學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精互動課堂疏導引導本課時的重點是幾種常見函數的導數公式。我們知道,導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線的斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度。根據導數的定義,求函數y=f(x）的導數,就是求出當Δx趨近于0時，所趨近的那個定值。（1)函數y=f(x）=C的導數.∵Δy=f（x+Δx）—f(x)=C-C=0，∴=0，∴y′==0=0。y′=0表示函數y=C圖象上每一點處的切線的斜率為0，如圖（1）.若y=C表示路程關于時間的函數,則y′=0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即一直處于靜止狀態。（2）函數y=f（x）=x的導數。∵Δy=（x+Δx)—x=Δx，∴=1.∴y′==1=1。y′=1表示函數y=x圖象上每一點處的切線的斜率都為1,如圖（2).若y=x表示路程關于時間的函數,則y′=1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動.(3)函數y=f（x）=x2的導數。∵====2x+Δx,∴y′==(2x+Δx)=2x。y′=2x表示函數y=x2圖象上點(x，y)處切線的斜率為2x,說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化，如圖(3)。另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看,y′=2x表明:當x＜0時，隨著x的增加,函數y=x2減少得越來越慢；當x＞0時,隨著x的增加,函數y=x2增加得越來越快。若y=x2表示路程關于時間的函數,則y′=2x可以解釋為某物體做變速運動,它在時刻x的瞬時速度為2x。（4)函數y=f（x)=的導數。∵====，∴y′==［］=.公式:(cosx)′=-sinx的證明∵y=cosx，∴Δy=cos（x+Δx)—cosx=-2sin（x+)sin∴==-sin（x+）·∴y′=(cosx)′==-sin（x+)·=—sinx.對數函數、指數函數的導數公式的鞏固。對于公式(lnx)′=和（ex）′=ex很好記，但對于公式（logax)′=logae和（ax）′=axlna的記憶就較難,特別是兩個常數logae、lna很容易混淆.應從以下幾方面加深對公式的理解和記憶：①區分公式的結構特征，從縱的方面“（lnx)′與（logax）′”,和(ex)′與(ax)′"區分，又要從橫的方面“（logax)′與（ax）′”區分，找出差異，記憶公式。②對公式（logax)′，用（lnx)′和復合函數求導法則證明來幫助記憶，即求證對數函數導數公式（logax）′=logae。證明如下：(logax)′=（)=logae.這樣知道了（logax）′=1xlogae中logae的來歷,對于公式的記憶和區分是很有必要的.活學巧用1。求下列函數的導數（1）y=x12；(2）y=；（3)y=。解析:（1）y=（x12)′=12x12-1=12x11;(2)y=(x—4)′=（-4)x—4-1=-4x—5=；(3)y=(）′=（)′==2。某圓形容器的底面直徑為2m，深度為1m，盛滿液體后以0。01m3解析：設液體放出ts后的液面高度為hm，則由題意得：π·12·h=π·12·1—0。01t，化簡，得h=,∴液面高度的變化率為:h′=(）′=3.下列結論不正確的是（)A。若y=3，則y′=0B。若y=則y′=C.若y=，則y′=D.若y=3x，則y′=3解析：∵y′=（)′=(）′=，∴選B。答案：B4.如圖，質點P在半徑為1m的圓上沿逆時針做勻角速運動,角速度1rad/s，設A為起始點，求時刻t時，點P在y軸上的射影點M的速度。解析:時刻t時,∵角速度1rad/s，∴∠POA=1·t=trad∴∠MPO=∠POA=trad∴OM=OP·sin∠MPO=1·sint∴點M的運動方程為y=sint∴v=y′=（sint)′=cost即時刻t時，點P在y軸上的射影點M的速度為costm/s。5.假設某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為5%，物價p（單位：元)與時間t(單位:年）有如下函數關系：p（t)=p0（1+％）t，其中p0為t=0時的物價，假定某種商品的p0=1,那么在第10個年頭,這種商品的價格上漲的速度大約是多少？（精確到0。01）解析：∵p0=1,∴p(t)=（1+％）t=1。05t.根據基本初等函數導數公式表,有p′（t)=(1。05t)′=1。05t·ln1.05。∴p′（10)=1。0510·ln1。05≈0。08（元/年）.因此,在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲.6.(2004全國高考，文19）已知直線l1為曲線y=x2+x—2在（1，0）處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.（1）求直線l2的方程；(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積.解析：(1）y′=2x+1.直線l1的方程為y=3x-3。設直線l2過曲線y=x2+x-2上的點B(b，b2+b—2)，則l2的方程為y=（2b+1）x—b2—2.因為l