專題07乘法公式壓軸題五種模型全攻略【類型一展開式是完全平方式問題】例1．（2022·重慶九龍坡·八年級期末）已知關于x，y的多項式x2﹣2kxy+16y2是完全平方式，則k＝_____．【變式訓練1】（2022·河南駐馬店·七年級階段練習）已知x2﹣2ax+9是完全平方式，則a＝______．【變式訓練2】（2021·山東·肥城市邊院鎮過村初級中學期末）若4x2-（k-2）x+25是一個完全平方式，則k的值為______．【變式訓練3】（2021·陜西西安·八年級階段練習）若4x2+（k﹣1）x+9是一個完全平方式，則k＝_____．【變式訓練4】（2022·湖北十堰·八年級期末）若是完全平方式，則______．【類型二利用乘法公式化簡求值問題】例2.（2022·福建漳州·八年級期末）先化簡，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．【變式訓練1】（2021·山東青島·期末）先化簡，再求值：，其中，．【變式訓練2】（2021·山東棗莊·七年級階段練習）化簡和化簡求值(1)（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），(2)（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1），其中【變式訓練3】（2021·遼寧錦州·七年級期中）先化簡，再求值：，其中x＝－1，y＝1．【變式訓練4】（2022·海南海口·八年級期末）計算(1)；(2)；(3)先化簡，再求值：，其中，．【類型三利用完全平方配方求最值問題】例3．（2022·四川省榮縣中學校八年級階段練習）先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方公式及的值恒為非負數的特點在數學學習中有著廣泛的應用，求代數式x2+4x+5的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1．∵(x+2)2≥0，∴當x＝﹣2時，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1∴當(x+2)2＝0時，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據上述方法，解答下列各題：（1）當x＝時，代數式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；又如探求多項式的最大(小)值時，我們可以這樣處理：解：原式=，因為無論x取什么數，都有的值為非負數，所以的最小值為0，此時，進而的最小值是，所以當時，原多項式的最小值是?22．解決問題：請根據上面的解題思路，探求：（2）多項式的最小值是多少，并寫出對應的x的取值．（3）多項式的最大值是多少，并寫出對應的x的取值．【變式訓練1】（2022·云南曲靖·八年級期末）閱讀下列材料，并回答后面的問題：數學課上，李老師在求代數式的最小值時，利用公式，對式子作如下變形：解：∵∴∴當時，代數式的最小值是－7通過閱讀，求代數式的最小值．【變式訓練2】（2021·河北承德·八年級期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：在學了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因為，因為，所以的最小值是．問題：（1）小麗的求解過程正確嗎？（2）你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；（3）求的最大值．【變式訓練3】（2021·湖南·長沙市湘郡培粹實驗中學八年級階段練習）上數學課時，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學們運用所學知識解答：求代數式x2+4x+5的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據上述方法，解答下列各題（1）知識再現：當x＝時，代數式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知識運用：若y＝﹣x2+2x﹣3，當x＝時，y有最值（填“大”或“小”），這個值是；（3）知識拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．【變式訓練4】（2021·湖南永州·七年級期末）先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題．小明在學習完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2時，代數式（a±b）2的值具有非負性（即該式的值總是正數或者0）的特點，在數學學習中有著廣泛的應用，例如求多項式x2+6x﹣4的最小值時，我們可以這樣處理：解：x2+6x﹣1＝x2+6x+9﹣10＝（x2+6x+9）﹣10＝（x+3）2﹣10．因為無論x取什么數，都有（x+3）2的值為非負數，所以（x+3）2的最小值為0，當x＝﹣3時，（x+3）2﹣10的最小值是﹣10，所以當x＝﹣3時，原多項式的最小值是﹣10．解決問題：（1）請根據上面的解題思路探求：多項式x2﹣4x+7的最小值是多少，并寫出此時x的值；（2）請根據上面的解題思路探求：多項式﹣x2﹣2x+5的最大值是多少，并寫出此時x的值．【類型四平方差公式在幾何圖形中的應用】例4.（2022·廣東·深圳市龍崗區實驗學校七年級階段練習）從邊長為a的正方形剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗證的等式是________________（請選擇正確的一個）A.a2－2ab＋b2＝（a－b）2B.a2－b2＝（a＋b）（a－b）C.a2＋ab＝a（a＋b）D.a2－ab＝a（a－b）(2)若x2－9y2＝12，x＋3y＝4，求x－3y的值；(3)計算：（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）．【變式訓練1】（2022·廣西·上思縣教育科學研究所八年級期末）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．(1)設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請用含a、b的代數式表示：S1＝，S2＝（只需表示，不必化簡）；(2)以上結果可以驗證哪個乘法公式？請寫出這個乘法公式；(3)運用（2）中得到的公式，計算：20152﹣2016×2014．【變式訓練2】（2022·河南信陽·八年級期末）實踐與探索：如圖1，邊長為a的大正方形里有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）.(1)上述操作能驗證的等式是：___________（請選擇正確的一個）A． B． C．(2)請應用這個等式完成下列各題：①已知，，則____________.②計算：.【變式訓練3】（2022·江西·新余四中八年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是______；（請選擇正確的選項）A.；B．；C．(2)請利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①己知，，則______．②計算：【變式訓練4】（2022·廣東東莞·八年級期末）從邊長為a的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（2）運用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計算：．【類型五完全平方公式在幾何圖形中的應用】例5．（2022·內蒙古赤峰·七年級期中）如圖①所示是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個相同的小長方形，然后按圖②的方式拼圖．(1)你認為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于________________．(2)請用兩種不同的方法列代數式表示圖②中陰影部分的面積．方法①________________________________________________________．方法②________________________________________________________．(3)觀察圖②，你能寫出，，這三個代數式之間的等量關系嗎？