九年級開學摸底練習

數學

一、選擇題（每小題3分；共30分）

1.若分式—有意義，貝口滿足的條件是（）

x—5

A.xwOB.x=5C.x#5D.x>5

2.宋朝?楊萬里有詩曰：“只道花無十日紅，此花無日不春風.一尖已剝胭脂筆，四破猶包

翡翠茸”.月季被譽為“花中皇后，，，月季也是南陽市的市花，具有非常高的觀賞價值.某品

種的月季花粉直徑約為0.0000352米，則數據0.0000352用科學記數法表示為（）

A.3.52x10-5B.0.352x10-5

C.3.52x10-6D.35.2x10-6

3.如圖，楓葉遮蓋了一點尸，則點尸的坐標可能是（）

斗

~O.*

A.（3,2）B.（-3,2）C.（3,-2）D.（-3,-2）

4.某中學規定：學生的學期體育綜合成績滿分為100分，其中，期中考試成績占40%,期

末考試成績占60%,小海同學這個學期的期中、期末成績（百分制）分別是80分、90分,

則小海這個學期的體育綜合成績是（）

A.88.5分B.86分C.87分D.87.5分

5.小明是這樣畫平行四邊形的：如圖，將三角尺/8C的一邊NC貼著直尺推移到44G的

位置，這時四邊形就是平行四邊形.小明這樣做的依據是（）

試卷第1頁，共6頁

A.有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B.有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

C.有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

6.已知點（石，-2）,（%1）,（與4）都在反比例函數了=於的圖象上,則占,無2，W的大小

X

關系是（）

A.x2<x3<B.x3<x2<C.x3<xx<x2D.x2<xx<x3

7.如圖，菱形4BC。的對角線4C,BD交于點、O,AC=12,BD=6,將繞點。順

時針方向旋轉得到MOE,連接CF.若點。的對應點￡恰好落在線段上，則ABC廠的

m6

8.已知關于x的分式方程/一+4=1的解是非負數，則加的取值范圍是（）

X—11—X

A.m>5B.m>5C.加25或加。6D.加>5或加。6

9.如圖，射線。4、08分別表示買牛肉和買豬肉所需費用》（單位：元）與購買數量x（單

位：千克）的關系，已知買牛肉每千克所需的費用比買豬肉每千克所需的費用的3倍少20

元，設買豬肉每千克所需的費用為〃元，則可列方程為（

300120300120

A.-----=----------B.-----

a3a-20a3a+20

300_120300_120

D.

3(2+20a3Q-20a

試卷第2頁，共6頁

10.如圖，尸是正方形/BCD對角線BD上一點，PELDC,PF1BC,E、尸分別為垂足,

若CF=3,CE=4,則4P的長是（）

A.3B.4C.4.8D.5

二、填空題（每小題3分；共15分）

11.寫出一個分式，并保證無論字母取何值分式均有意義.

12.9名學生的鞋號由小到大是：20,21,21,22,22,22,22,23,23,這組數據的平均數、中位數

和眾數中，指標是鞋廠最感興趣的（填“平均數”或“中位數”或“眾數”）.

13.直線y=2x+l向下平移3個單位所得到的直線不經過的象限是.

14.如圖，在平行四邊形N8CD中，NA4D的平分線交8c于點￡,乙48c的平分線交

于點尸，若2尸=12,48=10,則/￡的長為.

15.如圖，反比例函數＞="的圖象經過口/BCD對角線的交點P,已知點4C、。在坐標

x

軸上，BD1DC,口/BCD的面積為10,則左=.

三、解答題（10+9+9+9+9+9+10+10=75分）

16.（1）計算：（一2廠-g）+（萬-2024）°；

（2）化簡：+1]+字

\a-2J6Z-4

17.快遞業為商品走進千家萬戶提供了極大便利，不同的快遞公司在配送速度、服務、收費

試卷第3頁，共6頁

和投遞范圍等方面各具優勢.網店店主小劉打算從甲、乙兩家快遞公司中選擇一家合作，為

此，小劉收集了10家網店店主對兩家快遞公司的相關評價，并整理、描述、分析如下：

①配送速度得分（滿分10分）：

甲：7,6,9,6,7,10,8,8,9,9；

乙：8,8,6,7,9,7,9,8,8,9.

