專題15二次函數考點一：二次函數之定義、圖像以及性質知識回顧知識回顧二次函數的定義：形如的函數叫做二次函數。二次函數的圖像：二次函數的圖像是一條拋物線。二次函數的性質與圖像：形式一般式：頂點式的符號開口方向開口向上開口向下開口向上開口向下對稱軸，若同號，則對稱軸在軸左邊；若異號，則對稱軸在軸右邊。簡稱左同右異。，若，對稱軸在軸右邊；若，對稱軸在軸左邊，最值當時取得最小值當時取得最大值當時取得最小值當時取得最大值頂點坐標增減性圖像在對稱軸左邊隨的增大而減小；圖像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減小；圖像在對稱軸左邊隨的增大而減小；圖像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減小；①若二次函數是一般形式時，則二次函數與軸的交點坐標為。若，則二次函數與軸交于正半軸；若，則二次函數與軸交于負半軸。②二次函數開口向上時，離對稱軸越遠的點函數值越大；二次函數開口向下時，離對稱軸越遠的函數值越小。③二次函數函數值相等的兩個點一定關于對稱軸對稱。④二次函數的一般式化為頂點式：利用一元二次方程的配方法。微專題微專題1．（2022?濟南）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（）A．正比例函數關系 B．一次函數關系 C．反比例函數關系 D．二次函數關系2．（2022?株洲）已知二次函數y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數的圖象可能為（）A． B． C． D．3．（2022?阜新）下列關于二次函數y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象和性質的敘述中，正確的是（）A．點（0，2）在函數圖象上 B．開口方向向上 C．對稱軸是直線x＝1 D．與直線y＝3x有兩個交點4．（2022?衢州）已知二次函數y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當﹣1≤x≤4時，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或45．（2022?荊門）拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結論正確的是（）A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對6．（2022?蘭州）已知二次函數y＝2x2﹣4x+5，當函數值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞27．（2022?廣州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝﹣2，下列結論正確的是（）A．a＜0 B．c＞0 C．當x＜﹣2時，y隨x的增大而減小 D．當x＞﹣2時，y隨x的增大而減小8．（2022?郴州）關于二次函數y＝（x﹣1）2+5，下列說法正確的是（）A．函數圖象的開口向下 B．函數圖象的頂點坐標是（﹣1，5） C．該函數有最大值，最大值是5 D．當x＞1時，y隨x的增大而增大9．（2022?哈爾濱）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點坐標是（）A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）10．（2022?岳陽）已知二次函數y＝mx2﹣4m2x﹣3（m為常數，m≠0），點P（xp，yp）是該函數圖象上一點，當0≤xp≤4時，yp≤﹣3，則m的取值范圍是（）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣111．（2022?陜西）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對應的函數值分別為y1，y2，y3．當﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y312．（2022?新疆）已知拋物線y＝（x﹣2）2+1，下列結論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線x＝2 C．拋物線的頂點坐標為（2，1） D．當x＜2時，y隨x的增大而增大13．（2022?鹽城）若點P（m，n）在二次函數y＝x2+2x+2的圖象上，且點P到y軸的距離小于2，則n的取值范圍是．14．（2022?長春）已知二次函數y＝﹣x2﹣2x+3，當a≤x≤時，函數值y的最小值為1，則a的值為．15．（2022?黔東南州）若二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝﹣在同一坐標系內的大致圖象為（）A． B． C． D．16．（2022?湖北）二次函數y＝（x+m）2+n的圖象如圖所示，則一次函數y＝mx+n的圖象經過（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限17．（2022?南充）已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，當x1+x2＞4且x1＜x2時，都有y1＜y2，則m的取值范圍為（）A．0＜m≤2 B．﹣2≤m＜0 C．m＞2 D．m＜﹣218．（2022?呼和浩特）在平面直角坐標系中，點C和點D的坐標分別為（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），拋物線y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）與線段CD只有一個公共點，則m的取值范圍是．19．（2022?包頭）已知實數a，b滿足b﹣a＝1，則代數式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5 B．4 C．3 D．220．（2022?賀州）已知二次函數y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a時，y取得的最大值為15，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．421．（2022?嘉興）已知點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A．1 B． C．2 D．22．（2022?涼山州）已知實數a、b滿足a﹣b2＝4，則代數式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是．考點二：二次函數之函數變換知識回顧知識回顧二次函數的平移：①若函數進行左右平移，則在函數的自變量上進行加減。左加右減。②若函數進行上下平移，則在函數解析式整體后面進行加減。上加下減。一次函數的對稱變換：①若二次函數關于軸對稱，則自變量不變，函數值變為相反數。②若二次函數關于軸對稱，則函數值不變，自變量變成相反數。③若二次函數關于原點對稱，則自變量與函數值均變成相反數。微專題微專題23．（2022?通遼）在平面直角坐標系中，將二次函數y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數的解析式為（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣124．（2022?玉林）小嘉說：將二次函數y＝x2的圖象平移或翻折后經過點（2，0）有4種方法：①向右平移2個單位長度②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度③向下平移4個單位長度④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度你認為小嘉說的方法中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個25．（2022?瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經平移后，不可能得到的拋物線是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+126．（2022?湖州）將拋物線y＝x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）227．（2022?牡丹江）拋物線y＝x2﹣2x+3向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的頂點坐標是．28．（2022?黑龍江）把二次函數y＝2x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為．29．（2022?黔東南州）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2+2x﹣1先繞原點旋轉180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是．（2022?荊州）規定：兩個函數y1，y2的圖象關于y軸對稱，則稱這兩個函數互為“Y函數”．例如：函數y1＝2x+2與y2＝﹣2x+2的圖象關于y軸對稱，則這兩個函數互為“Y函數”．若函數y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k為常數）的“Y函數”圖象與x軸只有一個交點，則其“Y函數”的解析式為．