2025屆安徽六安市第一中學高一數學第一學期期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義在上的奇函數以5為周期，若，則在內，的解的最少個數是A.3 B.4C.5 D.72．將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左視圖為（）A. B.C. D.3．設，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．在如圖所示中，二次函數與指數函數的圖象只可為A. B.C. D.5．設，則（）A.3 B.2C.1 D.-16．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知扇形周長為40，當扇形的面積最大時，扇形的圓心角為（）A. B.C.3 D.28．在同一直角坐標系中，函數和（且）的圖像可能是（）A. B.C. D.9．高斯是德國著名的數學家,近代數學奠基者之一,享有“數學王子”的稱號,用其名字命名的“高斯函數”為：設,用表示不超過x的最大整數,則稱為高斯函數例如：,,已知函數,則函數的值域為（）A. B.C.1, D.1,2,10．已知函數在上是增函數，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則________.12．把函數的圖像向右平移后，再把各點橫坐標伸長到原來的2倍，所得函數解析式是______13．計算：__________，__________14．的值為_______15．函數的定義域是______16．已知函數=，若對任意的都有成立，則實數的取值范圍是______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，函數.（1）當時，證明是奇函數；（2）當時，求函數的單調區間；（3）當時，求函數在上的最小值.18．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分別是A1B，B1C1的中點．(1)求證：MN⊥平面A1BC；(2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大小．19．已知函數在一個周期內的圖像經過點和點，且的圖像有一條對稱軸為.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的單調遞增區間.20．已知函數.（1）當時，求函數的值域；（2）若函數的值域為R，求實數取值范圍.21．2015年10月，實施了30多年的獨生子女政策正式宣告終結，黨的十八屆五中全會公報宣布在我國全面放開二胎政策.2021年5月31日，中共中央政治局召開會議，會議指出進一步優化生育政策，實施一對夫妻可以生育三個子女政策及配套支持措施，有利于改善我國人口結構，落實積極應對人口老齡化國家戰略，保持我國人力資源稟賦優勢.某鎮2021年1月，2月，3月新生兒的人數分別為52，61，68，當年4月初我們選擇新生兒人數和月份之間的下列兩個函數關系式①；②（，，，，都是常數），對2021年新生兒人數進行了預測.（1）請你利用所給的1月，2月，3月份數據，求出這兩個函數表達式；（2）結果該地在4月，5月，6月份的新生兒人數是74，78，83，你認為哪個函數模型更符合實際？并說明理由.（參考數據：，，，，）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】由函數的周期為5，可得f（x+5）=f（x），由于f（x）為奇函數，f（3）=0，若x∈（0，10），則可得出f（3）=f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，∴f（8）=f（3）=0，∴f（7）=f（2）=0．在f（x+5）=f（x）中，令x=-2.5，可得f（2.5）=f（-2.5）=-f（2.5），∴f（2.5）=f（7.5）=0．再根據f（5）=f（0）=0，故在（0，10）上，y=f（x）的零點的個數是2，2.5，3，5，7，7.5，8，共計7個.故選D點睛：本題是函數性質的綜合應用，奇偶性周期性的結合，先從周期性入手，利用題目條件中的特殊點得出其它的零點，再結合奇偶性即可得出其它的零點.2、D【解析】答案：D左視圖即是從正左方看，找特殊位置的可視點，連起來就可以得到答案3、A【解析】解不等式，再判斷不等式解集的包含關系即可.【詳解】由得，由得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4、C【解析】指數函數可知，同號且不相等，再根據二次函數常數項為零經過原點即可得出結論【詳解】根據指數函數可知，同號且不相等，則二次函數的對稱軸在軸左側，又過坐標原點，故選：C【點睛】本題主要考查二次函數與指數函數的圖象與性質，屬于基礎題5、B【解析】直接利用誘導公式化簡，再根據同角三角函數的基本關系代入計算可得；【詳解】解：因為，所以；故選：B6、A【解析】根據充分、必要條件間的推出關系，判斷“x>1”與“x>0”的關系.【詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.7、D【解析】設出扇形半徑并表示出弧長后，由扇形面積公式求出取到面積最大時半徑的長度，代入圓心角弧度公式即可得解.【詳解】設扇形半徑,易得,則由已知該扇形弧長為.記扇形面積為,則,當且僅當，即時取到最大值，此時記扇形圓心角為，則故選：D8、B【解析】利用函數的奇偶性及對數函數的圖象的性質可得.【詳解】由函數，可知函數為偶函數，函數圖象關于軸對稱，可排除選項AC，又的圖象過點，可排除選項D.