PAGEPAGE1其次章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知橢圓=1(a>b>0)分別過點A(2,0)和B(0,-1),則該橢圓的焦距為()A. B.2C. D.2答案B解析由題意可得a=2,b=1,所以a2=4,b2=1,所以c=,所以2c=2.故選B.2.平面上有兩個定點A,B及動點P,命題甲:“|PA|-|PB|是定值”,命題乙:“點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線”,則甲是乙的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B解析當|PA|-|PB|=|AB|時,點P的軌跡是一條射線,故甲乙,而乙?甲,故選B.3.已知橢圓與雙曲線=1有共同的焦點,且離心率為,則橢圓的標準方程為()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案B解析雙曲線=1中,=3,=2,則c1=,故焦點坐標為(-,0),(,0),故所求橢圓=1(a>b>0)的c=,又橢圓的離心率e=,則a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故橢圓的標準方程為=1.4.已知雙曲線C:=1的焦距為10,點P(2,1)在雙曲線C的漸近線上,則雙曲線C的方程為()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案A解析依據雙曲線標準方程中系數之間的關系求解.∵=1的焦距為10,∴c=5=.①又雙曲線漸近線方程為y=±x,且P(2,1)在漸近線上,∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故選A.5.雙曲線C:x2-=1的一條漸近線與拋物線M:y2=4x的一個交點為P(異于坐標原點O),拋物線M的焦點為F,則△OFP的面積為()A. B. C. D.答案A解析雙曲線C:x2-=1的一條漸近線方程為y=x,與拋物線M:y2=4x的一個交點為P,將y=x代入拋物線方程,可得3x2=4x,解得x=0(舍)或x=,所以P,又拋物線y2=4x的焦點F(1,0),則△OFP的面積為S=×1×.故選A.6.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上,則雙曲線的方程為()A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案B解析拋物線y2=24x的準線方程為x=-6,故雙曲線中c=6.①由雙曲線=1的一條漸近線方程為y=x,知,②且c2=a2+b2.③由①②③解得a2=9,b2=27.故雙曲線的方程為=1,故選B.7.P是長軸在x軸上的橢圓=1上的點,F1,F2分別為橢圓的兩個焦點,橢圓的半焦距為c,則|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差肯定是()A.1 B.a2 C.b2 D.c2答案D解析由橢圓的幾何性質得|PF1|∈[a-c,a+c],|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,當且僅當|PF1|=|PF2|時取等號.|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,所以|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差為a2-b2=c2.8.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,過點P(1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點,交拋物線C的準線于點Q,若|QF|2=2|AF|·|BF|,則直線l斜率的肯定值為()A.2 B. C. D.答案C解析由題意得F(2,0),直線l的斜率存在且不為0,設l的方程為y=k(x-1),代入拋物線方程得k2x2-(2k2+8)x+k2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1,x1+x2=2+,由拋物線定義得|AF|·|BF|=(x1+2)·(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=9+,又因為Q(-2,-3k),所以|QF|2=42+(-3k)2=16+9k2,由|QF|2=2|AF||BF|,得16+9k2=29+,解得|k|=,此時Δ>0,符合題意,所以|k|=.故選C.9.設雙曲線=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個公共點,則雙曲線的離心率為()A. B.5 C. D.答案D解析雙曲線=1的一條漸近線方程為y=x,由方程組消去y,得x2-x+1=0有唯一解,所以Δ=-4=0,所以=2,所以e=,故選D.10.直線y=k(x-1)與橢圓C:=1交于不同的兩點M,N,橢圓=1的一個頂點為A(2,0),當△AMN的面積為時,則k的值為()A.± B.± C.±1 D.±答案C解析直線y=k(x-1)與橢圓C聯立消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,∴|MN|=.∵A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d=,∴△AMN的面積S=|MN|d=.∵△AMN的面積為,∴,∴k=±1,故選C.11.如圖,南北方向的馬路L,A地在馬路正東2km處,B地在A北偏東60°方向2km處,河流沿岸曲線PQ上隨意一點到馬路L和到A地距離相等.現要在曲線PQ上某處建一座碼頭,向A,B兩地運貨物,經測算,從M到A,B修建馬路的費用都為a萬元/km,那么,修建這兩條馬路的總費用最低是()A.(2+)a萬元 B.(2+1)a萬元C.5a萬元 D.6a萬元答案C解析本題主要考查拋物線的實際應用.依題意知曲線PQ是以A為焦點、L為準線的拋物線,依據拋物線的定義知,欲求從M到A,B修建馬路的費用最低,只需求出B到直線L的距離即可.∵B地在A地北偏東60°方向2km處,∴B到點A的水平距離為3km,∴B到直線L的距離為3+2=5(km),那么,修建這兩條馬路的總費用最低為5a萬元,故選C.12.設A,B是橢圓C:=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿意∠AMB=120°,則m的取值范圍是()A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)答案A解析由題意,可知當點M為短軸的端點時,∠AMB最大.當0<m<3時,橢圓C的焦點在x軸上,要使橢圓C上存在點M滿意∠AMB=120°,則≥tan60°=,即,解得0<m≤1;當m>3時,橢圓C的焦點在y軸上,要使橢圓C上存在點M滿意∠AMB=120°,則≥tan60°=,即,解得m≥9,綜上m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞),故選A.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.若雙曲線x2-=1的離心率為,則實數m=.