考點三：二次函數之二次函數綜合知識回顧知識回顧二次函數與一元二次方程：①若二次函數與軸有兩個交點?一元二次方程有兩個不相等的實數根?。②若二次函數與軸只有一個交點?一元二次方程有兩個相等的實數根?。③若二次函數與軸沒有交點?一元二次方程沒有實數根?。④若二次函數與直線相交，則一元二次方程為。交點情況與方程的解的情況同與軸相交時一樣。二次函數與不等式（組）若二次函數與一次函數存在交點，則不等式：的解集取二次函數圖像在上方的部分所對應的自變量取值范圍；的解集取二次函數圖像在下方的部分所對應的自變量取值范圍。二次函數的一些特殊的自變量的函數值：①當時所對應的函數值為。②當時所對應的函數值為。③當時所對應的函數值為。④當時所對應的函數值為。對稱軸的特殊值：①若對稱軸為直線時，則。②若對稱軸為直線時，則。③判斷與0的大小關系時，看對稱軸與的位置關系。④判斷與0的大小關系時，看對稱軸與的位置關系。微專題微專題31．（2022?巴中）函數y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象是由函數y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結論正確的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④將圖象向上平移1個單位后與直線y＝5有3個交點．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④32．（2022?資陽）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x＝﹣1，且過點（0，1）．有以下四個結論：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若頂點坐標為（﹣1，2），當m≤x≤1時，y有最大值為2、最小值為﹣2，此時m的取值范圍是﹣3≤m≤﹣1．其中正確結論的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個33．（2022?黃石）已知二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，有以下結論：①abc＜0；②若t為任意實數，則有a﹣bt≤at2+b；③當圖象經過點（1，3）時，方程ax2+bx+c﹣3＝0的兩根為x1，x2（x1＜x2），則x1+3x2＝0，其中，正確結論的個數是（）第33題第34題A．0 B．1 C．2 D．334．（2022?日照）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為x＝，且經過點（﹣1，0）．下列結論：①3a+b＝0；②若點（，y1），（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個35．（2022?荊門）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2）和點（x0，y0），且c＞0．有下列結論：①a＜0；②對任意實數m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，則y0＞c．其中正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個36．（2022?綿陽）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象關于直線x＝1對稱，與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點．若﹣2＜x1＜﹣1，則下列四個結論：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個37．（2022?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，并與x軸交于A，B兩點，若OA＝5OB，則下列結論中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m為任意實數，則am2+bm+2b≥4a，正確的個數是（）第37題第38題第39題A．1 B．2 C．3 D．438．（2022?煙臺）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣，且與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0）．下列結論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有兩個相等的實數根．其中正確結論的序號是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③（2022?廣安）已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝1，與x軸正半軸的交點為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結論：①abc＞0；②2c﹣3b＜0；③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（﹣，y3）是拋物線上的三點，則y1＜y2＜y3．其中正確結論的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．440．（2022?遼寧）拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝kx+c與拋物線都經過點（﹣3，0）．下列說法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）與（，y2）是拋物線上的兩個點，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1；⑤當x＝﹣1時，函數y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正確的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．541．（2022?內蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，下列結論：①abc＜0；②3a+c＝0；③當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3；④點（﹣2，y1），（2，y2）都在拋物線上，則有y1＜0＜y2.其中結論正確的個數是（）第41題第42題A．1個 B．2個 C．3個 D．4個42．（2022?棗莊）小明在學習“二次函數”內容后，進行了反思總結．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，結合圖象他得出下列結論：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1；④若點（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數圖象上，則y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正確的結論有.（填序號，多選、少選、錯選都不得分）43．（2022?內江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個結論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集為0＜x＜x1．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．144．（2022?鄂州）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）的圖象頂點為P（1，m），經過點A（2，1）．有以下結論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1時，y隨x的增大而減小；⑤對于任意實數t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（）第44題第45題A．2個 B．3個 C．4個 D．5個45．（2022?達州）二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于（0，﹣1），對稱軸為直線x＝1．下列結論：①abc＞0；②a＞；③對于任意實數m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在該函數圖象上，則y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為4．其中正確結論有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5考點四：二次函數之實際應用知識回顧知識回顧利用二次函數解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題。解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量的取值范圍。幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論。