專題7曲線的公切線問題2023-2024學年新教材高中數學選擇性必修第三冊同步教學設計(人教B版2019)科目授課時間節次--年—月—日（星期——）第—節指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節名稱）專題7曲線的公切線問題2023-2024學年新教材高中數學選擇性必修第三冊同步教學設計(人教B版2019)設計思路本節課圍繞人教B版高中數學選擇性必修第三冊中“專題7曲線的公切線問題”展開，結合學生所在年級的知識水平和認知特點，以培養學生的數學思維和解決實際問題的能力為核心。課程設計遵循由淺入深、循序漸進的原則，首先通過復習曲線的切線概念引入公切線的定義，然后通過具體的例題讓學生掌握求解曲線公切線的方法，最后通過練習鞏固所學知識，提高學生的解題技巧。同時，注重引導學生運用數學思想，發現并解決生活中的曲線公切線問題，增強學生的實踐能力。核心素養目標本節課旨在培養學生以下數學核心素養：

1.邏輯推理能力：通過分析曲線的公切線問題，培養學生運用邏輯推理解決問題的能力。

2.數學建模意識：引導學生將實際生活中的問題抽象為數學模型，提高數學建模意識。

3.數學抽象能力：在求解曲線公切線過程中，培養學生對數學概念和方法的抽象概括能力。

4.數據分析和應用能力：通過例題和練習，提升學生運用數學知識分析數據、解決問題的能力。重點難點及解決辦法重點：理解公切線的概念，掌握求曲線公切線的方法。

難點：1.曲線公切線的幾何意義理解；2.求解過程中參數方程的應用；3.復雜曲線公切線問題的解決策略。

解決辦法：

1.通過實例講解，引導學生直觀感受公切線的幾何特征，強化對概念的理解。

2.通過詳細解析例題，演示如何將曲線方程轉化為參數方程，以及如何利用導數求解公切線，幫助學生掌握方法。

3.設計針對性練習，讓學生在解決實際問題時，逐步形成解決復雜問題的策略，如分類討論、數形結合等，以突破難點。教學方法與策略1.采用講授與討論相結合的方法，講解公切線的基本概念和求解方法，同時鼓勵學生提問和討論，以加深理解。

2.設計案例研究環節，讓學生通過分析具體曲線的公切線問題，實踐解題步驟，培養應用能力。

3.利用多媒體教學，展示曲線圖形和動態變化過程，增強直觀感受。通過小組合作解決問題，促進學生的互動與合作。教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對曲線公切線問題的興趣，激發其探索欲望。

過程：

開場提問：“同學們，我們在之前的課程中學習了曲線的切線，那么大家知道什么是公切線嗎？它在我們的生活中有什么應用？”

展示一些曲線公切線在實際生活中的應用圖片，如物理中的運動軌跡、工程中的設計圖等，讓學生初步感受曲線公切線的重要性。

簡短介紹曲線公切線的基本概念，為接下來的學習打下基礎。

2.曲線公切線基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解曲線公切線的基本概念、定義和性質。

過程：

講解曲線公切線的定義，包括切線、公切線的概念。

詳細介紹曲線公切線的性質，如切線的斜率與曲線導數的關系等。

3.曲線公切線案例分析（20分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解曲線公切線的求解方法和應用。

過程：

選擇幾個典型的曲線公切線案例進行分析，如圓的公切線、橢圓的公切線等。

詳細介紹每個案例的背景、求解步驟和意義，讓學生全面了解曲線公切線的多樣性。

引導學生思考這些案例在現實生活中的應用，如工程制圖、物理運動分析等。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學生分成若干小組，每組選擇一個與曲線公切線相關的案例進行深入討論。

小組內討論該案例的求解方法、可能遇到的困難和解決策略。

每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對曲線公切線的認識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括案例的求解方法、討論過程和結論。

其他學生和教師對展示內容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節課的主要內容，強調曲線公切線的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節課的學習內容，包括曲線公切線的基本概念、案例分析等。

