA=BCAB=∴設BC=3x,AB=5x.又∵AC2+BC2=AB2∴82+(3x)2=(5x)2解得x=2或x=-2(舍去)∴BC=3x=6cm.故選D.變式練7B提示:∵sin2A+cos2A=1∴cosA=1?(35)故選B.母題88或24提示:如圖1所示∵BC=6,BD∶CD=2∶1∴BD=4.∵AD⊥BC,tanB=2∴ADBD=∴AD=23BD=∴S△ABC=12BC?AD=12×6×83如圖2所示∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=12.∵AD⊥BC,tanB=23,∴ADBD=23,∴AD=∴S△ABC=12BC?AD=12×6×8=綜上所述,△ABC面積的所有可能值為8或24.故答案為8或24.圖1圖2變式練833+3或33-3提示:①當△ABC為銳角三角形時過點A作AD⊥BC于點D,如圖1.圖1∵AB=36,∠B=45°∴AD=BD=AB·sin45°=33∴CD=AC2-AD2=3,∴BC=BD+CD=②當△ABC為鈍角三角形時過點A作AD⊥BC交BC延長線于點D,如圖2.圖2∵AB=36,∠B=45°∴AD=BD=AB·sin45°=33∴CD=AC2∴BC=BD-CD=33-3.綜上,BC的長為33+3或33-3.故答案為33+3或33-3.母題9解:asinA=bsinB=csinC.理由如下:如圖,過點A作AD⊥BC在Rt△ABD中,sinB=ADc,即AD=csin在Rt△ADC中,sinC=ADb,即AD=bsin∴csinB=bsinC,即bsinB同理可得asinA則asinA=bsin變式練9解:(1)1;1;1提示:sin2A1+cos2A1=122+322=14+34=1sin2A2+cos2A2=122+122=12+12=1sin2A3+cos2A3=352+452=