構建二次函數模型解決實際問題利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題。微專題微專題46．（2022?自貢）九年級2班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準備圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，最佳方案是（）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案247．（2022?襄陽）在北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺滑出后的運動路線是一條拋物線，設她與跳臺邊緣的水平距離為xm，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數關系式為y＝（0≤x≤20.5），當她與跳臺邊緣的水平距離為m時，豎直高度達到最大值．48．（2022?黔西南州）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是y＝﹣x2+x+，則鉛球推出的水平距離OA的長是m．49．（2022?南通）根據物理學規律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數關系是h＝﹣5t2+20t，當飛行時間t為s時，小球達到最高點．50．（2022?聊城）某食品零售店新上架一款冷飲產品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關系如圖所示，當10≤x≤20時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產品的最大利潤為元（利潤＝總銷售額﹣總成本）．第50題第51題51．（2022?廣安）如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降米，水面寬8米．52．（2022?新疆）如圖，用一段長為16m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），則這個圍欄的最大面積為m2．第52題第53題53．（2022?甘肅）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系：h＝﹣5t2+20t，則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間t＝s．54．（2022?連云港）如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y＝﹣0.2x2+x+2.25運行，然后準確落入籃筐內，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m，則他距籃筐中心的水平距離OH是m．55．（2022?南充）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調試發現，噴頭高2.5m時，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時，水柱落點距O點3m．那么噴頭高m時，水柱落點距O點4m．專題15二次函數考點一：二次函數之定義、圖像以及性質知識回顧知識回顧二次函數的定義：形如的函數叫做二次函數。二次函數的圖像：二次函數的圖像是一條拋物線。二次函數的性質與圖像：形式一般式：頂點式的符號開口方向開口向上開口向下開口向上開口向下對稱軸，若同號，則對稱軸在軸左邊；若異號，則對稱軸在軸右邊。簡稱左同右異。，若，對稱軸在軸右邊；若，對稱軸在軸左邊，最值當時取得最小值當時取得最大值當時取得最小值當時取得最大值頂點坐標增減性圖像在對稱軸左邊隨的增大而減小；圖像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減小；圖像在對稱軸左邊隨的增大而減小；圖像在對稱軸右邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸左邊隨的增大而增大；圖像在對稱軸右邊隨的增大而減小；①若二次函數是一般形式時，則二次函數與軸的交點坐標為。若，則二次函數與軸交于正半軸；若，則二次函數與軸交于負半軸。②二次函數開口向上時，離對稱軸越遠的點函數值越大；二次函數開口向下時，離對稱軸越遠的函數值越小。③二次函數函數值相等的兩個點一定關于對稱軸對稱。④二次函數的一般式化為頂點式：利用一元二次方程的配方法。微專題微專題1．（2022?濟南）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（）A．正比例函數關系 B．一次函數關系 C．反比例函數關系 D．二次函數關系【分析】根據題意列出y與x的關系式可得答案．【解答】解：由題意得，y＝40﹣2x，所以y與x是一次函數關系，故選：B．2．（2022?株洲）已知二次函數y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數的圖象可能為（）A． B． C． D．【分析】根據c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D選項，當a＞0時，可知對稱軸＜0，可排除B選項，當a＜0時，可知對稱軸＞0，可知C選項符合題意．【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D選項不符合題意；當a＞0時，∵b＞0，∴對稱軸x＝＜0，故B選項不符合題意；當a＜0時，b＞0，∴對稱軸x＝＞0，故C選項符合題意，故選：C．3．（2022?阜新）下列關于二次函數y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象和性質的敘述中，正確的是（）A．點（0，2）在函數圖象上 B．開口方向向上 C．對稱軸是直線x＝1 D．與直線y＝3x有兩個交點【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函數值再與點的縱坐標進行比較；B、化簡二次函數：y＝﹣3x2+3x+6，根據a的取值判斷開口方向；C、根據對稱軸公式計算；D、把函數的問題轉化為一元二次方程的問題，根據判別式的取值來判斷．【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A錯誤；B、化簡二次函數：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函數的圖象開口方向向下，∴B錯誤；C、∵二次函數對稱軸是直線x＝﹣＝，∴C錯誤；D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函數y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象與直線y＝3x有兩個交點，∴D正確；故選：D．4．（2022?衢州）已知二次函數y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當﹣1≤x≤4時，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4【分析】分兩種情況討論：當a＞0時，﹣a＝﹣4，解得a＝4；當a＜0時，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，﹣a），當a＞0時，在﹣1≤x≤4，函數有最小值﹣a，∵y的最小值為﹣4，∴﹣a＝﹣4，∴a＝4；當a＜0時，在﹣1≤x≤4，當x＝4時，函數有最小值，∴9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣；綜上所述：a的值為4或﹣，故選：D．5．（2022?荊門）拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結論正確的是（）A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對【分析】根據二次函數的性質判斷即可．【解答】解：∵拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，故選：D．6．（2022?蘭州）已知二次函數y＝2x2﹣4x+5，當函數值y隨x值的增大而增大時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2【分析】將二次函數解析式化為頂點式，由拋物線對稱軸及開口方向求解．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴x＞1時，y隨x增大而增大，故選：B．7．（2022?廣州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝﹣2，下列結論正確的是（）A．a＜0 B．c＞0 C．當x＜﹣2時，y隨x的增大而減小 D．當x＞﹣2時，y隨x的增大而減小【分析】根據圖象得出a，c的符號即可判斷A、B，利用二次函數的性質即可判斷C、D．【解答】解：∵圖象開口向上，∴a＞0，故A不正確；∵圖象與y軸交于負半軸，∴c＜0，故B不正確；∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣2，∴當x＜﹣2時，y隨x的增大而減小，x＞﹣2時，y隨x的增大而增大，故C正確，D不正確；故選：C．