(4)根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：若．，求的值【變式訓練1】（2022·重慶九龍坡·八年級期末）有一個邊長為a+b的正方形，按圖1切割成4個小方塊，b2，ab，ab，a2分別為4個小方塊的面積．(1)請用圖1中所給圖形的邊長與面積，表示其中的等量關系：．(2)利用（1）中的結論解決：若a+b＝7，ab＝12，則a2+b2＝，a﹣b＝．(3)若實數m、n滿足（m﹣n﹣2）2+（8﹣m+n）2＝10，則（2m﹣2n﹣4）（24+3n﹣3m）＝．(4)如圖2，Rt△ABC的斜邊AC＝26，分別以邊AB、BC為直徑向△ABC的外側作半圓，兩半圓面積分別記作S1和S2．若△ABC的周長為60，S1+S2＝，求△ABC的面積．【變式訓練2】（2022·湖南衡陽·八年級期末）完全平方公式：適當的變形，可以解決很多的數學問題．例如：若a＋b＝3，ab＝1，求的值．解：因為a＋b＝3，ab＝1，所以，2ab＝2，即可得得根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若x＋y＝8，，則xy＝______；(2)①若2a＋b＝5，ab＝2，求2a－b的值；②若（4－x）（5－x）＝8，求的值；(3)如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形的，設AB＝6，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【變式訓練3】（2022·河南駐馬店·七年級階段練習）閱讀下列材料并解答后面的問題：完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通過配方可對a2+b2進行適當的變形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，從而使某些問題得到解決．已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．(1)已知a+＝6．求a2+的值；(2)已知a﹣b＝2，ab＝3，求a4+b4的值．【變式訓練4】（2022·福建龍巖·八年級期末）（1）【觀察】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．請你寫出（a+b）2，（a-b）2，ab之間的等量關系：______；（2）【應用】若m+n=6，mn=5，則m-n=______；（3）【拓展】如圖3，正方形ABCD的邊長為x，AE=5，CG=15，長方形EFGD的面積是300，四邊形NGDH和四邊形MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積．【課后訓練】一、填空題1．（2021·廣東·深圳市龍崗區南京師范大學附屬龍崗學校七年級階段練習）若x2＋mx＋121是一個完全平方公式，則m＝________．2．（2021·重慶一中七年級階段練習）若4x2+（m﹣2）x+9是完全平方式，則m＝______．3．（2021·湖南·長沙市湘郡培粹實驗中學八年級階段練習）已知，則的值為______．4．（2022·海南海口·八年級期末）已知，，則______．5．（2021·遼寧·沈陽市第一二六中學七年級階段練習）若是完全平方式，則m＝___________．6．（2022·湖北·公安縣教學研究中心八年級期末）已知，，則的值為________．7．（2021·上海同濟大學實驗學校期末）若代數式的值為0，則______．8．（2020·山東煙臺·期中）如圖，從邊長為（a+4）的正方形紙片中剪去一個邊長為4的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的一邊為a，另一邊長是______．二、解答題9．（2022·吉林·長春市第八十七中學九年級開學考試）先化簡，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣6．10．（2021·重慶一中七年級階段練習）化簡求值：|（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2|÷x，其中x，y滿足：x2+y2﹣4x+6y+13＝0．11．（2021·福建省福州第十六中學八年級期中）先化簡，再求值：，其中，．12．（2021·河南·鶴壁市外國語中學八年級階段練習）化簡求值：，其中，．13．（2022·廣東·深圳市龍華中學七年級階段練習）簡答下列各題：(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；(2)若a＋＝3，那么a2＋＝_____；若a－＝3，那么a4＋＝_____．14．（2021·河南·濮陽市華龍區高級中學八年級階段練習）（1）試說明：代數式的值與的取值無關．（2）先化簡，再求值：，其中，．15．（2022·貴州黔西·八年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）寫出根據上述操作利用陰影部分的面積關系得到的等式：．（2）請應用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．16．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（答案直接填到題中橫線上）．方法1；方法2．(2)觀察圖2，請你直接寫出下列三個代數式：（a+b）2，a2+b2，àb之間的等量關系為；(3)曉曉同學利用上面的紙片拼出了一個面積為a2+3ab+2b2的長方形，這個長方形相鄰兩邊長為；(4)根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．17．（2022·福建泉州·八年級期末）乘法公式給出了、與的數量關系，靈活的應用這個關系，可以解決一些數學問題．(1)若，，求的值；(2)若滿足，求的值；(3)如圖，點、分別在正方形的邊、上，且，以為一邊作正方形，以的長為邊長過點作正方形，若長方形的面積是，求陰影部分的面積．18．（2021·上海浦東新·七年級期中）數學課上，王老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：；(2)觀察圖2，請你寫出代數式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系；(3)根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．19．（2021·廣東·深圳市龍崗區南京師范大學附屬龍崗學校七年級階段練習）如圖①，是一個長為2m、寬為2n的長方形，用剪刀沿圖中的虛線(對稱軸)剪開，把它分成四個形狀和大小都相同的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個正方形(中間是空的)．(1)圖②中畫有陰影的小正方形的邊長為__________(用含m，n的式子表示)；(2)觀察圖②，寫出代數式(m＋n)2，(m-n)2與mn之間的等量關系；(3)根據(2)中的等量關系解決下面的問題：①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；②若a＋=3，求a2＋的值．20．（2022·江西贛州·八年級期末）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關系為．(2)運用你所得到的公式，計算：若m、n為實數，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，試求m+n的值．(3)如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝26，求圖中陰影部分面積．21．（2022·四川省渠縣中學七年級開學考試）我們在求代數式的最小值時，可以考慮用如下法求得：解：∵