②服務質量得分統計圖（滿分10分）：

o12345678910店上搐門

③配送速度和服務質量得分統計表：

配送速度得分服務質量得分

統計量快遞公司

平均數中位數眾數平均數方差

甲7.9mn75甲

乙7.98874

根據以上信息；回答下列問題:

⑴填空：加=,比較大小：s看4

（2）綜合上表中的統計量，你認為小劉應選擇哪家公司？請說明理由.

18.已知等腰三角形周長為20.

（1）寫出底邊長》關于腰長x的函數解析式（x為自變量）；

⑵寫出自變量的取值范圍；

（3）在直角坐標系中，畫出函數圖象.

19.如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,過點C的直線〃23,。為邊上一點，過

點。作交直線于E,垂足為尸，連接CD、BE.

試卷第4頁，共6頁

\f

⑴求證：CE=AD；

(2)當。在中點時，四邊形8ECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

(3)若。為中點，則當NN的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？說明你的理

由.

20.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=^x+〃與反比例函數＞=勺的圖象在第一象

限內交于“(。,4)和3(4,2)兩點，直線4B與x軸相交于點C,連接

(1)求一次函數與反比例函數的表達式；

k

(2)當久＞0時，請結合函數圖象，直接寫出關于x的不等式+的解集；

X

(3)尺圓作圖：過點B作助〃龍軸，交04于點。(保留作圖痕跡，不寫作法)，并直接寫出

梯形。C8。的面積.

21.某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本.已知甲種類型的電腦的單價比乙種類型的

要便宜10元，且用110元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類型的數量一樣.

(1)求甲乙兩種類型筆記本的單價.

(2)該學校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數量不超過甲的3倍，則

購買的最低費用是多少.

22.【教材呈現】

下圖是華師版八年級下冊數學教材第75頁練習的部分內容：

如圖，如果直線那么△/臺。的面積和△O2C的面積是相等的.請你證明這個結論.

試卷第5頁，共6頁

A

【方法探究】

如圖，在口NBCD中，點E在邊8c上，若8E=2EC,則邑碑與心3之間的關系為

【方法應用】

4

如圖，已知四邊形。4BC是菱形，CDLx軸，垂足為。，函數y=—的圖象經過點C,且與

x

AB交于點E.若。〃=2,求4。廢的面積.

23.［特例感知］如圖I,在正方形N8CZ)中,點瓦廠分別為的中點，DE、CF交于

點G.

圖1

(1)證明：DELCF.

(2)［初步探究］如圖2,在正方形/8C。中，點￡為邊上一點，FGLDE分別交BC

于尸、G,垂足為0.求證：FG=DE.

(3)［基本應用］如圖3,將邊長為8的正方形/BCD折疊，使得點A落在邊CD的中點M處,

折痕為尸0,點尸、。分別在邊/。、8c邊上，求出折痕尸。的長.

試卷第6頁，共6頁

1.c

【分析】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無

意義今分母為零；（2）分式有意義=分母不為零；（3）分式值為零O分子為零且分母不為

零.

根據分母不為零，分式有意義進行選擇即可.

3

【詳解】解：當分母x-5w0,即x/5時，分式一「有意義,

故選：C.

2.A

【分析】本題考查了科學記數法，根據科學記數法：axlO"（1<|^<10,〃為正整數）,

先確定”的值，再根據小數點移動的數位確定〃的值即可解答，根據科學記數法確定。和”

的值是解題的關鍵.

【詳解】解：0.0000352=3.52x10^,

故選：A.

3.C

【分析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的

關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限

第四象限（+,-）.