8．（2022?郴州）關于二次函數y＝（x﹣1）2+5，下列說法正確的是（）A．函數圖象的開口向下 B．函數圖象的頂點坐標是（﹣1，5） C．該函數有最大值，最大值是5 D．當x＞1時，y隨x的增大而增大【分析】通過分析二次函數頂點式判斷函數圖象開口方向、頂點坐標、最值以及增減性即可求解．【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系數為1，1＞0，函數圖象開口向上，A錯誤；函數圖象的頂點坐標是（1，5），B錯誤；函數圖象開口向上，有最小值為5，C錯誤；函數圖象的對稱軸為x＝1，x＜1時y隨x的增大而減小；x＞1時，y隨x的增大而增大，D正確．故選：D．9．（2022?哈爾濱）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點坐標是（）A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴拋物線頂點坐標為（﹣9，﹣3），故選：B．10．（2022?岳陽）已知二次函數y＝mx2﹣4m2x﹣3（m為常數，m≠0），點P（xp，yp）是該函數圖象上一點，當0≤xp≤4時，yp≤﹣3，則m的取值范圍是（）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1【分析】先求出拋物線的對稱軸及拋物線與y軸的交點坐標，再分兩種情況：m＞0或m＜0，根據二次函數的性質求得m的不同取值范圍便可．【解答】解：∵二次函數y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴對稱軸為x＝2m，拋物線與y軸的交點為（0，﹣3），∵點P（xp，yp）是該函數圖象上一點，當0≤xp≤4時，yp≤﹣3，∴①當m＞0時，對稱軸x＝2m＞0，此時，當x＝4時，y≤﹣3，即m?42﹣4m2?4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②當m＜0時，對稱軸x＝2m＜0，當0≤x≤4時，y隨x增大而減小，則當0≤xp≤4時，yp≤﹣3恒成立；綜上，m的取值范圍是：m≥1或m＜0．故選：A．11．（2022?陜西）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對應的函數值分別為y1，y2，y3．當﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【分析】首先求出拋物線的對稱軸，根據二次函數的增減性即可解決問題．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴對稱軸x＝1，頂點坐標為（1，﹣4），當y＝0時，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為：（﹣1，0），（3，0），∴當﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y2＜y1＜y3，故選：D．12．（2022?新疆）已知拋物線y＝（x﹣2）2+1，下列結論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線x＝2 C．拋物線的頂點坐標為（2，1） D．當x＜2時，y隨x的增大而增大【分析】根據拋物線a＞0時，開口向上，a＜0時，開口向下判斷A選項；根據拋物線的對稱軸為x＝h判斷B選項；根據拋物線的頂點坐標為（h，k）判斷C選項；根據拋物線a＞0，x＜h時，y隨x的增大而減小判斷D選項．【解答】解：A選項，∵a＝1＞0，∴拋物線開口向上，故該選項不符合題意；B選項，拋物線的對稱軸為直線x＝2，故該選項不符合題意；C選項，拋物線的頂點坐標為（2，1），故該選項不符合題意；D選項，當x＜2時，y隨x的增大而減小，故該選項符合題意；故選：D．13．（2022?鹽城）若點P（m，n）在二次函數y＝x2+2x+2的圖象上，且點P到y軸的距離小于2，則n的取值范圍是．【分析】由題意可知﹣2＜m＜2，根據m的范圍即可確定n的范圍．【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函數y＝x2+2x+2的圖象開口向上，頂點為（﹣1，1），對稱軸是直線x＝﹣1，∵P（m，n）到y軸的距離小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），當m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，當m＝﹣1時，n＝1，∴n的取值范圍是1≤n＜10，故答案為：1≤n＜10．14．（2022?長春）已知二次函數y＝﹣x2﹣2x+3，當a≤x≤時，函數值y的最小值為1，則a的值為．【分析】函數配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，當y＝1時，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因為﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤時，函數值y的最小值為1，進而可以解決問題．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴圖象開口向下，頂點坐標為（﹣1，4），根據題意，當a≤x≤時，函數值y的最小值為1，當y＝1時，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤時，函數值y的最小值為1，∴a＝﹣1﹣．故答案為：﹣1﹣．15．（2022?黔東南州）若二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝﹣在同一坐標系內的大致圖象為（）A． B． C． D．【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置及拋物線與y軸交點位置判斷a，b，c的符號，從而可得直線與反比例函數圖象的大致圖象．【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸在y軸左側，∴b＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴c＜0，∴直線y＝ax+b經過第一，二，三象限，反比例函數y＝﹣圖象經過一，三象限，故選：C．16．（2022?湖北）二次函數y＝（x+m）2+n的圖象如圖所示，則一次函數y＝mx+n的圖象經過（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【分析】由拋物線頂點式可得拋物線頂點坐標，由圖象可得m，n的符號，進而求解．【解答】解：∵y＝（x+m）2+n，∴拋物線頂點坐標為（﹣m，n），∵拋物線頂點在第四象限，∴m＜0，n＜0，∴直線y＝mx+n經過第二，三，四象限，故選：D．17．（2022?南充）已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，當x1+x2＞4且x1＜x2時，都有y1＜y2，則m的取值范圍為（）A．0＜m≤2 B．﹣2≤m＜0 C．m＞2 D．m＜﹣2【分析】根據題意和題目中的拋物線，可以求得拋物線的對稱軸，然后分類討論即可得到m的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），∴該拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝m，∵當x1+x2＞4且x1＜x2時，都有y1＜y2，∴當m＞0時，0＜2m≤4，解得0＜m≤2；當m＜0時，2m＞4，此時m無解；由上可得，m的取值范圍為0＜m≤2，故選：A．18．（2022?呼和浩特）在平面直角坐標系中，點C和點D的坐標分別為（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），拋物線y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）與線段CD只有一個公共點，則m的取值范圍是．【分析】根據拋物線求出對稱軸x＝1，y軸的交點坐標為（0，2），頂點坐標為（1，2﹣m），直線CD的表達式y＝﹣1，分兩種情況討論：m＞0時或m＜0時，利用拋物線的性質分析求解．【解答】解：拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝1，當x＝0時，y＝2，∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，2），頂點坐標為（1，2﹣m），直線CD的表達式y＝﹣1，當m＞0時，且拋物線過點D（4，﹣1）時，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合題意，舍去），當拋物線經過點（﹣1，﹣1）時，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合題意，舍去），當m＞0且拋物線的頂點在線段CD上時，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，當m＜0時，且拋物線過點D（4，﹣1）時，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，當拋物線經過點（﹣1，﹣1）時，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，綜上，m的取值范圍為m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案為：m＝3或﹣1＜m≤﹣．