∴∴的最小值是4．請用上面的方法解決下面的問題：(1)代數式的最小值為______．(2)某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上建一個長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成．如圖，設AB=x（m），請問：當x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？22．（2022·云南·昆明市第三中學八年級期末）上數學課時，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學們運用所學知識解答：求代數式x2+4x+5的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據上述方法，解答下列各題（1）當x＝時，代數式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，請判斷y有最大還是最小值；這個值是多少？此時x等于哪個數？（3）若﹣x2+3x+y+5＝0，則y+x=（用含x，y的代數式表示）請求出y+x的最小值．23．（2021·河北邢臺·八年級階段練習）觀察：（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為a，正方形FGCH的邊長為b，長方形ABGE和長方形EFHD為陰影部分，則陰影部分的面積可表示為（寫成平方差的形式）；（2）將圖1中的長方形ABGE和長方形EFHD剪下來，拼成如圖2所示的長方形，則長方形AHDE的面積是（寫成多項式相乘的形式）；探究：（3）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得等量關系；（4）若7x﹣y＝5，y+7x＝7，則49x2﹣y2＝；應用：（5）利用公式計算：（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+．24．（2021·安徽蚌埠·七年級階段練習）數學活動課上，老師準備了若干張如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片長為b，寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大長方形(1)請用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積方法1_________；方法2_______．(2)觀察圖2，請寫出代數式（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系：_______；(3)根據題（2）中的等量關系，解決下列問題：①已知a+b＝3，a2+b2＝5，求ab的值；②已知（2021﹣n）2+（n﹣2018）2＝7，求（2021﹣n）（n﹣2018）的值．25．（2022·四川·成都市第十八中學校七年級階段練習）閱讀材料：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．請仿照上面的方法求解下列問題：(1)若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．(2)（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，求（n﹣2019）（2020﹣n）．(3)已知正方形ABCD的邊長為x，E，F分別是AD，DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是15，分別以MF，DF為邊長作正方形，求陰影部分的面積．26．（2021·山東淄博·期中）我們知道，圖形是一種重要的數學語言，它直觀形象，能有效地表現一些代數中的數量關系，而運用代數思想也能巧妙地解決一些圖形問題．(1)如圖1所示，甲同學從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的正方形（），剩余部分沿虛線又剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），求長方形的面積；(2)乙同學用如圖2所示的兩個不同的正方形與兩個相同的長方形紙片拼成了，一個如圖3所示的正方形．①用兩個不同的代數式分別表示圖2和圖3中陰影部分的面積，你能得到怎樣的等式，試用乘法公式說明這個等式成立；②根據①中的結論計算：已知，求的值．27．（2022·福建·莆田二中八年級期末）數學家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量一兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系，”這就是“算兩次”原理，也稱為富比尼（G．Fubini）原理，例如：對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數學等式．計算如圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是（a+b）2；如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2=a2+2ab+b2．(1)如圖2，正方形ABCD是由四個邊長分別為a，b的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對

圖2的面積進行計算，你發現的等式是（用a，b表示）(2)應用探索結果解決問題：已知：兩數x，y滿足x+y=7，xy=6，求x-y的值．(3)如圖3，四個三角形都是全等的直角三角形，用不同的代數式表示大正方形的面積，由此得到的等式為；（用a，b，c表示）(4)解決問題：若a=n2-1，b=2n，c=n2+1，請通過計算說明a、b、c滿足上面結論．專題07乘法公式壓軸題五種模型全攻略【類型一展開式是完全平方式問題】例1．（2022·重慶九龍坡·八年級期末）已知關于x，y的多項式x2﹣2kxy+16y2是完全平方式，則k＝_____．【答案】4或-4【解析】【分析】根據平方項確定出這兩個數，再根據乘積二倍項列式即可確定出k值．【詳解】解：∵，∴，解得：k＝±4．故答案為：4和?4．【點睛】本題主要考查了完全平方式，根據乘積二倍項確定出這兩個數是解題的關鍵．【變式訓練1】（2022·河南駐馬店·七年級階段練習）已知x2﹣2ax+9是完全平方式，則a＝______．【答案】±3【解析】【分析】將代數式化為完全平方和常數項的形式，令常數項為0求a；【詳解】解：原式=x2﹣2ax+a2－a2＋9=（x－a）2－a2＋9，令－a2＋9=0，解得：a=±3，故答案為：±3【點睛】本題考查完全平方公式的運用，牢記完全平方公式是解題關鍵．【變式訓練2】（2021·山東·肥城市邊院鎮過村初級中學期末）若4x2-（k-2）x+25是一個完全平方式，則k的值為______．【答案】-18或22##22或-18【解析】【分析】根據完全平方公式的特征可直接進行求解．【詳解】解：由題意得：，解得：或；故答案為-18或22．【點睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．【變式訓練3】（2021·陜西西安·八年級階段練習）若4x2+（k﹣1）x+9是一個完全平方式，則k＝_____．【答案】13或﹣11##﹣11或13【解析】【分析】這里首末兩項是2x和3這兩個數的平方，那么中間一項為加上或減去2x和3的積的2倍，故k﹣1＝±12，可求出答案．【詳解】解：由于（2x±3）2＝4x2±12x+9＝4x2+（k﹣1）x+9，則k﹣1＝±12，k＝13或﹣11．故答案為：13或﹣11．【點睛】本題考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解題的關鍵．【變式訓練4】（2022·湖北十堰·八年級期末）若是完全平方式，則______．【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式判斷即可確定出的值．【詳解】解：由題意知，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查完全平方公式，根據兩平方項確定出這兩個數，再根據乘積二倍項求解．【類型二利用乘法公式化簡求值問題】例2.（2022·福建漳州·八年級期末）先化簡，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．【答案】x-2y，-3【解析】【分析】根據整式的加減運算法則進行化簡，然后將x與y的值代入原式即可求出答案．【詳解】解：原式=（x2-4xy+4y2+x2-4y2）÷2x=（2x2-4xy）÷2x=x-2y，當x=-2，y=時，原式=-2-2×=-2-1=-3．【點睛】本題考查整式的混合運算，解題的關鍵是熟練運用整式的加減運算法則，本題屬于基礎題型．【變式訓練1】（2021·山東青島·期末）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】由平方差公式、完全平方公式，整式的加減乘除運算進行化簡，然后把，代入計算，即可求出答案．