根據圖形可得點尸在第四象限，再根據第四象限內的點的坐標符號為（+,一）進而得出

答案.

【詳解】解：由圖形可得：點P的坐標可能是（3,-2）.

故選：C.

4.B

【分析】本題考查了加權平均數，利用加權平均數計算公式計算即可求解，掌握加權平均數

計算公式是解題的關鍵.

【詳解】解：小海這個學期的體育綜合成績為80x40%+90x60%=32+54=86分，

故選：B.

5.C

【分析】本題考查了平移，平行四邊形的判定，熟練掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平

行四邊形是解題的關鍵.

答案第1頁，共16頁

【詳解】根據平移的性質，得到/切|44,4臺=44，

故選：c.

6.A

【分析】本題考查了反比例函數的性質：比較反比例函數值或自變量的大小，先把

（孫-2）,（x2,l）,（孫4）都代入昨W，算出X1,X”退的值，再作比較，即可作答.

【詳解】解：???（孫-2）,的1）,伍,4）都在反比例函數昨心的圖象上，

X

.?.把（沖-2）,（x2,l）,（玉，4）都代入了=’，

X

再=—44-（—2）=2,x?=—4+1=—4,9=—4+4=—1,

???x2<x3<x1

故選：A

7.B

【分析】本題主要考查了菱形的性質，旋轉的性質，先由菱形對角線互相垂直平分得到

OA=OC=—AC=6>OB=0D=—BD=3,ACJ.BD,再由旋轉的性質可得

22

OF=OA=6,ZEOF=ZAOD=90°,則尸、B、。三點共線，據此根據三角形面積計算公式

求解即可.

【詳解】解：,??菱形A8CD的對角線/C,BD交于點O,AC=U,BD=6,

..Q=0C=1/C=6,0B=0D=LBD=3,AC1BD,

22

?.?將繞點。順時針方向旋轉得到XFOE，點D的對應點E恰好落在線段0A上，

OF=OA=6,ZEOF=ZAOD=90°,

:.F、B、O三點共線，

：.BF=OF—OB=3,

.t.S^BCF=gBF-OC=—x3x6=9,

故選：B.

8.C

【分析】本題考查了解分式方程，分式方程的解，解分式方程可得》=加-5,即得

m-5>0,得到加25,又由x-lwO得至1］小力6,據此即可求解，正確求出分式方程的解是

解題的關鍵.

答案第2頁，共16頁

【詳解】解：分式方程去分母得，m-6=x-l,

解得工=加-5,

m6

???分式方程的解是非負數，

x-11-x

m-5>0,

m>5,

又???x-lwO,即加一6。0,

???加w6,

???加25且加w6,

故選：C.

9.D

【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，正確找出等量關系是解題的關鍵.設買豬

肉每千克所需的費用為。元，則每千克牛肉需要(3。-20)元，再結合圖像列出方程即可.

【詳解】解：設買豬肉每千克所需的費用為。元，則每千克牛肉需要(3。-20)元,

300120

根據題意可得:

3”20a

故選：D.

10.D

【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，矩形的判定和性

質，連接CP,可得尸之ACOP(SAS),得到“P=C尸，由勾股定理得

EF7CE°+CF2=5,再證明四邊形尸ECE為矩形，得到仃=￡尸=5,據此即可求解，正

確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：連接“，

?.?四邊形/2CD是正方形，

；./ADP=/CDP=45°,AD=CD,ZC=90°,

■.DP=DP,

...“0尸2ACDP(SAS),

AP=CP,

CF=3,CE=4,

答案第3頁，共16頁

???EF=yJCE2+CF2=A/42+32=5，

vPEI.DC,PFLBC,

APEC=ZPFC=ZC=90°,

.?.四邊形尸ECF為矩形，

CP=EF=5,

：.4P=CP=5,

故選：D.

【分析】根據分式的分母不等于零，結合分式的概念解答即可.