19．（2022?包頭）已知實數a，b滿足b﹣a＝1，則代數式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由題意得b＝a+1，代入代數式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此題的最小值是5．【解答】解：∵b﹣a＝1，∴b＝a+1，∴a2+2b﹣6a+7＝a2+2（a+1）﹣6a+7＝a2+2a+2﹣6a+7＝a2﹣4a+4+5＝（a﹣2）2+5，∴代數式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，故選：A．20．（2022?賀州）已知二次函數y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a時，y取得的最大值為15，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先找到二次函數的對稱軸和頂點坐標，求出y＝15時，x的值，再根據二次函數的性質得出答案．【解答】解：∵二次函數y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴拋物線的對稱軸為x＝1，頂點（1，﹣3），∴當y＝﹣3時，x＝1，當y＝15時，2（x﹣1）2﹣3＝15，解得x＝4或x＝﹣2，∵當0≤x≤a時，y的最大值為15，∴a＝4，故選：D．21．（2022?嘉興）已知點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A．1 B． C．2 D．【分析】由點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根據ab的最大值為9，得k＝﹣，即可求出c＝2．【解答】解：∵點A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值為9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故選：C．22．（2022?涼山州）已知實數a、b滿足a﹣b2＝4，則代數式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是．【分析】根據a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代數式a2﹣3b2+a﹣14中，然后結合二次函數的性質即可得到答案．【解答】解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴當a≥4時，原式的值隨著a的增大而增大，∴當a＝4時，原式取最小值為6，故答案為：6．考點二：二次函數之函數變換知識回顧知識回顧二次函數的平移：①若函數進行左右平移，則在函數的自變量上進行加減。左加右減。②若函數進行上下平移，則在函數解析式整體后面進行加減。上加下減。一次函數的對稱變換：①若二次函數關于軸對稱，則自變量不變，函數值變為相反數。②若二次函數關于軸對稱，則函數值不變，自變量變成相反數。③若二次函數關于原點對稱，則自變量與函數值均變成相反數。微專題微專題23．（2022?通遼）在平面直角坐標系中，將二次函數y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得函數的解析式為（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1【分析】根據圖象的平移規律，可得答案．【解答】解：將二次函數y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．故選：D．24．（2022?玉林）小嘉說：將二次函數y＝x2的圖象平移或翻折后經過點（2，0）有4種方法：①向右平移2個單位長度②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度③向下平移4個單位長度④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度你認為小嘉說的方法中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】分別求出平移或翻折后的解析式，將點（2，0）代入可求解．【解答】解：①向右平移2個單位長度，則平移后的解析式為y＝（x﹣2）2，當x＝2時，y＝0，所以平移后的拋物線過點（2，0），故①符合題意；②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，則平移后的解析式為y＝（x﹣1）2﹣1，當x＝2時，y＝0，所以平移后的拋物線過點（2，0），故②符合題意；③向下平移4個單位長度，則平移后的解析式為y＝x2﹣4，當x＝2時，y＝0，所以平移后的拋物線過點（2，0），故③符合題意；④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度，則平移后的解析式為y＝﹣x2+4，當x＝2時，y＝0，所以平移后的拋物線過點（2，0），故④符合題意；故選：D．25．（2022?瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經平移后，不可能得到的拋物線是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1【分析】根據拋物線的平移規律，可得答案．【解答】解：∵將拋物線y＝﹣x2+x+1經過平移后開口方向不變，開口大小也不變，∴拋物線y＝﹣x2+x+1經過平移后不可能得到的拋物線是y＝﹣x2+x+1．故選：D．26．（2022?湖州）將拋物線y＝x2向上平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2【分析】根據二次函數變化規律：左加右減，上加下減，進而得出變化后解析式．【解答】解：∵拋物線y＝x2向上平移3個單位，∴平移后的解析式為：y＝x2+3．故選：A．27．（2022?牡丹江）拋物線y＝x2﹣2x+3向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的頂點坐標是．【分析】利用平移規律可求得平移后的拋物線的解析式，可求得其頂點坐標．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴拋物線y＝x2﹣2x+3向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，∴平移后的拋物線的頂點坐標為（3，5）．故答案為：（3，5）．28．（2022?黑龍江）把二次函數y＝2x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為．【分析】直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答．【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將二次函數y＝2x2的圖象向左平移1個單位長度所得拋物線的解析式為：y＝2（x+1）2；由“上加下減”的原則可知，將拋物線y＝2（x+1）2向下平移2個單位長度所得拋物線的解析式為：y＝2（x+1）2﹣2，故答案為：y＝2（x+1）2﹣2．29．（2022?黔東南州）在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2+2x﹣1先繞原點旋轉180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標是．【分析】先求出繞原點旋轉180°的拋物線解析式，再求出向下平移5個單位長度的解析式，配成頂點式即可得答案．【解答】解：將拋物線y＝x2+2x﹣1繞原點旋轉180°后所得拋物線為：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再將拋物線y＝﹣x2+2x+1向下平移5個單位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的拋物線的頂點坐標是（1，﹣3），故答案為：（1，﹣3）．（2022?荊州）規定：兩個函數y1，y2的圖象關于y軸對稱，則稱這兩個函數互為“Y函數”．例如：函數y1＝2x+2與y2＝﹣2x+2的圖象關于y軸對稱，則這兩個函數互為“Y函數”．若函數y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k為常數）的“Y函數”圖象與x軸只有一個交點，則其“Y函數”的解析式為．【分析】根據關于y軸對稱的圖形的對稱點的坐標特點，分情況討論求解．