【詳解】解：====；當，時，原式=；【點睛】本題考查了整式的混合運算，整式的加減乘除混合運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，正確的進行化簡．【變式訓練2】（2021·山東棗莊·七年級階段練習）化簡和化簡求值(1)（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），(2)（x﹣2）2﹣4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1），其中【答案】(1)﹣2xy+y2(2)x2+3，3【解析】【分析】（1）直接利用乘法公式以及整式的混合運算法則化簡，進而得出答案；（2）直接利用乘法公式以及整式的混合運算法則化簡，再把已知數據代入得出答案．(1)解：原式＝4x2+4xy+y2+x2+4y2+4xy﹣x2﹣xy﹣2（2x2+xy+4xy+2y2）＝4x2+4xy+y2+x2+4y2+4xy﹣x2﹣xy﹣2（2x2+5xy+2y2）＝4x2+4xy+y2+x2+4y2+4xy﹣x2﹣xy﹣4x2﹣10xy﹣4y2＝﹣2xy+y2；(2)原式＝x2﹣4x+4﹣4x2+4x+4x2﹣1＝x2+3，當x時，原式＝（）2+3＝3．【點睛】本題考查整式化簡求值．熟練掌握整式的混合運算法則，乘法公式是解題的關鍵【變式訓練3】（2021·遼寧錦州·七年級期中）先化簡，再求值：，其中x＝－1，y＝1．【答案】，-9【解析】【分析】首先進行整式的乘法和除法，然后進行加減運算，再代入數值求出結果．【詳解】解：原式，當x＝－1，y＝1時，原式＝－9．【點睛】本題考查整式的化簡求值，首先進行整式的混合運算，再把數值代入化簡后的式子求值，運算中注意乘法公式的應用．【變式訓練4】（2022·海南海口·八年級期末）計算(1)；(2)；(3)先化簡，再求值：，其中，．【答案】(1)(2)(3)，【解析】【分析】（1）根據整式的混合運算化簡即可；（2）根據完全平方公式和平方差公式化簡即可；（3）先根據完全平方公式和多項式乘以多項式化簡，再根據多項式除以單項式化簡，再將字母的值代入求解即可．(1)(2)(3)當，時，原式【點睛】本題考查了整式的混合運算，整式的化簡求值，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．【類型三利用完全平方配方求最值問題】例3．（2022·四川省榮縣中學校八年級階段練習）先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方公式及的值恒為非負數的特點在數學學習中有著廣泛的應用，求代數式x2+4x+5的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1．∵(x+2)2≥0，∴當x＝﹣2時，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1∴當(x+2)2＝0時，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據上述方法，解答下列各題：（1）當x＝時，代數式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；又如探求多項式的最大(小)值時，我們可以這樣處理：解：原式=，因為無論x取什么數，都有的值為非負數，所以的最小值為0，此時，進而的最小值是，所以當時，原多項式的最小值是?22．解決問題：請根據上面的解題思路，探求：（2）多項式的最小值是多少，并寫出對應的x的取值．（3）多項式的最大值是多少，并寫出對應的x的取值．【答案】（1）3，3；（2）最小值是12，的值為1．（3）最大值是7，的值為．【解析】【分析】（1）根據題目所給的解題思路和方法進行求解即可．（2）根據題目所給的解題思路和方法進行求解即可．（3）根據題目所給的解題思路和方法進行求解即可．【詳解】解：（1），∵，∴當時，的值最小，最小值是0，∴，∴當時，的值最小，最小值是3，∴的最小值是3，故答案為：3，3；（2）原式=，因為無論x取什么數，都有的值為非負數，所以的最小值為0，此時，進而的最小值是，所以當時，原多項式的最小值是12；（3）原式=，因為無論x取什么數，都有的值為非負數，所以的最小值為0，此時，進而的最大值是，所以當時，原多項式的最大值是7．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，解題的關鍵是掌握完全平方公式的值恒為非負數的特點以及不等式的性質．【變式訓練1】（2022·云南曲靖·八年級期末）閱讀下列材料，并回答后面的問題：數學課上，李老師在求代數式的最小值時，利用公式，對式子作如下變形：解：∵∴∴當時，代數式的最小值是－7通過閱讀，求代數式的最小值．【答案】－2【解析】【分析】把原式用完全平方公式配方后，利用非負數的性質確定出最小值即可．【詳解】x2－6x+7=x2－6x+9－2=（x2－6x+9）－2=（x－3）2－2，∵（x－3）2≥0，∴（x－3）2－2≥－2，當x=3時，代數式x2－6x+7的最小值為－2．【點睛】此題考查了配方法的應用，以及非負數的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．【變式訓練2】（2021·河北承德·八年級期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：在學了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因為，因為，所以的最小值是．問題：（1）小麗的求解過程正確嗎？（2）你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；（3）求的最大值．【答案】（1）正確；（2）能，最小值為-11，見解析；（3）4.【解析】【分析】（1）根據配方法，將配方成，進一步即可進行判斷；（2）利用配方法解題；（3）先將二次項系數化為1，再利用配方法將整式化簡，最后根據平方的非負性解題．【詳解】解：（1）小麗的求解過程正確；（2）=

∵，∴的最小值為；（3）==∵，∴的最大值為4.【點睛】本題考查配方法求最值，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.【變式訓練3】（2021·湖南·長沙市湘郡培粹實驗中學八年級階段練習）上數學課時，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學們運用所學知識解答：求代數式x2+4x+5的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據上述方法，解答下列各題（1）知識再現：當x＝時，代數式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知識運用：若y＝﹣x2+2x﹣3，當x＝時，y有最值（填“大”或“小”），這個值是；（3）知識拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．【答案】（1）3，3；（2）1，大，?2；（3）y＋x的最小值為?6【解析】【分析】（1）配方后即可確定最小值；（2）將函數解析式配方后即可確定當x取何值時能取到最小值；（3）首先得到有關x＋y的函數關系式，然后配方確定最小值即可．【詳解】解：（1）∵x2?6x＋12＝（x?3）2＋3，∴當x＝3時，有最小值3；故答案為：3，3；（2）∵y＝?x2＋2x?3＝?（x?1）2?2，∴當x＝1時有最大值?2；故答案為：1，大，?2；（3）∵?x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2?2x?5＝（x?1）2?6，∵（x?1）2≥0，∴（x?1）2?6≥?6，∴當x＝1時，y＋x的最小值為?6．【點睛】考查了因式分解的應用及非負數的性質，解題的關鍵是能夠對二次三項式進行配方，難度不大．【變式訓練4】（2021·湖南永州·七年級期末）先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題．小明在學習完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2時，代數式（a±b）2的值具有非負性（即該式的值總是正數或者0）的特點，在數學學習中有著廣泛的應用，例如求多項式x2+6x﹣4的最小值時，我們可以這樣處理：解：x2+6x﹣1＝x2+6x+9﹣10＝（x2+6x+9）﹣10＝（x+3）2﹣10．