答案2解析由題意知a=1,b=,m>0,c=,則離心率e=,解得m=2.14.設橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,線段F1F2被點分成3∶1的兩段,則此橢圓的離心率為.

答案解析由題意,得=3,即+c=3c-b,得b=c,因此e=.15.已知雙曲線E:=1(a>0,b>0)與拋物線C:y2=2px(p>0)有共同的一個焦點,過雙曲線E的左焦點且與拋物線C相切的直線恰與雙曲線E的一條漸近線平行,則E的離心率為.

答案解析因為拋物線與雙曲線共焦點,所以c=,p=2c,拋物線方程為y2=4cx,設雙曲線的左焦點為F1,F1(-c,0),過F1與一條漸近線y=x平行的直線方程為y=(x+c),由得by2-4acy+4bc2=0,所以Δ=16a2c2-16b2c2=0,所以a=b,從而c=a,離心率為e=.16.以下四個關于圓錐曲線的命題:①設A,B為兩個定點,k為非零常數,||-||=k,則動點P的軌跡為雙曲線;②過定圓C上肯定點A作圓的動弦AB,O為坐標原點,若),則動點P的軌跡為橢圓;③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;④雙曲線=1與橢圓+y2=1有相同的焦點.其中正確命題的序號是.

答案③④解析雙曲線的定義是:平面上與兩個定點A,B的距離的差的肯定值為常數2a,且0<2a<|AB|,那么點P的軌跡為雙曲線,故①錯;由)得點P為弦AB的中點,其軌跡為圓,故②錯;設2x2-5x+2=0的兩根為x1,x2,則由根與系數的關系,得x1+x2=,x1x2=1,由此可知兩根互為倒數,且均為正,故③正確;=1的焦點坐標為(±,0),+y2=1的焦點坐標為(±,0),故④正確.三、解答題(本大題共6小題,需寫出演算過程與文字說明,共70分)17.(本小題滿分10分)求與橢圓=1有共同焦點,且過點(0,2)的雙曲線方程,并且求出這條雙曲線的實軸長、焦距、離心率以及漸近線方程.解橢圓=1的焦點是(0,-5),(0,5),焦點在y軸上,于是設雙曲線方程是=1(a>0,b>0),又雙曲線過點(0,2),∴c=5,a=2,∴b2=c2-a2=25-4=21,∴雙曲線的標準方程是=1,實軸長為4,焦距為10,離心率e=,漸近線方程是y=±x.18.(本小題滿分12分)若已知橢圓=1與雙曲線x2-=1有相同的焦點,又橢圓與雙曲線交于點P,求橢圓及雙曲線的方程.解由橢圓與雙曲線有相同的焦點,得10-m=1+b,即m=9-b,①由點P在橢圓、雙曲線上,得y2=m,②y2=,③解由①②③組成的方程組得m=1,b=8,∴橢圓方程為+y2=1,雙曲線方程為x2-=1.19.(本小題滿分12分)設O為坐標原點,動點M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿意.(1)求點P的軌跡方程;(2)設點Q在直線x=-3上,且=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.(1)解設P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因為M(x0,y0)在C上,所以=1.因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)證明由題意知F(-1,0).設Q(-3,t),P(m,n),則=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又過點P存在唯始終線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.20.(本小題滿分12分)已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.(1)解設橢圓C的方程為=1(a>b>0).由題意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明設M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設知m≠±2,且n≠0.直線AM的斜率kAM=,故直線DE的斜率kDE=-.所以直線DE的方程為y=-(x-m),直線BN的方程為y=(x-2).聯立解得點E的縱坐標yE=-.由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-n.又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.21.(本小題滿分12分)已知橢圓C1:+y2=1,橢圓C2以C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率.(1)求橢圓C2的方程;(2)設O為坐標原點,點A,B分別在橢圓C1和C2上,=2,求直線AB的方程.解(1)由已知可設橢圓C2的方程為=1(a>2),其離心率為,故,解得a=4.故橢圓C2的方程為=1.(2)設A,B兩點的坐標分別為(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上,因此可設直線AB的方程為y=kx.將y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以.將y=kx代入=1中,得(4+k2)x2=16,所以.又由=2,得=4,即,解得k=±1.故直線AB的方程為y=x或y=-x.22.(本小題滿分12分)已知橢圓C:=1(a>b>0)的短軸長為2,離心率為,直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點,且線段AB的垂直平分線通過點.(1)求橢圓C的標準方程;(2)求△AOB(O為坐標原點)面積的最大值.解(1)由已知可得解得a2=2,b2=1,故橢圓C的標準方程為+y2=1.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立方程消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.當Δ=8(2k2-m2+1)>0,即2k2>m2