【解答】解：∵函數y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k為常數）的“Y函數”圖象與x軸只有一個交點，∴函數y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k為常數）的圖象與x軸也只有一個交點，當k＝0時，函數解析式為y＝﹣2x﹣3，它的“Y函數”解析式為y＝2x﹣3，它們的圖象與x軸只有一個交點，當k≠0時，此函數是二次函數，∵它們的圖象與x軸都只有一個交點，∴它們的頂點分別在x軸上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函數的解析式為y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函數”解析式為y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，綜上，“Y函數”的解析式為y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案為：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．考點三：二次函數之二次函數綜合知識回顧知識回顧二次函數與一元二次方程：①若二次函數與軸有兩個交點?一元二次方程有兩個不相等的實數根?。②若二次函數與軸只有一個交點?一元二次方程有兩個相等的實數根?。③若二次函數與軸沒有交點?一元二次方程沒有實數根?。④若二次函數與直線相交，則一元二次方程為。交點情況與方程的解的情況同與軸相交時一樣。二次函數與不等式（組）若二次函數與一次函數存在交點，則不等式：的解集取二次函數圖像在上方的部分所對應的自變量取值范圍；的解集取二次函數圖像在下方的部分所對應的自變量取值范圍。二次函數的一些特殊的自變量的函數值：①當時所對應的函數值為。②當時所對應的函數值為。③當時所對應的函數值為。④當時所對應的函數值為。對稱軸的特殊值：①若對稱軸為直線時，則。②若對稱軸為直線時，則。③判斷與0的大小關系時，看對稱軸與的位置關系。④判斷與0的大小關系時，看對稱軸與的位置關系。微專題微專題31．（2022?巴中）函數y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象是由函數y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結論正確的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④將圖象向上平移1個單位后與直線y＝5有3個交點．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【分析】根據函數圖象與x軸交點的橫坐標求出對稱軸為，進而可得2a+b＝0，由圖象可得拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交點在x軸下方，由拋物線y＝ax2+bx+c的開口方向，對稱軸位置和拋物線與y軸交點位置可得abc的符號，求出二次函數y＝ax2+bx+c的頂點式，可得圖象向上平移1個單位后與直線y＝5有3個交點【解答】解：∵圖象經過（﹣1，0），（3，0），∴拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正確．由圖象可得拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交點在x軸下方，∴c＜0，②錯誤．由拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上可得a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正確．設拋物線y＝ax2+bx+c的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點坐標為（1，4），∵點（1，4）向上平移1個單位后的坐標為（1，5），∴將圖象向上平移1個單位后與直線y＝5有3個交點，故④正確；故選：D．32．（2022?資陽）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x＝﹣1，且過點（0，1）．有以下四個結論：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若頂點坐標為（﹣1，2），當m≤x≤1時，y有最大值為2、最小值為﹣2，此時m的取值范圍是﹣3≤m≤﹣1．其中正確結論的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】①：根據二次函數的對稱軸，c＝1，即可判斷出abc＞0；②：結合圖象發現，當x＝﹣1時，函數值大于1，代入即可判斷；③：結合圖象發現，當x＝1時，函數值小于0，代入即可判斷；④：運用待定系數法求出二次函數解析式，再利用二次函數的對稱性即可判斷．【解答】解：∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x＝﹣1，且過點（0，1），∴，c＝1，∴ab＞0，∴abc＞0，故①正確；從圖中可以看出，當x＝﹣1時，函數值大于1，因此將x＝﹣1代入得，（﹣1）2?a+（﹣1）?b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正確；∵，∴b＝2a，從圖中可以看出，當x＝1時，函數值小于0，∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故③正確；∵二次函數y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（﹣1，2），∴設二次函數的解析式為y＝a（x+1）2+2，將（0，1）代入得，1＝a+2，解得a＝﹣1，∴二次函數的解析式為y＝﹣（x+1）2+2，∴當x＝1時，y＝﹣2；∴根據二次函數的對稱性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正確；綜上所述，①②③④均正確，故有4個正確結論，故選A．33．（2022?黃石）已知二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，有以下結論：①abc＜0；②若t為任意實數，則有a﹣bt≤at2+b；③當圖象經過點（1，3）時，方程ax2+bx+c﹣3＝0的兩根為x1，x2（x1＜x2），則x1+3x2＝0，其中，正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對稱軸方程得到b＝2a＞0，利用拋物線與y軸的交點位置得到c＜0，則可對①進行判斷；利用二次函數當x＝﹣1時有最小值可對②進行判斷；由于二次函數y＝ax2+bx+c與直線y＝3的一個交點為（1，3），利用對稱性得到二次函數y＝ax2+bx+c與直線y＝3的另一個交點為（﹣3，3），從而得到x1＝﹣3，x2＝1，則可對③進行判斷．【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正確；∵x＝﹣1時，y有最小值，∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t為任意實數），即a﹣bt≤at2+b，所以②正確；∵圖象經過點（1，3）時，得ax2+bx+c﹣3＝0的兩根為x1，x2（x1＜x2），∴二次函數y＝ax2+bx+c與直線y＝3的一個交點為（1，3），∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴二次函數y＝ax2+bx+c與直線y＝3的另一個交點為（﹣3，3），即x1＝﹣3，x2＝1，∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正確．故選：D．34．（2022?日照）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為x＝，且經過點（﹣1，0）．下列結論：①3a+b＝0；②若點（，y1），（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由對稱軸為x＝即可判斷①；根據點（，y1），（3，y2）到對稱軸的距離即可判斷②；由拋物線經過點（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，對稱軸x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判斷③；根據二次函數的性質以及拋物線的對稱性即可判斷④．【解答】解：∵對稱軸x＝﹣＝，∴b＝﹣3a，∴3a+b＝0，①正確；∵拋物線開口向上，點（，y1）到對稱軸的距離小于點（3，y2）的距離，∴y1＜y2，故②正確；∵經過點（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵對稱軸x＝﹣＝，∴a＝﹣b，∴﹣b﹣b+c＝0，∴3c＝4b，∴4b﹣3c＝0，故③錯誤；∵對稱軸x＝，∴點（0，c）的對稱點為（3，c），∵開口向上，∴y≤c時，0≤x≤3．故④正確；故選：C．35．（2022?荊門）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2）和點（x0，y0），且c＞0．有下列結論：①a＜0；②對任意實數m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，則y0＞c．其中正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2）且c＞0，即可判斷開口向下，即可判斷①；根據二次函數的性質即可判斷②；根據拋物線的對稱性即可判斷③；根據拋物線的對稱性以及二次函數的性質即可判斷④．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2），且c＞0，∴拋物線開口向下，則a＜0，故①正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為x＝﹣2，∴函數的最大值為4a﹣2b+c，∴對任意實數m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②錯誤；∵對稱軸為x＝﹣2，c＞0．