因為無論x取什么數，都有（x+3）2的值為非負數，所以（x+3）2的最小值為0，當x＝﹣3時，（x+3）2﹣10的最小值是﹣10，所以當x＝﹣3時，原多項式的最小值是﹣10．解決問題：（1）請根據上面的解題思路探求：多項式x2﹣4x+7的最小值是多少，并寫出此時x的值；（2）請根據上面的解題思路探求：多項式﹣x2﹣2x+5的最大值是多少，并寫出此時x的值．【答案】（1）當x＝2時，原多項式的最小值是3；（2）當x＝﹣1時，原多項式的最大值是6【解析】【分析】（1）先把給出的式子化成完全平方的形式，再根據非負數的性質即可得出答案；（2）根據完全平方公式把給出的式子進行整理，即可得出答案．【詳解】【解：（1）x2﹣4x+7＝（x2﹣4x+4）+3＝（x﹣2）2+3．∴當x＝2時，原多項式的最小值是3；（2）﹣x2﹣2x+5＝﹣（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣（x2+2x+1）+1+5＝﹣（x+1）2+6．∴當x＝﹣1時，原多項式的最大值是6．【點睛】本題主要考查了完全平方公式和平方的非負性，解題的關鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式.【類型四平方差公式在幾何圖形中的應用】例4.（2022·廣東·深圳市龍崗區實驗學校七年級階段練習）從邊長為a的正方形剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗證的等式是________________（請選擇正確的一個）A.a2－2ab＋b2＝（a－b）2B.a2－b2＝（a＋b）（a－b）C.a2＋ab＝a（a＋b）D.a2－ab＝a（a－b）(2)若x2－9y2＝12，x＋3y＝4，求x－3y的值；(3)計算：（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）．【答案】(1)B(2)3(3)【解析】【分析】（1）結合圖1和圖2陰影部分面積相等建立等式即可．（2）利用平方差公式計算即可．（3）利用平方差公式展開計算化簡，最后求值．(1)∵邊長為a的正方形面積是a2，邊長為b的正方形面積是b2，剩余部分面積為a2－b2；圖（2）長方形面積為（a＋b）（a－b）；∴驗證的等式是a2－b2＝（a＋b）（a－b）故答案為：B．(2)∵x2－9y2＝（x＋3y）（x－3y）＝12，且x＋3y＝4∴x－3y＝3(3)（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）＝（1＋）（1－）（1＋）（1－）…（1＋）（1－）＝×＝＝【點睛】本題主要考查平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．【變式訓練1】（2022·廣西·上思縣教育科學研究所八年級期末）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．(1)設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請用含a、b的代數式表示：S1＝，S2＝（只需表示，不必化簡）；(2)以上結果可以驗證哪個乘法公式？請寫出這個乘法公式；(3)運用（2）中得到的公式，計算：20152﹣2016×2014．【答案】(1)，；(2)平方差公式，；(3)1【解析】【分析】（1）利用面積公式計算即可；（2）由，即可得到=；（3）將2016×2014利用平方差公式變形為（2015+1）×（2015-1），再計算乘法及加減法．(1)解：，，故答案為：，；(2)解：∵，∴=，是平方差公式，故答案為：平方差公式，；(3)解：20152﹣2016×2014===1．【點睛】此題考查了平方差公式的應用，平方差公式與幾何圖形的結合，正確掌握平方差公式的計算是解題的關鍵．【變式訓練2】（2022·河南信陽·八年級期末）實踐與探索：如圖1，邊長為a的大正方形里有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）.(1)上述操作能驗證的等式是：___________（請選擇正確的一個）A． B． C．(2)請應用這個等式完成下列各題：①已知，，則____________.②計算：.【答案】(1)A(2)①4；②．【解析】【分析】（1）分別求出①陰影部分的面積和②的面積，由②是由①陰影部分拼成，即①陰影部分的面積與②的面積相等，由此即可得出答案；（2）①利用平方差公式將，變形為，再將代入，即可求出的值；②將9改為(10-1)，即可利用平方差公式計算．(1)①陰影部分的面積為，②的面積為，由②是由①陰影部分拼成，∴①陰影部分的面積與②的面積相等，即．故選A．(2)①∵，∴．∵，∴．故答案為：4．②．【點睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景及其應用與拓展，冪的乘方，熟練掌握公式并靈活運用是解題的關鍵．【變式訓練3】（2022·江西·新余四中八年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是______；（請選擇正確的選項）A.；B．；C．(2)請利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①己知，，則______．②計算：【答案】(1)A(2)①4；②【解析】【分析】（1）根據圖1和圖2陰影部分面積相等可得到答案；（2）①根據平方差公式，4a2-b2=（2a+b）（2a-b），已知2a+b=6代入即可求出答案；②先利用平方差公式變形，再約分即可得到答案．(1)解：圖1陰影部分的面積為：a2-b2，圖2陰影部分的面積為：（a+b）（a-b），∵圖1和圖2陰影部分面積相等，∴a2-b2=（a+b）（a-b），故選：A；(2)解：①∵4a2-b2=24，∴（2a+b）（2a-b）=24，∵2a+b=6，∴2a-b=4，故答案為：4；②．【點睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景及其應用與拓展，熟練掌握公式并靈活運用是解題的關鍵．【變式訓練4】（2022·廣東東莞·八年級期末）從邊長為a的正方形中減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（2）運用你從（1）寫出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計算：．【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）①7；②．【解析】【分析】（1）分別表示出圖1陰影部分的面積和圖2陰影部分的面積，由二者相等可得等式；（2）①將已知條件代入（1）中所得的等式，計算即可；②利用平方差公式將原式的各個因式進行拆分，計算即可．【詳解】解：（1）圖1陰影部分的面積為a2-b2，圖2陰影部分的面積為（a+b）（a-b），二者相等，從而能驗證的等式為：a2-b2=（a+b）（a-b），故答案為：a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）①∵a-b=3，a2-b2=21，a2-b2=（a+b）（a-b），∴21=（a+b）×3，∴a+b=7；②====．【點睛】本題考查了平方差公式的幾何背景及其在計算中的應用，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．【類型五完全平方公式在幾何圖形中的應用】例5．（2022·內蒙古赤峰·七年級期中）如圖①所示是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個相同的小長方形，然后按圖②的方式拼圖．(1)你認為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于________________．(2)請用兩種不同的方法列代數式表示圖②中陰影部分的面積．方法①________________________________________________________．方法②________________________________________________________．(3)觀察圖②，你能寫出，，這三個代數式之間的等量關系嗎？(4)根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：若．，求的值【答案】(1)；(2)①；②；(3)；(4)【解析】【分析】（1）根據題意，得四個相同的小長方形的長，寬；再根據代數式的性質分析，即可得到答案；（2）①根據（1）的結論，，通過圖②中陰影部分的面積=正方形面積四個相同的小長方形面積總和的關系式計算，即可得到答案；②根據（1）的結論，得，通過計算即可得到答案；（3）根據（2）的結論分析，即可得到答案；（4）根據代數式和含乘方的有理數混合運算性質計算，即可得到答案．(1)根據題意，四個相同的小長方形的長，寬∴圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于：故答案為：；(2)①如圖：根據（1）的結論，∴正方形面積，四個相同的小長方形面積