【詳解】???無論字母x取何值，x2+l>0,

???三二是一個分式，并無論字母X取何值分式均有意義，

X+1

故答案為：F二（答案不唯一）.

X+1

【點睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的概念，解題的關鍵利用偶次方的非負性列一

個代數式使分母不等于零.

12.眾數

【分析】本題考查了眾數，眾數是數據中出現最多的數，即代表銷售量最多的鞋號，據此即

可求解，掌握眾數的意義是解題的關鍵.

【詳解】解：這組數據的平均數、中位數和眾數中，鞋廠最感興趣的是眾數，

故答案為：眾數.

13.二

【分析】本題考查了一次函數圖象的平移，一次函數的圖象，根據一次函數圖象的平移規律

求出平移后直線的解析式，再根據解析式即可求解，掌握一次函數圖象平移規律和性質是解

題的關鍵.

答案第4頁，共16頁

【詳解】解：把直線>=2x+l向下平移3個單位得到的函數解析式為y=2x+l-3=2x-2,

??,左=2>0,/)=-2<0,

直線y=2x-2經過第一、三、四象限，不經過第二象限，

故答案為：二.

14.16

【分析】首先利用平行四邊形的性質和角平分線的定義得出四邊形即是菱形，然后利用

菱形的性質求解即可.

???四邊形ABCD是平行四邊形,

ADHBC,

NAFB=ZEBF.

?；BF平分NABC,

NABF=NEBF,

ZAFB=ZABF,

AF=AB,

同理可得48=BE,

AF=BE,

???四邊形ABEF是平行四邊形.

四邊形4BEF是菱形,

AE1BF,AG=GE=-AE,BG=GF=-BF=6,

22

A8=10,

AG=^AB--BG-=8，

:.AE=16,

故答案為：16.

【點睛】本題主要考查平行四邊形和菱形的性質，掌握平行四邊形和菱形的性質及勾股定理

是關鍵.

答案第5頁，共16頁

15.-5

【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質，矩形的判定和性

質，由平行四邊形的性質可得S.ca=；S/BCD=g，AB=CD,N8〃x軸，進而可得

NBAO=90°,又由BOLDC,可得CDPD=5,ZBDO=90°,設點尸的坐標為(龍/),則

OD=-x,PD=y,由四邊形48。。是矩形得即得到CO=0O=-x,得到

xy=-5,據此即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵.

【詳解】解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

?'?SACDP=^邑8<?=*xl0=］，4B=CD,軸，

.-.ZBAO=lS00-90°=90°,

???BD1DC,

S.CDP=-CDPD=-,ABDO=90°,

KDP22

CDPD=5,

設點P的坐標為(xj),則OZ)=-x,PD=y,

???ZBAO=ZBDO=ZAOD=90°,

.??四邊形/BD。是矩形，

AB=OD,

CD=OD=—x,

.??-xy=5,

即a二—5,

???點p在反比例函數y=-的圖象上，

X

,-.k=xy=-5,

故答案為：-5.

3

16.(1)—；(2)。+2

4

【分析】本題主要考查了分式的混合計算，零指數累，負整數指數塞：

(1)先計算零指數鼎，負整數指數募，再計算加減法即可；

(2)先把小括號內的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡，最后代值計算即可.

【詳解】解：(1)原式=12+1

4

答案第6頁，共16頁

_3

="4；

3+Q—26z+1

(2)原式-a-2，(a+2)("2)

_Q+1(Q+2)(Q-2)

a—2Q+1

=a+2.

17.(1)8,<

(2)小劉應選擇甲公司，理由見解析

【分析】(1)根據中位數和方差的概念即可解答；

(2)綜合分析表中的統計量，即可解答；

本題主要考查了中位數、眾數和方差的概念，理解并掌握它們的概念和意義并能結合題干分

析問題是解題的關鍵.