強調曲線公切線在現實生活和學習中的價值和作用，鼓勵學生進一步探索和應用。

布置課后作業：讓學生選擇一個與曲線公切線相關的實際案例，分析其求解過程，并撰寫一篇短文或報告。學生學習效果學生學習效果如下：

1.知識掌握方面：

學生能夠準確理解曲線公切線的定義和性質，掌握求解曲線公切線的方法和步驟。通過案例分析，學生能夠運用所學知識解決實際問題，如求圓的公切線、橢圓的公切線等。

2.技能提升方面：

學生在解決曲線公切線問題時，能夠熟練運用導數和參數方程，提高了解題效率。通過小組討論，學生的合作能力和解決問題的能力得到了鍛煉，能夠更好地與他人溝通和協作。

3.數學思維方面：

學生在學習過程中，逐漸培養了邏輯推理和數學建模的意識。他們能夠將實際問題抽象為數學模型，運用數學知識進行分析和求解，從而提高了數學抽象能力和數據分析能力。

4.應用能力方面：

學生能夠將曲線公切線的知識應用于現實生活和學習中，如分析物理運動軌跡、解決工程制圖問題等。通過課后作業，學生能夠將所學知識與實際案例相結合，進一步鞏固和應用所學知識。

5.情感態度方面：

學生在學習曲線公切線的過程中，感受到了數學的趣味性和實用性，增強了學習數學的興趣和信心。同時，學生在解決實際問題時，體會到了數學知識的力量，提高了對數學的應用意識。

6.綜合素質方面：

學生在學習過程中，培養了良好的學習習慣和自主學習能力。他們能夠主動查閱資料、參與討論、總結歸納，提高了獨立解決問題的能力。此外，學生在課堂展示中，鍛煉了表達能力和自信心。教學反思與改進今天的課程讓我看到了學生們對曲線公切線問題的熱情和努力，但同時也暴露出了一些教學上的不足，這讓我深感反思。

在設計課程時，我盡量將抽象的數學概念與實際生活相結合，希望通過實例讓學生更好地理解和掌握知識。然而，在課堂實踐中，我發現部分學生對公切線的幾何意義理解不夠深入，這可能是因為我在講解過程中沒有足夠強調這一點。未來，我會更多地使用直觀的圖形和動態演示，幫助學生建立起清晰的幾何直觀。

在教學過程中，我也注意到一些學生在使用參數方程求解公切線時遇到了困難。我意識到，我在講解這一部分時可能過于側重于理論推導，而沒有足夠的時間讓學生動手實踐。下次教學時，我會增加一些課堂練習，讓學生在教師的指導下逐步完成解題過程，以此來提高他們的實際操作能力。

小組討論環節是課堂中較為活躍的部分，學生們積極參與，提出了不少有創意的想法。但是，我也發現有些小組的討論深度不夠，可能是因為時間限制或者討論主題設置不夠深入。未來，我會調整小組討論的策略，比如給予更多的時間或者提前準備更具有挑戰性的討論題目。

此外，我也反思了課堂點評環節。雖然我嘗試對所有學生的展示進行了提問和點評，但我意識到我的反饋可能還不夠具體和深入。接下來，我會更加注重對學生的個性化反饋，指出他們解題過程中的亮點和需要改進的地方，以促進他們的個性化發展。

改進措施如下：

1.加強幾何直觀教學，使用更多直觀教具和軟件來輔助教學。

2.增加課堂練習時間，讓學生在實踐中掌握解題技巧。

3.優化小組討論主題，提前準備討論題目，確保討論的深度和廣度。

4.提供更具體的課堂點評，注重個性化反饋，幫助學生提升解題能力。

我期待在未來的教學中，通過這些改進措施，能夠讓學生們對曲線公切線問題有更深刻的理解和掌握，同時也能夠提高他們的數學思維能力和解決實際問題的能力。課堂課堂評價：

在課堂上，我采用了多種方式來評價學生的學習情況。首先，通過提問，我能夠及時了解學生對曲線公切線概念的理解程度。我發現，當提問比較具體時，學生們往往能夠給出較為準確的答案，但面對較為抽象的問題時，他們的回答則顯得有些模糊。這讓我意識到，需要進一步加強學生對概念的理解和應用。