∴四個相同的小長方形面積總和為圖②中陰影部分的面積=正方形面積四個相同的小長方形面積總和；故答案為：②根據（1）的結論，得∴圖②中陰影部分的面積故答案為：；(3)根據（2）的結論，得：；(4)∵∴．【點睛】本題考查了代數式、有理數運算的知識；解題的關鍵是熟練掌握代數式、含乘方的有理數混合運算的性質，從而完成求解．【變式訓練1】（2022·重慶九龍坡·八年級期末）有一個邊長為a+b的正方形，按圖1切割成4個小方塊，b2，ab，ab，a2分別為4個小方塊的面積．(1)請用圖1中所給圖形的邊長與面積，表示其中的等量關系：．(2)利用（1）中的結論解決：若a+b＝7，ab＝12，則a2+b2＝，a﹣b＝．(3)若實數m、n滿足（m﹣n﹣2）2+（8﹣m+n）2＝10，則（2m﹣2n﹣4）（24+3n﹣3m）＝．(4)如圖2，Rt△ABC的斜邊AC＝26，分別以邊AB、BC為直徑向△ABC的外側作半圓，兩半圓面積分別記作S1和S2．若△ABC的周長為60，S1+S2＝，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)25；-1(3)78(4)120【解析】【分析】（1）根據4個小方塊的面積與大正方形的面積相等求解即可；（2）根據（1）中的結論，利用完全平方公式的變形求解即可；（3）利用完全平方公式的變形求解即可；（4）先根據題意得到，，再由△ABC的周長為60，得到AB+BC=60-AC=34，再根據完全平方公式的變形求解即可．(1)解：由題意得：，故答案為：；(2)解：∵a+b＝7，∴，又∵ab＝12，∴，∵，∴（根據圖形，正值已經舍去），故答案為：25；-1；(3)解：，∴，∴，∴，故答案為：78；(4)解：由題意得：，，∵△ABC的周長為60，∴AB+AC+BC=60，∴AB+BC=60-AC=34，∴∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應用，完全平方公式的變形求值，熟知完全平方公式是解題的關鍵．【變式訓練2】（2022·湖南衡陽·八年級期末）完全平方公式：適當的變形，可以解決很多的數學問題．例如：若a＋b＝3，ab＝1，求的值．解：因為a＋b＝3，ab＝1，所以，2ab＝2，即可得得根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若x＋y＝8，，則xy＝______；(2)①若2a＋b＝5，ab＝2，求2a－b的值；②若（4－x）（5－x）＝8，求的值；(3)如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形的，設AB＝6，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)(2)①；②(3)【解析】【分析】（1）根據完全平方公式變形求出的值，從而求出的值；（2）①先求出的值，再求出的值；②先把要求的式子變形之后在代入求值；（3）先設出、的長度，再代入題目中得到關于、的式子，再根據完全平方公式求出的值，最后求出陰影部分的面積．(1)解：∵∴∵∴∴(2)解：①∵，∴∴②∵∴(3)解：設，∵，∴，∴∴∵四邊形為正方形∴∴【點睛】本題主要考查了完全平方公式的運用，以及三角形的面積計算，熟練掌握運用完全平方公式是解答本題的關鍵．【變式訓練3】（2022·河南駐馬店·七年級階段練習）閱讀下列材料并解答后面的問題：完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通過配方可對a2+b2進行適當的變形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，從而使某些問題得到解決．已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．(1)已知a+＝6．求a2+的值；(2)已知a﹣b＝2，ab＝3，求a4+b4的值．【答案】(1)34(2)82【解析】【分析】根據所給材料完全平方公式的變形形式，對所求整式進行變形即可解題．(1)（1）∵（a+）2＝a2++2，∴a2+＝（a+）2﹣2＝62﹣2＝34；(2)（2）∵a﹣b＝2，ab＝3，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4+2×3＝10，a2b2＝9，∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝100﹣2×9＝82．【點睛】本題主要考查完全平方公式的應用，掌握完全平方公式，并對其靈活變形應用是解題的關鍵．【變式訓練4】（2022·福建龍巖·八年級期末）（1）【觀察】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．請你寫出（a+b）2，（a-b）2，ab之間的等量關系：______；（2）【應用】若m+n=6，mn=5，則m-n=______；（3）【拓展】如圖3，正方形ABCD的邊長為x，AE=5，CG=15，長方形EFGD的面積是300，四邊形NGDH和四邊形MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）±4；（3）圖中陰影部分的面積為1300．【解析】【分析】（1）根據大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個長寬分別為a，b的長方形面積，可得答案；（2）將m+n=6，mn=5代入（1）中公式即可；（3）由正方形ABCD的邊長為x，則DE=x-5，DG=x-15，得（x-5）（x-15）=300，設m=x-5，n=x-15，mn=300，得m-n=10，則S陰影=（m+n）2=（m-n）2+4mn，代入即可．【詳解】解：（1）由圖形知，大正方形的面積為（a+b）2，中間小正方形的面積為（b-a）2，大正方形的面積減去小正方形的面積等于4個長寬分別為a，b的長方形面積，∴（a+b）2-（a-b）2=4ab，故答案為：（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）∵（a+b）2-（a-b）2=4ab，將m+n=6，mn=5代入得：62-（m-n）2=4×5，∴（m-n）2=16，∴m-n=±4，故答案為：±4；（3）∵正方形ABCD的邊長為x，∴DE=x-5，DG=x-15，∴（x-5）（x-15）=300，設m=x-5，n=x-15，mn=300，∴m-n=10，∴S陰影=（m+n）2=（m-n）2+4mn=102+4×300=1300，∴圖中陰影部分的面積為1300．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，圖形的面積，關鍵是能從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義，并能進行公式的變形應用．【課后訓練】一、填空題1．（2021·廣東·深圳市龍崗區南京師范大學附屬龍崗學校七年級階段練習）若x2＋mx＋121是一個完全平方公式，則m＝________．【答案】±22【解析】【分析】利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2、(a?b)2=a2?2ab+b2計算即可．【詳解】解：∵x2+mx+121是一個完全平方公式形式，∴x2+mx+121=(x±11)2=x2±22x+121，∴m=±22．故答案為：±22．【點睛】本題主要考查了完全平方式，根據平方項確定出這兩個數是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．2．（2021·重慶一中七年級階段練習）若4x2+（m﹣2）x+9是完全平方式，則m＝______．【答案】14或﹣10【解析】【分析】根據完全平方式得出（m﹣2）x＝±2?2x?3，再求出答案即可．【詳解】解：∵4x2+（m﹣2）x+9是完全平方式，∴（m﹣2）x＝±2?2x?3，即m﹣2＝±12，解得：m＝14或﹣10，故答案為：14或﹣10．