【詳解】⑴解:將甲數據從小到大排列為:6,6,7,7,8,8,9,9,9,10,

從中可以看出一共10個數據，第5個和第6個數據均為8,

所以這組數據的中位數為(8+8)+2=8,即加=8,

從折線統計圖中可以看出，甲的服務質量得分分布于5-8,乙的服務質量得分分布于4-10,

從中可以看出甲的數據波動更小，數據更穩定，

即總〈s；；

故答案為：8,<.

(2)解：小劉應選擇甲公司，理由如下：

配送速度方面，甲乙兩公司的平均分相同，中位數相同，但甲的眾數高于乙公司，這說明甲

在配送速度方面可能比乙公司表現的更好，

服務質量方面，二者的平均相同，但甲的方差明顯小于乙，說甲的服務質量更穩定，因此應

該選擇甲公司.

18.(l)y=-2x+20

(2)5<x<10

⑶見解析

【分析】(1)根據等腰三角形的周長=兩腰之和+底邊的長，建立等式就可以求出函數解析

答案第7頁，共16頁

式.

(2)根據三角形的三邊關系建立不等式，就可以求出自變量的取值范圍.

(3)運用描點法，通過列表、描點、連線的步驟，就可以畫出函數的圖象.

【詳解】(1)解：???等腰三角形周長為20,底邊長為腰長為工,

y+2x=20,

移項，得：y=-2x+20,

底邊長V關于腰長》的函數解析式是：>=-2x+20；

f2x<20

(2)由題意得：，

\2x>—lx+20

解得：5cx<10,

，自變量的取值范圍是5<x<10；

(3)V(1)(2)中已求出函數解析式為y=-2x+20(5<x<10),

，取值時，x要在5~10之間，若x=5,貝U〉=10；若x=10,則y=。,

?.?(5,10),(10,0)這兩點是取不到的，

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質以及三角形三邊關系的運用.對于實際問題中的函數

關系式，自變量的取值除必須使表達式有意義外，還要保證實際問題有意義，此時的函數圖

象可能是線段或射線等.

19.(1)見解析

(2)菱形，見解析

(3)當4=45。時，四邊形8EC。是正方形，理由見解析

答案第8頁，共16頁

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、正方形的判定、等腰三

角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

(1)由題意得出結合血W〃/8證明四邊形/DEC是平行四邊形即可得出結論；

(2)先證明四邊形3ECD是平行四邊形，結合。EL3c即可得出四邊形3ECA是菱形；

(3)當44=45。時，求出乙43c=45。，結合菱形的性質求出/CDS=90。，即可得解.

【詳解】(1)證明：?.?44c8=90。，DE1BC,

NACB=ZDFB=90°,

.-.AC//DE,

■■■MN//AB,

.?.四邊形ADEC是平行四邊形，

CE=AD■,

(2)解:四邊形BECD是菱形，理由如下：

?.?四邊形ADEC是平行四邊形，

CE=AD,

-ZACB=90°f。在中點，

???BD=AD,

??.BE=CE,

???CE〃BD,

???四邊形BECD是平行四邊形，

-DE1BC,

.??四邊形3ECO是菱形；

(3)解:當乙4=45。時，四邊形3EC。是正方形，理由如下：

???//=45°,NACB=90°,

ZABC=45°,

?.?四邊形BECO是菱形，

CD=BD,

:"DBC=ZDCB=45。，

ZCDB=180°-ZDBC-NDCB=90°,

???四邊形BECD是正方形.

答案第9頁，共16頁

o

20.(1)一次函數的表達式為＞=-尤+6,反比例函數的表達式為＞=—；

x

(2)2＜x＜4；

(3)作圖見解析，梯形0C2D的面積為9.