觀察學生在課堂上的表現也是評價的重要手段。我注意到，在小組討論環節，學生們能夠積極參與，提出自己的想法，但在解題過程中，一些學生對于公切線問題的解決策略還不夠清晰。我會針對這些觀察到的現象，調整教學策略，比如增加一些針對性的練習，幫助學生更好地掌握解題方法。

此外，我還會通過課堂小測驗來評估學生對知識點的掌握情況。通過測試，我發現學生們在求解公切線方程時，對于參數方程的應用還不夠熟練。針對這一問題，我計劃在后續教學中增加更多的練習題，讓學生在實踐中提高解題能力。

作業評價：

對于學生的作業，我堅持認真批改和詳細點評。我會在作業批改后，及時將反饋信息傳達給學生，指出他們在解題過程中存在的問題，并提供改進的建議。通過這種方式，學生們能夠清楚地知道自己的不足之處，并在此基礎上進行改進。

在作業評價中，我特別注意鼓勵學生繼續努力。對于那些在作業中表現出色的學生，我會給予表揚，并鼓勵他們保持這種學習態度。對于作業完成情況不太理想的學生，我會鼓勵他們不要氣餒，而是要找出問題所在，努力克服困難。

我還發現，通過作業評價，可以有效地幫助學生建立起自我反思的習慣。我會引導學生對自己的作業進行自我評價，讓他們思考哪些地方做得好，哪些地方還需要改進。這種方法不僅能夠提高學生的自我學習能力，還能夠增強他們的自信心。內容邏輯關系①曲線公切線的定義與性質

-重點知識點：公切線的定義、切線的斜率與曲線導數的關系

-重點詞：公切線、切線、斜率、導數

-重點句：曲線在某點的公切線是所有通過該點的切線中唯一的一條直線。

②求解曲線公切線的方法

-重點知識點：利用導數求解公切線、參數方程的應用

-重點詞：導數、參數方程、斜率、切點

-重點句：通過求導數找到曲線在特定點的斜率，進而求解出公切線的方程。

③曲線公切線問題的實際應用

-重點知識點：公切線在物理、工程等領域的應用

-重點詞：實際應用、物理運動、工程制圖、軌跡分析

-重點句：理解公切線問題在解決實際問題時的重要性和應用價值。重點題型整理題型一：求曲線在某點的公切線方程

題目：求曲線y=x^3在點(1,1)處的公切線方程。

答案：首先求出曲線在點(1,1)處的導數，即斜率，y'=3x^2，代入x=1得斜率為3。然后利用點斜式方程y-y1=m(x-x1)，代入點(1,1)和斜率3，得到公切線方程y-1=3(x-1)，即y=3x-2。

題型二：求兩曲線的公切線

題目：求曲線y=x^2和y=x+2的公切線。

答案：設切點分別為(x1,x1^2)和(x2,x2+2)，兩曲線在切點的斜率分別為2x1和1。由于是公切線，斜率相等，即2x1=1，解得x1=1/2。將x1代入曲線方程得切點(1/2,1/4)，同理求出另一切點。利用兩點式方程求解公切線方程，得到y=x+1/2。

題型三：求曲線的公切線方程，已知切點坐標

題目：已知曲線y=e^x的公切線經過點(0,2)，求該公切線的方程。

答案：設切點為(x0,e^x0)，曲線在切點的斜率為e^x0。利用點斜式方程，得到y-e^x0=e^x0(x-x0)。由于公切線經過點(0,2)，代入得2-e^x0=e^x0(0-x0)，解得x0=1。因此，切點為(1,e)，公切線方程為y=e(x-1)+e，即y=ex。

題型四：求曲線的公切線方程，已知切線斜率

題目：已知曲線y=sin(x)的公切線斜率為1，求該公切線的方程。

答案：設切點為(x0,sin(x0))，曲線在切點的斜率為cos(x0)。由于公切線斜率為1，有cos(x0)=1，解得x0=2kπ，其中k為整數。取k=0，得切點(0,0)。利用點斜式方程，得到公切線方程y-0=1(x-0)，即y=x。

題