【點睛】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方式是解此題的關鍵，注意：完全平方式有：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．3．（2021·湖南·長沙市湘郡培粹實驗中學八年級階段練習）已知，則的值為______．【答案】9【解析】【分析】先將化簡得到，然后利用完全平方公式得到，再將代入求值．【詳解】解：∵又∵∴故答案為：9【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的結構特征是解題關鍵．4．（2022·海南海口·八年級期末）已知，，則______．【答案】【解析】【分析】根據平方差公式進行計算即可求解．【詳解】解：∵，，∴故答案為：【點睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式是解題的關鍵．5．（2021·遼寧·沈陽市第一二六中學七年級階段練習）若是完全平方式，則m＝___________．【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可求出m的值．【詳解】解：∵，是完全平方式，∴，解得：．故答案為：【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．6．（2022·湖北·公安縣教學研究中心八年級期末）已知，，則的值為________．【答案】10【解析】【分析】將變形為，代入即可求得．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查完全平方差公式，掌握完全平方差公式的特點是解決本題的關鍵．7．（2021·上海同濟大學實驗學校期末）若代數式的值為0，則______．【答案】6【解析】【分析】首先將分成兩個完全平方式的形式，根據非負數的性質求出，的值，再代入計算即可．【詳解】解：，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查完全平方和與差公式，正確的理解并寫出公式是解題的關鍵．8．（2020·山東煙臺·期中）如圖，從邊長為（a+4）的正方形紙片中剪去一個邊長為4的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的一邊為a，另一邊長是______．【答案】a+8【解析】【分析】先求出剩余部分的面積為：（a+4）2﹣16＝a2+8a，再由面積相等，即可求解．【詳解】解：∵邊長為（a+4）的正方形的面積為（a+4）2，邊長為4的正方形的面積為16，∴減去正方形后剩余部分的面積為：（a+4）2﹣16＝a2+8a，∵長方形的寬為a，∴長方形的長為：（a2+8a）÷a＝a+8，故答案為：a+8．【點睛】本題考查完全平方公式在幾何圖形中的應用，多項式除以單項式．能夠通過所給正方形和長方形的面積關系進行求解是解題的關鍵．二、解答題9．（2022·吉林·長春市第八十七中學九年級開學考試）先化簡，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣6．【答案】，．【解析】【分析】先計算平方差公式與完全平方公式，再計算整式的加減，然后將的值代入計算即可得．【詳解】解：原式，將代入得：原式．【點睛】本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握整式的運算法則和乘法公式是解題關鍵．10．（2021·重慶一中七年級階段練習）化簡求值：|（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2|÷x，其中x，y滿足：x2+y2﹣4x+6y+13＝0．【答案】|﹣8x2+4xy|÷x；28．【解析】【分析】先算乘法，再合并同類項，去掉絕對值符號，最后求出答案即可．【詳解】解：|（x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2|÷x＝|x2+4xy+4y2﹣9x2+y2﹣5y2|÷x＝|﹣8x2+4xy|÷x，∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0，∴x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，即（x﹣2）2+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得：x＝2，y＝﹣3，當x＝2，y＝﹣3時，﹣8x2+4xy＝﹣32﹣24＝﹣56，原式＝（8x2﹣4xy）÷x＝8x﹣4y＝16+12＝28．【點睛】本題考查了完全平方公式，絕對值，整式的混合運算與求值等知識點，能正確根據整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．11．（2021·福建省福州第十六中學八年級期中）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，-4045【解析】【分析】通過乘法公式對括號的進行計算化簡，然后計算除法，將，代入代數式中求值即可；【詳解】解：．當，時，代入中，解得∴化簡結果為，值為，【點睛】本題考查了有理數的混合運算及代數式求值．解題的關鍵在于利用乘法公式進行化簡．12．（2021·河南·鶴壁市外國語中學八年級階段練習）化簡求值：，其中，．【答案】；【解析】【分析】利用完全平方公式，平方差公式，多項式除以單項式計算得到最簡結果，把與的值代入計算即可求出值．【詳解】解：原式，

，

，當，時，原式．【點睛】本題主要考查的是整式的混合運算—化簡求值，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．13．（2022·廣東·深圳市龍華中學七年級階段練習）簡答下列各題：(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；(2)若a＋＝3，那么a2＋＝_____；若a－＝3，那么a4＋＝_____．【答案】(1)a＋b＝±2；a－b＝0(2)7，119【解析】【分析】（1）根據完全平方公式計算，將代數式的值代入求解即可；（2）將已知等式利用完全平方公式變形求值即可(1)解：∵a2＋b2＝2，ab＝1，∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝2＋2＝4，即a＋b＝±2；（a－b）2＝a2＋b2－2ab＝2－2＝0，即a－b＝0．(2)解：∵a＋＝3，∴若a－＝3，∴故答案為：7,119【點睛】本題考查了完全平方公式，根據完全平方公式變形求值是解題的關鍵．14．（2021·河南·濮陽市華龍區高級中學八年級階段練習）（1）試說明：代數式的值與的取值無關．（2）先化簡，再求值：，其中，．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）將代數式利用多項式乘以多項式、單項式乘以多項式的法則計算，去括號合并得到一個常數，可得代數式的值與的取值無關；（2）將代數式利用平方差公式、完全平方公式計算，進行化簡后，將，代入求值即可．【詳解】（1）原式所以，代數式的值與的取值無關；（2）原式將，代入得原式．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算及代數式求值，涉及單項式乘以多項式、多項式乘以多項式、平方差公式、完全平方公式等，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．15．（2022·貴州黔西·八年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）寫出根據上述操作利用陰影部分的面積關系得到的等式：．（2）請應用（1）中的等式，解答下列問題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．【答案】（1）；（2）①4；②20100．【解析】【分析】（1）將兩個圖中陰影部分面積分別表示出來，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式將寫成，以此類推，然后化簡求值．【詳解】解：（1）圖1中陰影部分面積，圖2中陰影部分面積，所以，得到公式故答案為．（2）①∵∴又∵2a+b＝6，故答案為4．②【點睛】本題考查平方差公式的應用．熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．16．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（答案直接填到題中橫線上）．方法1；方法2．(2)觀察圖2，請你直接寫出下列三個代數式：（a+b）2，a2+b2，àb之間的等量關系為；(3)曉曉同學利用上面的紙片拼出了一個面積為a2+3ab+2b2的長方形，這個長方形相鄰兩邊長為；(4)根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．【答案】(1)，(2)=(3)a+b，a+2b(4)①11；②16【解析】【分析】（1）方法1由圖知，大正方形的邊長為a+b，則可求得正方形的面積；方法2由圖知，大正方形由兩個邊長分別為a與b的兩個小正方形及兩個長為b、寬為a的長方形組成，從而可求得大正方形的面積；（2）由（1）知，可得（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系；（3）由于，從而可得長方形相鄰兩邊的長；（4）①由（2）中的等量關系式即可求得ab的值；②考慮到2020比2021小1，2022比2021大1，則x?2020=(x?2021)+1，x?2022=(x?2021)?1，利用（2）中的等量關系即可求得結果．(1)方法1

