2025屆云南省玉溪市通海縣第二中學高二數學第一學期期末調研試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線經過，,兩點，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.2．若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.3．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線相交于，兩點，滿足，記線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.4．我國古代數學論著中有如下敘述：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數是上一層所掛燈數的2倍．下列結論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數比最上面3層塔所掛燈的總盞數多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數是最上面3層塔所掛燈的總盞數的16倍5．數列1，6，15，28，45，...中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們為六邊形數，那么第10個六邊形數為（）A.153 B.190C.231 D.2766．函數的大致圖象為A. B.C. D.7．向量，向量，若，則實數（）A. B.1C. D.8．一部影片在4個單位輪流放映，每個單位放映一場，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種9．已知點是橢圓方程上的動點，、是直線上的兩個動點，且滿足，則（）A.存在實數使為等腰直角三角形的點僅有一個B.存在實數使為等腰直角三角形的點僅有兩個C.存在實數使為等腰直角三角形的點僅有三個D.存在實數使為等腰直角三角形的點有無數個10．甲、乙同時參加某次數學檢測，成績為優秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優秀的概率為（）A. B.C. D.11．曲線在處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.12．已知x是上的一個隨機的實數，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓上一點，滿足(O為坐標原點)．若，則橢圓的離心率為______14．已知球的表面積是，則該球的體積為________.15．已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為________16．已知數列，點在函數的圖象上，則數列的前10項和是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列是公差不為0的等差數列，數列是公比為2的等比數列，是，的等比中項，，.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和.18．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統計局調查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數的為第一檔，高于平均數的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應該按那一檔電價收費，說明理由.19．（12分）已知雙曲線（1）若，求雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）若雙曲線的離心率為，求實數的取值范圍20．（12分）甲、乙兩人獨立地對某一目標射擊，已知甲、乙能擊中的概率分別為，求：（1）甲、乙恰好有一人擊中的概率；（2）目標被擊中的概率21．（12分）已知（1）若函數在上有極值，求實數a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數的底數）22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，（1）證明：；（2）當PB的長為何值時，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】應用兩點式求直線斜率得，結合及，即可求的范圍.【詳解】根據題意，直線經過，,，∴直線的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D2、A【解析】由和的分母異號可得【詳解】由題意，解得或故選：A3、C【解析】設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，進而得，再結合余弦定理得，進而根據基本不等式求解得.【詳解】解：設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，則，因為點為線段中點，所以根據梯形中位線定理得點到拋物線的準線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據題意，設，進而結合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.4、C【解析】由題設易知是公比為2的等比數列，應用等比數列前n項和公式求，結合各選項的描述及等比數列通項公式、前n項和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數為，則數列是公比為2的等比數列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數為224，C不正確，D正確故選：C.5、B【解析】細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時聯系相關知識,如等差數列、等比數列等，結合圖形可知，，，，，，，據此即可求解.【詳解】由題意知，數列的各項為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：B【點睛】本題考查合情推理中的歸納推理；考查邏輯推理能力；觀察分析、尋求規律是求解本題的關鍵；屬于中檔題、探索型試題.6、D【解析】根據函數奇偶性排除A、C.當時排除B【詳解】解：由可得所以函數為偶函數，排除A、C.因為時，，排除B.故選：D.7、C【解析】由空間向量垂直的坐標表示列方程即可求解.【詳解】因為向量，向量，若，則，解得：，故選：C.8、C【解析】根據題意得到一部影片在4個單位輪流放映，相當于四個單位進行全排列，即可得到答案.【詳解】一部影片在4個單位輪流放映，相當于四個單位進行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C9、B【解析】求出點到直線的距離的取值范圍，對點是否為直角頂點進行分類討論，確定、的等量關系，綜合可得出結論.【詳解】設點，則點到直線的距離為.因為橢圓與直線均關于原點對稱，①若為直角頂點，則.當時，此時，不可能是等腰直角三角形；當時，此時，滿足是等腰直角三角形的直角頂點有兩個；當時，此時，滿足是等腰直角三角形的直角頂點有四個；②若不是直角頂點，則.當時，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點不存在；當時，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點有兩個；當時，滿足是等腰直角三角形非直角頂點有四個.綜上所述，當時，滿足是等腰直角三角形的點有八個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有六個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有四個；當時，滿足是等腰直角三角形的點有兩個；當時，滿足是等腰直角三角形的點不存在.故選：B.10、D【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式直接求解.【詳解】甲、乙同時參加某次數學檢測，成績為優秀的概率分別為、，兩人的檢測成績互不影響，則兩人的檢測成績都為優秀的概率為.故選：D11、D【解析】求出函數的導數，再求出并借助導數的幾何意義求解作答.【詳解】由求導得：，則有，因此，曲線在處的切線的斜率為，所以曲線在處切線的傾斜角是.故選：D12、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】由可得，再結合橢圓的性質可得為直角三角形，由題意設，則，由勾股定理可得，再結合橢圓的定義可求出離心率【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，所以為直角三角形，即，所以設，則，所以，得，因為則，所以，所以，即離心率為，故答案為：14、【解析】設球的半徑為r，代入表面積公式，可解得，代入體積公式，即可得答案.【詳解】設球的半徑為r，則表面積，解得，所以體積，故答案為：【點睛】本題考查已知球的表面積求體積，關鍵是求出半徑，再進行求解，考查基礎知識掌握程度，屬基礎題.15、9【解析】根據橢圓的定義可得，結合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故答案為：9.16、【解析】將點代入可得，從而得，再由裂項相消法可求解.【詳解】由題意有，所以，所以數列的前10項和為：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據是，的等比中項，且，，由求解；（2）由（1）得到，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：因為是，的等比中項，且，，所以，解得，，所以；【小問2詳解】由（1）得，所以，則，兩式相減得，，，所以.18、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應該按第二檔電價收費，理由見解析【解析】（1）在區間對應的小矩形最高，由此能求出眾數；（2）利用各個區間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數的估計值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區間內的居民最多，可以將這個區間的中點175作為眾數的估計值，所以眾數的估計值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數的估計值為：，則月均用電量的平均數的估計值為，又∵∴該居民該戶居民應該按第二檔電價收費.19、（1）焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為；（2）.【解析】（1）根據雙曲線方程確定，即可按照概念對應寫出焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；（2）先求（用表示），再根據解不等式得結果.【詳解】（1）當時，雙曲線方程化為，所以，，，所以焦點坐標為，，頂點坐標為，，漸近線方程為.（2）因為，所以，解得，所以實數的取值范圍是【點睛】本題根據雙曲線方程求焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程，根據離心率求參數范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎題.20、（1）；（2）.【解析】（1）分為甲擊中且乙沒有擊中，和乙擊中且甲沒有擊中兩種情況，進而根據獨立事件概率公式求得答案；（2）先考慮甲乙都沒有擊中，進而根據對立事件概率公式和獨立事件概率公式求得答案.【小問1詳解】設甲、乙分別擊中目標為事件，，易知，相互獨立且，，甲、乙恰好有一人擊中的概率為.【小問2詳解】目標被擊中的概率為.21、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導數判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實數a的取值范圍；（2）記函數，把證明，轉化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域為，.令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數在上有極值，只需，解得：，即實數a的取值范圍為.【小問2詳解】記函數.則函數有兩個不等實根.因為，，兩式相減得，，兩式相加得，.因為，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系；(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數；(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題；(4)利用導數證明不等式22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判斷定理證明平面PAB，再由線面垂直的性質定理即可證明；（2）以A為原點，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，