故選：B.9、C【解析】由分式函數值域的求法得：,又,所以,由高斯函數定義的理解得：函數的值域為,得解【詳解】解：因為,所以,又,所以,由高斯函數的定義可得：函數的值域為,故選C【點睛】本題考查了分式函數值域的求法及對新定義的理解,屬中檔題10、C【解析】若函數f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數，則x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根據二次函數的單調性，我們可得到關于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范圍【詳解】若函數f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數，則當x∈[2，+∞）時，x2﹣ax+3a＞0且函數f（x）=x2﹣ax+3a為增函數即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故選C【點睛】本題考查的知識點是復合函數的單調性，二次函數的性質，對數函數的單調區間，其中根據復合函數的單調性，構造關于a的不等式，是解答本題的關鍵二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據已知條件求得的值，由此求得的值.【詳解】依題意，兩邊平方得，而，所以，所以.由解得，所以.故答案為：【點睛】知道其中一個，可通過同角三角函數的基本關系式求得另外兩個，在求解過程中要注意角的范圍.12、【解析】利用三角函數圖像變換規律直接求解【詳解】解：把函數的圖像向右平移后，得到，再把各點橫坐標伸長到原來的2倍，得到，故答案為：13、①.0②.-2【解析】答案：0，14、【解析】直接按照誘導公式轉化計算即可【詳解】tan300°=tan（300°﹣360°）=tan（﹣60°）=﹣tan60°=故答案為：【點睛】本題考查誘導公式的應用：求值．一般采用“大角化小角，負角化正角”的思路進行轉化15、【解析】，即定義域為點睛：常見基本初等函數定義域的基本要求(1)分式函數中分母不等于零(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.(3)一次函數、二次函數的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域為(0，＋∞)16、【解析】轉化為對任意的都有，再分類討論求出最值，代入解不等式即可得解.【詳解】因為=，所以等價于，等價于，所以對任意的都有成立，等價于，（1）當，即時，在上為減函數，，在上為減函數，，所以，解得，結合可得.（2）當，即時，在上為減函數，，在上為減函數，在上為增函數，或，所以且，解得.（3）當，即時，，在上為減函數，，在上為增函數，，所以，解得，結合可知，不合題意.（4）當，即時，在上為減函數，在上為增函數，，在上為增函數，，此時不成立.（5）當時，在上為增函數，，在上為增函數，，所以，解得，結合可知，不合題意.綜上所述：.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）增區間為，，減區間為（3）當時，；當時，【解析】（1）時，，定義域為，關于原點對稱，而，故是奇函數.（2）時，，不同范圍上的函數解析式都是二次形式且有相同的對稱軸，因，故函數的增區間為，，減區間為.（3）根據（2）的單調性可知，比較的大小即可得到.解析：（1）若，則，其定義域是一切實數.且有，所以是奇函數.（2）函數，因為，則函數在區間遞減，在區間遞增，函數在區間遞增.∴綜上可知，函數的增區間為，，減區間為.（3）由得.又函數在遞增，在遞減，且，.若，即時，；若，即時，.∴綜上，當時，；當時，.點睛：帶有絕對值符號的函數，往往可以通過討論代數式的正負去掉絕對值符號，從而把原函數轉化為分段函數，每一段上的函數都是熟悉的函數，討論它們的單調性就可以得到原函數的單調性.18、（1）見解析；（2）【解析】（1）易得BC⊥平面ACC1A1，連接AC1，則BC⊥AC1．側面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根據線面垂直判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因為側面ABB1A1是正方形，MN是△AB1C1的中位線，所以MN∥AC1，從而MN⊥平面A1BC；（2）根據AC1⊥平面A1BC，設AC1與A1C相交于點D，連接BD，根據線面所成角的定義可知∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成角，設AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．試題解析：(1)證明如圖，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．連接AC1，則BC⊥AC1．又側面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因為側面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點，連接AB1，則點M是AB1的中點．又點N是B1C1的中點，則MN是△AB1C1的中位線，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC.(2)如圖所示，因為AC1⊥平面A1BC，設AC1與A1C相交于點D，連接BD，則∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成的角．設AC＝BC＝CC1＝a，則C1D＝a，BC1＝a在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直線BC1和平面A1BC所成的角為30°19、（1），；（2）.【解析】（1）由函數圖象經過點且f（x）的圖象有一條對稱軸為直線，可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五點法作圖求出的值，可得函數的解析式（2）利用正弦函數的單調性求得f（x）的單調遞增區間【詳解】（1）函數f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一個周期內的圖象經過點，，且f（x）的圖象有一條對稱軸為直線，故最大值A＝4，且,∴，∴ω＝3所以.因為的圖象經過點，所以，所以，.因為，所以，所以.（2）因為，所以，，所以，，即的單調遞增區間為.【點睛】本題主要考查由函數y＝Asin（ωx+）的性質求解析式，通常由函數的最大值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出的值，考查了正弦型函數的單調性問題，屬于基礎題20、（1）；（2）.【解析】（1）當時，，利用二次函數的性質求出真數部分的范圍，根據對數函數的單調性可求出