由圖知，大正方形的邊長為a+b，則大正方形的面積為；方法2

由圖知，大正方形由兩個邊長分別為a與b的小正方形及兩個長為b、寬為a的長方形組成，所以大正方形的面積為；故答案為：方法1；方法2

(2)由（1）知：、均表示同一正方形的面積，所以=故答案為：=(3)由于所以面積為a2+3ab+2b2的長方形相鄰兩邊長為a+b，a+2b故答案為：a+b，a+2b(4)①∵=即∴ab=11②∵x?2020=(x?2021)+1，x?2022=(x?2021)?1∴即∴∴【點睛】本題考查了多項式乘多項式與幾何圖形的面積，完全平方公式與幾何圖形的面積，完全平方公式的變形應用等知識，注意數形結合．17．（2022·福建泉州·八年級期末）乘法公式給出了、與的數量關系，靈活的應用這個關系，可以解決一些數學問題．(1)若，，求的值；(2)若滿足，求的值；(3)如圖，點、分別在正方形的邊、上，且，以為一邊作正方形，以的長為邊長過點作正方形，若長方形的面積是，求陰影部分的面積．【答案】(1)19(2)195(3)【解析】【分析】（1）根據完全平方公式進行解答即可得；（2）將進行變形，進行解答即可得；（3）根據正方形的性質得，，則，根據邊的關系得，根據長方形的面積是得，根據完全平方公式得，則，，又因為，所以，即可得陰影部分的面積．(1)解：∵，，∴．(2)解：∵，∴，即.∴．(3)解：∵四邊形和都是正方形，

∴，，∴，∴，∵，∴.∴，∵長方形的面積是，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了完全平方公式，完全平方公式與幾何的綜合，解題的關鍵是掌握完全平方公式．18．（2021·上海浦東新·七年級期中）數學課上，王老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：；(2)觀察圖2，請你寫出代數式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系；(3)根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．【答案】(1)；(2)(3)①；②-2【解析】【分析】（1）方法1，由大正方形的邊長為（a+b），直接求面積；方法2，大正方形是由2個長方形，2個小正方形拼成，分別求出各個小長方形、正方形的面積再求和即可；（2）由（1）直接可得關系式；（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，兩式子直接作差即可求解；②設2021-a=x，a-2020=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2020）=-2即可．(1)方法一：∵大正方形的邊長為（a+b），∴S=（a+b）2；方法二：大正方形是由2個長方形，2個小正方形拼成，∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；故答案為：（a+b）2，a2+b2+2ab；(2)由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；故答案為：（a+b）2=a2+b2+2ab；(3)①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，由①-②得，-4ab=-12，解得：ab=3；②設2021-a=x，a-2020=y，∴x+y=1，∵（2021-a）2+（a-2020）2=5，∴x2+y2=5，∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，解得：xy=-2，∴（2021-a）（a-2020）=-2．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，熟練掌握正方形、長方形面積的求法，靈活應用完全平方公式的變形是解題的關鍵．19．（2021·廣東·深圳市龍崗區南京師范大學附屬龍崗學校七年級階段練習）如圖①，是一個長為2m、寬為2n的長方形，用剪刀沿圖中的虛線(對稱軸)剪開，把它分成四個形狀和大小都相同的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個正方形(中間是空的)．(1)圖②中畫有陰影的小正方形的邊長為__________(用含m，n的式子表示)；(2)觀察圖②，寫出代數式(m＋n)2，(m-n)2與mn之間的等量關系；(3)根據(2)中的等量關系解決下面的問題：①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；②若a＋=3，求a2＋的值．【答案】(1)m-n(2)(m＋n)2=(m-n)2＋4mn(3)①29；②7【解析】【分析】(1)結合圖形即可求得；(2)根據大正方形的面積=小正方形的面積+4個長方形的面積，即可寫出；(3)根據(2)中關系即可分別求得．(1)解：圖②中畫有陰影的小正方形的邊長(m-n)；(2)解：∵大正方形的面積=小正方形的面積+4個長方形的面積，∴(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；(3)解：①由(2)得：(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；∵m＋n=7，mn=5，∴(m-n)2=(m＋n)2-4mn=49-20=29；②∵a＋=3，∴．【點睛】本題考查完全平方公式的意義和應用，理清面積之間的關系是得出等式的關鍵．20．（2022·江西贛州·八年級期末）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關系為．(2)運用你所得到的公式，計算：若m、n為實數，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，試求m+n的值．(3)如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝26，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)（a+b）2=（a-b）2+4ab(2)m+n=2或-2(3)圖中陰影部分面積為【解析】【分析】（1）利用等面積法，大正方形面積等于陰影小正方形面積加上四個長方形面積，得到關系式；（2）由（1）得到的關系式求解即可；（3）設AC=m，BC=n，則m+n=8，m2+n2=26，由（1）得到的關系式求解即可．(1)解：由圖形面積得（a+b）2=（a-b）2+4ab，故答案為：（a+b）2=（a-b）2+4ab；(2)解：由（1）題所得（a+b）2=（a-b）2+4ab，∴（m+n）2=（m-n）2+4mn，∴當mn=-3，m-n=4時，（m+n）2=42+4×（-3）=4，∴m+n=2或-2；(3)解：設AC=m，BC=n，則m+n=8，m2+n2=26，又由（m+n）2=m2+2mn+n2，得2mn=（m+n）2-（m2+n2）=64-26=38，∴圖中陰影部分的面積為：mn=．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何意義，關鍵是能用算式表示圖形面積并進行拓展應用．21．（2022·四川省渠縣中學七年級開學考試）我們在求代數式的最小值時，可以考慮用如下法求得：解：∵

∴∴的最小值是4．請用上面的方法解決下面的問題：(1)代數式的最小值為______．(2