【分析】(1)把3(4,2)代入丁=￡可求出反比例函數的表達式，進而求出點A坐標，再利用

待定系數法可求出一次函數解析式；

(2)根據函數圖象解答即可求解；

(3)作乙=即可得到直線BD,再求出點C、。坐標即可求出梯形0C8。的面積;

本題考查了待定系數法求函數解析式，一次函數與反比例函數的交點問題，一次函數的幾何

應用，根據題意正確畫出圖形是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：把網4,2)代入＞=人得，2=4，

x4

???左二8,

Q

???反比例函數的表達式為y=2,

X

QQ

把刈。,4)代入y=。得，4=工

xa

??a—2,

???4(2,4),

把4(2,4)、8(4,2)代入丫=/％+外得,

[4=2m+n

\2=Am+n'

[m=-1

解得女，

，一次函數的表達式為^=-x+6；

k

(2)解：由函數圖象可得，當2Vx?4時，加x+〃三一，

x

???關于X的不等式加X+〃一上之。的解集為24X44；

x

(3)解：如圖所示，直線即為所求；

答案第10頁，共16頁

設直線04的解析式為＞=Px,把4(2,4)代入得，4=2夕，

???直線的解析式為歹=2x,

???5Z)〃x軸,

二點B、D的縱坐標相同，

???點。的縱坐標為2,

把＞=2代入y=2%得，2=2x,

?,?%=1,

.?.助=4-1=3,

把片0代入＞=r+6得，0=-x+6,

???x=6,

.-.C(6,0),

OC=6,

^WOCBD=-X(3+6)X2=9.

21.(1)甲類型的筆記本單價為110元，乙類型的筆記本單價為120元

⑵最低費用為11000元

【分析】本題主要考查了分式方程的應用，一次函數的應用，一元一次不等式的運用等知識,

根據題意，列出方程和函數解析式是解題的關鍵.

答案第11頁，共16頁

對于（1），設甲類型的筆記本單價為X元，則乙類型的筆記本單價為（X+10）元，根據用110

元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類型的數量一樣列方程，從而可解決問題;

對于（2）,設甲類型筆記本購買了。件，費用為卬元，則乙類型的筆記本購買了（100-。）件,

列出w關于。的函數解析式，由一次函數的性質可得答案.

【詳解】（1）解：設甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本單價為（x+10）元，

解得x=110,

經檢驗x=110是原方程的解，且符合題意，

，乙類型的筆記本單價為x+10=120（元），

答：甲類型的筆記本單價為110元，乙類型的筆記本單價為120元；

（2）設甲類型筆記本購買了。件，費用為w元，則乙類型的筆記本購買了件,

???購買的乙的數量不超過甲的3倍，

???lOO-o<3aM100-a>0,,

解得254。4100,

根據題意得卬=110。+120（100—。）=110。+12000—120。=一10。+12000,

v-10<0,

隨。的增大而減小，.??。=100時，W最小值為-1000+12000=11000（元）,

答：最低費用為11000元.

22.教材呈現：證明見解析；方法探究：S.ABE=2S.CDE；方法應用：2應.

【分析】教材呈現：如圖，過點A作/初,人于M，過點。作于H，則

AM//DH,可得四邊形是平行四邊形，得到=再根據三角形的面積公式

即可求證；

方法探究：過點A作NG,8c于G,過點。作DR，3c的延長線于點尸，

同理教材呈現可得AG=DF,再根據三角形的面積公式即可求解；

方法應用：連接/C,由教材呈現可得，S&ocE=SSOCA,由CD_Lx軸可得

S?c=g°DCZ?=g冏=2，/ODC=90。,得到CD=2,再根據勾股定理得

答案第12頁，共16頁

oc=\IOD2+CD2=2V2＞進而根據菱形的性質得。1=OC=2四,再根據三角形的面積公

式即可求解.

【詳解】教材呈現：如圖，過點A作于過點。作。〃_L/2于H,貝IJ

AM//DH,

?:lx//12,

四邊形AMHD是平行四邊形，

???AM=DH,

S△A,BRCC=2-BC-AM,5=-2BCDH,

即A/BC的面積和4DBC的面積相等;

BMCH4

方法探究：如圖，過點A作/GJ.8c于G,過點。作。尸，3C的延長線于點尸，

同理教材呈現可得4