∴當x＝﹣4時的函數值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正確；∵對稱軸為x＝﹣2，點（0，c）的對稱點為（﹣4，c），∵拋物線開口向下，∴若﹣4＜x0＜0，則y0＞c，故④錯誤；故選：B．36．（2022?綿陽）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象關于直線x＝1對稱，與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點．若﹣2＜x1＜﹣1，則下列四個結論：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據二次函數的對稱性，即可判斷①；由開口方向和對稱軸即可判斷②；根據拋物線與x軸的交點以及x＝﹣1時的函數的取值，即可判斷③；根據拋物線的開口方向、對稱軸，與y軸的交點以及a﹣b+c＜0，即可判斷④．【解答】解：∵對稱軸為直線x＝1，﹣2＜x1＜﹣1，∴3＜x2＜4，①正確，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，∵a＞0，∴3a+2b＜0，②錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，由題意可知x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∵a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴a+c＜0，∴b2﹣4ac＞a+c，∴b2＞a+c+4ac，③正確；∵拋物線開口向上，與y軸的交點在x軸下方，∴a＞0，c＜0，∴a＞c，∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，∴3a+c＜0，∴c＜﹣3a，∴b＝﹣2a，∴b＞c，所以④錯誤；故選：B．37．（2022?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣2，并與x軸交于A，B兩點，若OA＝5OB，則下列結論中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m為任意實數，則am2+bm+2b≥4a，正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據函數圖象的開口方向、對稱軸、圖象與y軸的交點即可判斷①；根據對稱軸x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，點A（﹣5，0），點B（1，0），當x＝1時，y＝0即可判斷②；根據對稱軸x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a與c的關系，即可判斷③；根據函數的最小值是當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c，即可判斷④；【解答】解：①觀察圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①錯誤；②∵對稱軸為直線x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，∴點A（﹣5，0），點B（1，0），∴當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正確；③拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，即﹣＝﹣2，∴b＝4a，∵a+b+c＝0，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴9a+4c＝﹣11a，∵a＞0，∴9a+4c＜0，故③正確；④當x＝﹣2時，函數有最小值y＝4a﹣2b+c，由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，∴若m為任意實數，則am2+bm+2b≥4a，故④正確；故選：C．38．（2022?煙臺）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣，且與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0）．下列結論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有兩個相等的實數根．其中正確結論的序號是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【分析】根據對稱軸、開口方向、與y軸的交點位置即可判斷a、b、c與0的大小關系，然后將由對稱軸可知a＝b．圖象過（﹣2，0）代入二次函數中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函數最小值小于0，從而可判斷ax2+bx+c＝1有兩個不相同的解．【解答】解：①由圖可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合題意．②由題意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合題意．③將（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合題意．④由圖象可知：二次函數y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有兩個不相同的解，故④不符合題意．故選：D．39．（2022?廣安）已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝1，與x軸正半軸的交點為A（3，0），其部分圖象如圖所示，有下列結論：①abc＞0；②2c﹣3b＜0；③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（﹣，y3）是拋物線上的三點，則y1＜y2＜y3．其中正確結論的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①正確，根據拋物線的位置，判斷出a，b，c的符號，可得結論；②③錯誤，利用對稱軸公式，拋物線經過A（3，0），求出b，c與a的關系，判斷即可；④正確．利用圖象法判斷即可．【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，∴1＝﹣，∴b＝﹣2a，∴b＜0，∵拋物線交y軸于負半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確，∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c經過（3，0），∴9a﹣6a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，故②錯誤，5a+b+2c＝5a﹣2a﹣6a＝﹣3a＜0，故③錯誤，觀察圖象可知，y1＜y2＜y3，故④正確，故選：B．40．（2022?遼寧）拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝kx+c與拋物線都經過點（﹣3，0）．下列說法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）與（，y2）是拋物線上的兩個點，則y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1；⑤當x＝﹣1時，函數y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正確的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用圖象的信息與已知條件求得a，b的關系式，利用待定系數法和二次函數的性質對每個結論進行逐一判斷即可得出結論．【解答】解：∵拋物線的開口方向向下，∴a＜0．∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的結論正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的結論不正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴點（﹣2，y1）關于直線x＝﹣1對稱的對稱點為（0，y1），∵a＜0，∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而減小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的結論不正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線經過點（﹣3，0），∴拋物線一定經過點（1，0），∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標為﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣3，x2＝1，∴④的結論正確；∵直線y＝kx+c經過點（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函數y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴當x＝﹣時，函數y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的結論不正確．綜上，結論正確的有：①④，故選：A．41．（2022?內蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1，下列結論：①abc＜0；②3a+c＝0；③當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3；④點（﹣2，y1），（2，y2）都在拋物線上，則有y1＜0＜y2.其中結論正確的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解答】解：根據函數的對稱性，拋物線與x軸的另外一個交點的坐標為（3，0）；①函數對稱軸在y軸右側，則ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，故①正確，符合題意；②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1時，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴②正確，符合題意；③由圖象知，當y＞0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3，∴③錯誤，不符合題意；④從圖象看，當x＝﹣2時，y1＜0，當x＝2時，y2＞0，∴有y1＜0＜y2，故④正確，符合題意；故選：C．42．（2022?棗莊）小明在學習“二次函數”內容后，進行了反思總結．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，結合圖象他得出下列結論：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1；④若點（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數圖象上，則y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正確的結論有.（填序號，多選、少選、錯選都不得分）【分析】由拋物線的對稱軸的位置以及與y軸的交點可判斷①；由拋物線過點（1，0），即可判斷②；由拋物線的對稱性可判斷③；根據各點與拋物線對稱軸的距離大小可判斷④；對稱軸可得b＝2a，由拋物線過點（1，0）可判斷⑤．【解答】解：∵拋物線對稱軸在y軸的左側，∴ab＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴c＞0，①正確；∵拋物線經過（1，0），∴a+b+c＝0，②正確．∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴另一個交點為（﹣3，0），∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1，③正確；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），拋物線開口向下，∴y2＞y1＞y3，④錯誤．∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（1，0），∴a+b+c＝0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴3a+c＝0，⑤錯誤．故答案為：①②③．43．（2022?內江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩點（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四個結論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集為0＜x＜x1．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用二次函數的圖象和性質依次判斷即可．【解答】解：∵拋物線開口向上，對稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正確．∵當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②錯誤．∵拋物線過點（2，0），∴4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2a﹣，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a﹣+c＜0，∴2a﹣c＞0，∴③正確．如圖：設y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由圖值，y1＞y2時，x＜0或x＞x1，故④錯誤．故選：C．44．（2022?鄂州）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）的圖象頂點為P（1，m），經過點A（2，1）．有以下結論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1時，y隨x的增大而減小；⑤對于任意實數t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】①根據拋物線的開口方向向下即可判定；②先運用二次函數圖象的性質確定a、b、c的正負即可解答；③將點A的坐標代入即可解答；④根據函數圖象即可解答；⑤運用作差法判定即可．【解答】解：①由拋物線的開口方向向下，則a＜0，故①正確；②∵拋物線的頂點為P（1，m），∴﹣＝1，b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故②錯誤；③∵拋物線經過點A（2，1），∴1＝a?22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正確；④∵拋物線的頂點為P（1，m），且開口方向向下，∴x＞1時，y隨x的增大而減小，即④正確；⑤∵a＜0，∴at2+bt﹣（a+b）＝at2﹣2at﹣a+2a＝at2﹣2at+a＝a（t2﹣2t+1）＝a（t﹣1）2≤0，∴at2+bt≤a+b，則⑤正確綜上，正確的共有4個．故選：C．45．（2022?達州）二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于（0，﹣1），對稱軸為直線x＝1．下列結論：①abc＞0；②a＞；③對于任意實數m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在該函數圖象上，則y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為4．其中正確結論有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①正確，判斷出a，b，c的正負，可得結論；②正確．利用對稱軸公式可得，b＝﹣2a，當x＝﹣1時，y＞0，解不等式可得結論；③錯誤．當m＝1時，m（am+b）＝a+b；④錯誤．應該是y2＜y3＜y1，；⑤錯誤．當有四個交點或3個時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為4，當有兩個交點時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為2．【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∴拋物線與y軸交于點（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正確，∵y＝ax2﹣2ax﹣1，當x＝﹣1時，y＞0，∴a+2a﹣1＞0，∴a＞，故②正確，當m＝1時，m（am+b）＝a+b，故③錯誤，∵點（﹣2，y1）到對稱軸的距離大于點（2，y3）到對稱軸的距離，∴y1＞y3，∵點（，y2）到對稱軸的距離小于點（2，y3）到對稱軸的距離，∴y3＞y2，∴y2＜y3＜y1，故④錯誤，∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的解，是拋物線與直線y＝±k的交點，當有3個交點時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為3，當有4個交點時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為4，當有2個交點時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數）的所有根的和為2，故⑤錯誤，故選：A．考點四：二次函數之實際應用知識回顧知識回顧利用二次函數解決利潤問題在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題。解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量的取值范圍。幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論。構建二次函